Kezdőlap


Cím:	A hajlításról
Szerző(k):	Radnai Gyula
Füzet:	2005/április, 230 - 234. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ezzel a címmel jelent meg egy tanulságos cikk az akkor már fizikai rovattal is kiegészített Lapok 1959/9. számában. A cikket Vermes Miklós írta, a Fizikai Rovatot Kunfalvi Rezső szerkesztette. Jó barátok voltak, együtt mászták a hegyeket is; mindketten idén lennének 100 évesek. Az alábbi írást az ő emléküknek ajánlom.

*

,,A fűszál meghajlik a szélben, a damaszkuszi penge a vívó kezében. Hajlításra vannak igénybe véve azok a vízszintes gerendák is, amelyeket az egyik végükön befalaztak és másik végükön terhet hordanak. Természetesen a rugalmas lehajlásról van most szó, amikor az alakváltoztató erő megszűnte után a tárgy visszatér eredeti alakjába. Vizsgáljuk meg a hajlítás törvényeit.'' Így kezdődik Vermes Miklós írása. Kiváló invokáció; innen folytassuk!
Tudjuk, hogy a lehajló rúd felső része megnyúlik, az alja összenyomódik, és lesz egy semleges szál, valahol középen, aminek a hossza nem változik meg. Vajon milyen alakú lesz ez a semleges szál? Vékony rúd esetén akár ezt is kérdezhetjük: milyen alakú lesz a lehajló rúd?
Tankönyvekben, még egyetemi tankönyvekben is a lehajló rúd általában körív alakú. Ennek prózai oka van: a rajzoló a legegyszerűbb megoldást választja, a szerző és a lektor pedig simán elfogadja az ábrát, úgysem a meghajlított rúd alakja érdekes, hanem a rúd végének a lehajlása; erre írnak fel, vezetnek le megfelelő formulákat.
Itt most két esetet tárgyalunk. Az egyik, amikor a vízszintesen befogott rúd súlytalan, csak a végét terheljük függőlegesen lefelé irányuló

F

erővel. Nem erőltetett ez az idealizálás, minden olyan esetben alkalmazható, amikor a rúd végét terhelő

F

erő sokkal nagyobb, mint a rúd saját súlya. Gondolhatunk akár egy ugródeszkára, amit a műugrók használnak, akár egy horgászbotra, amivel ,,az évszázad fogását'' akarjuk kiemelni a vízből. A KöMaL 2005/2. számának hátoldalán láthatunk egy fényképet a meghajló hurkapálcáról, aminek végét egy vízzel teli nagy tejfölös pohár súlyával terhelte meg a fényképet készítő Kocsis Vilmos. Tessék megfigyelni a pálca alakját! Legjobban a befogásnál görbül, legkevésbé pedig a másik végén, ahol az erő hat ‐ itt szinte kiegyenesedik!
Másik eset az, amikor a vízszintesen befogott rúd a ,,saját súlya alatt'' hajlik meg. Ennek még több alkalmazása van környezetünkben: visszavezethető rá a fák ágainak meghajlásától kezdve a hidak meghajlásáig nagyon sok jelenség. A magasugró vagy rúdugró léc behajlása például úgy tárgyalható, mint a ,,kéttámaszú tartó'' behajlása.

Egy gyümölcsöző analógia

Jól ismert a forgómozgás alapegyenlete, a dinamika forgómozgásra vonatkozó alaptörvénye:

\begin{matrix} M = Θ \cdot β . \end{matrix}

Jelentése: a testre ható forgatónyomaték és a létrejövő szöggyorsulás arányosak, az arányossági tényező a tehetetlenségi nyomaték.
Formailag ehhez hasonló összefüggést lehet felírni sztatikában, hajlítás esetén:

\begin{matrix} M = (E I) \cdot G . \end{matrix}

Jelentése: a meghajlított test adott pontjában ható forgatónyomaték és az adott pontban létrejövő görbület arányosak, az arányossági tényezőt hajlítási merevségnek nevezik. Értéke az

E

Young-modulus és az

I

felületi nyomaték szorzata.
Ahogyan a tehetetlenségi nyomaték a testnek az adott tengelyre vonatkozó tömegeloszlásától függ és folytonos tömegeloszlás esetén integrálszámítással határozható meg, ugyanúgy az

I

felületi nyomaték is a meghajló rúd keresztmetszetének alakjától függ és általában integrálszámítással határozható meg. Ha például a meghajló rúd keresztmetszete

a

szélességű és

b

magasságú téglalap, akkor

I = \frac{1}{12} a b^{3}

.
További hasonlóság a két összefüggés között, hogy a dinamikai egyenletben szereplő szöggyorsulás a szögelfordulás idő szerinti második deriváltja, míg a sztatikus egyenletben szereplő görbület a lehajló rúd alakját megadó

y (x)

függvény hely szerinti második deriváltja (legalábbis első közelítésben, kis lehajlás esetén). Éppen ez ad lehetőséget arra, hogy a lehajló rúd alakját meghatározzuk.

1. ábra

I. eset. Tegyük fel, hogy a vízszintesen befogott rúdnak

l

hosszúságú darabja áll ki a falból. A rúd súlyától eltekinthetünk, amikor a végére

F

erő hat függőlegesen lefelé (1. ábra). Ekkor a befogott végétől

x

távolságra

(0 \leq x \leq l)

lévő pontra vonatkozó forgatónyomaték

\begin{matrix} M = F (l - x) . \end{matrix}

Ezek szerint

\begin{matrix} F (l - x) = E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}} . \end{matrix}

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldását szolgáltató

y (x)

függvény adja meg a lehajló rúd alakját. Nem is olyan nehéz ezt a függvényt megtalálni. Ha

\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{F}{E I} (l - x), \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{F}{E I} (l x - \frac{x^{2}}{2}), \end{matrix}

és hasonló módon

\begin{matrix} y (x) = \frac{F}{E I} (l \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6}) . \end{matrix}

Felhasználtuk közben, hogy a befogásnál (

x = 0

-nál)

y = 0

és az érintő vízszintes:

\frac{d y}{d x} = 0

.
A lehajló rúd tehát nem körív alakú, se nem parabola alakú, hanem egy harmadfokú görbéből származtatható. Ebből a függvényből megkaphatjuk azt a képlettárakban is szereplő formulát, ami a rúd végének lehajlására vonatkozik:

\begin{matrix} y (l) = \frac{F}{E I} (\frac{l^{3}}{2} - \frac{l^{3}}{6}) = \frac{F}{E I} \frac{l^{3}}{3} . \end{matrix}

Speciálisan téglalap keresztmetszetű rúdnál:

I = \frac{1}{12} a b^{3}

, tehát

\begin{matrix} y (l) = \frac{4 F}{E I} {(\frac{l}{b})}^{3} . \end{matrix}

II. eset. Ha a rúd saját súlya alatti lehajlását vizsgáljuk, akkor azt kell figyelembe vennünk, hogy a rúd adott

x

pontjára vonatkozó hajlító nyomaték a

G

összsúlyú rúdnak attól a részétől származik, ami

x

-től a rúd végéig terjed (2. ábra). Ennek a darabnak a súlya

G \frac{l - x}{l}

, súlypontja az

x

helytől

\frac{l - x}{2}

távolságra van, tehát az

x

helyre vonatkozó forgatónyomaték:

\begin{matrix} M = G \frac{l - x}{l} \cdot \frac{l - x}{2} = \frac{G}{2 l} {(l - x)}^{2} . \end{matrix}

2. ábra

A forgatónyomatékkal arányos görbület most is ott a legnagyobb, ahol

(l - x)

a legnagyobb, tehát a befogásnál,

x = 0

-nál. Az is igaz marad, hogy a meghajlott rúd görbülete a vége felé haladva nullához tart, a rúd szabad vége mintegy ,,kiegyenesedik''. Az első esethez képest a különbség abban van, hogy a görbület most nem lineárisan, hanem négyzetesen változik a rúd mentén. Ha

\begin{matrix} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{G}{2 l E I} {(l - x)}^{2} = \frac{G}{2 l E I} (l^{2} - 2 l x + x^{2}), \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{G}{2 l E I} (l^{2} x - l x^{2} + \frac{x^{3}}{3}), \end{matrix}

és végül

\begin{matrix} y (x) = \frac{G}{2 l E I} (l^{2} \frac{x^{2}}{2} - l \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{12}) . \end{matrix}

Most is felhasználtuk, hogy a befogásnál (

x = 0

-nál)

y = 0

és az érintő vízszintes:

\frac{d y}{d x} = 0

.
A saját súlya alatt meghajló rúd alakja tehát egy másod- , egy harmad- és egy negyedfokú ,,parabola'' megfelelő súlyozott keveréke. A rúd végének lehajlása:

\begin{matrix} y (l) = \frac{G}{8 E I} l^{3} . \end{matrix}

Ha téglalap keresztmetszetű rúdról van szó:

\begin{matrix} y (l) = \frac{3}{2} \frac{G}{E a} {(\frac{l}{b})}^{3} . \end{matrix}

Felhasználhatjuk, hogy

G = V ϱ g = l a b ϱ g

, ezzel

\begin{matrix} y (l) = \frac{3}{2} \frac{ϱ g}{E} \frac{l^{4}}{b^{2}} . \end{matrix}

Érdekes, hogy a lehajlás anyagi minőségtől való függése a

\frac{ϱ}{E}

hányadoson keresztül jelenik meg. Például acélra

E \approx 2 \cdot 10^{11} \frac{N}{m^{2}}

és

ϱ \approx 7, 8 \cdot 10^{3} \frac{kg}{m^{3}}

, míg fenyőfára

E \approx 10^{10} \frac{N}{m^{2}}

és

ϱ \approx 0, 5 \cdot 10^{3} \frac{kg}{m^{3}}

, vagyis a

\frac{ϱ}{E}

hányados acélra alig tér el a fenyőfára érvényes értéktől. Az azonos keresztmetszetű és hosszúságú acélrúd tehát nagyjából ugyanúgy hajlik le a saját súlya alatt, mint a fenyőfából készült rúd. A különbség majd akkor jelentkezik, ha külső erő terheli a rudakat.
Sok érdekes következménye van még a most levezetett formuláknak, a lehajló rúd alakjára kapott összefüggéseknek; az Olvasó maga is felfedezhet néhányat. Befejezésül álljon itt az a probléma, melyet Vermes Miklós vetett fel az említett cikk végén: ,,Érdekes annak a gerendának a lehajlása, amelynek keresztmetszete ékalakúan vékonyodik a vége felé

...

''. Vajon ekkor milyen alakú lesz a saját súlya alatt meghajló gerenda? Szinte látom, ahogy Vermes és Kunfalvi összekacsintottak: erre a hegyre nem lesz könnyű felmászni, de biztosan lesz olyan, akinek sikerül!