Kezdőlap


Cím:	Kidolgozott mintafeladatok
Szerző(k):	Vermes Miklós
Füzet:	1959/szeptember, 32 - 33. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Egy lift $15 m/sec$ sebességgel süllyed. Abban a pillanatban, amikor elhalad mellettünk, elejtünk egy követ. Mikor és hol éri utol az eső kő a liftet? Mennyi ekkor a kő sebessége?
Megoldás. Az utolérés abban a $t$ másodpercben történik, amikor a lift és a kő útja egyenlő. A kő útja cm-ben: $\frac{g}{2} t^{2} = 490 t^{2}$ , a lift útja cm-ben: $1500 t$ . Ezek az utak egyenlők:

\begin{matrix} 490 t^{2} = 1500 t . \end{matrix}

Az egyenlet egyik megoldása

t = 0

. Ez igaz, mert a kő elejtésének pillanatában valóban együtt volt a lift és a kő. Az egyenlet másik gyökének megkeresése céljából egyszerűsítünk és rendezünk:

\begin{matrix} 490 t = 1500, t = 1500 : 490 = 3, 06 sec . \end{matrix}

Ekkor találkozik a kő a lifttel. A kő, illetve lift által addig megtett út

1500 \cdot 3, 06 = 4590 cm = 45, 90

m.
Ami a kő sebességét illeti, téves azt hinni, hogy a találkozáskor egyezik a lift sebességével. A kő sebessége

v = g t = 980 \cdot 3, 06 = 3000

cm/sec. Ez éppen a lift sebességének a kétszerese.. Könnyen belátható az, hogy a kő sebessége éppen a lift sebességének kétszerese kell, hogy legyen. A kő annyi utat tesz meg, mint az egyenletes mozgással haladó lift, viszont sebessége az indulás pillanatában

0

volt és egyenletesen nőtt fel a végértékre, közepes sebessége mindig a végsebesség fele, vagyis végsebessége a közepes sebességének éppen a kétszerese. Ez bizonyítható betűkkel végzett számítással is. Legyen a lift sebessége

c

, ekkor az utak egyenlőségét kifejező egyenlet:

\begin{matrix} \frac{g}{2} t^{2} = c t . \end{matrix}

Ennek a minket érdeklő megoldása

t = \frac{2 c}{g}

. Ebben a pillanatban a kő sebessége

v = g t = g \cdot \frac{2 c}{g} = 2 c

.
2. Üvegpalack belső térfogata

{80 cm}^{3}

. Az üvegpalackban

{12 cm}^{3}

. térfogatú vasdarab fekszik és az üveg pontosan tele van töltve alkohollal. Mindez

0^{\circ}

-on érvényes. Mennyi alkohol folyik ki az üvegből, ha a hőmérséklet

65^{\circ}

-ra emelkedik? Az üveg lineáris hőkiterjedési együtthatója

9 \cdot 10^{- 6} {fok}^{- 1}

, a vas lineáris hőkiterjedési együtthatója

1, 1 \cdot 10^{- 3} {fok}^{- 1}

, az alkohol köbös hőkiterjedési együtthatója

1, 1 \cdot 10^{- 3} {fok}^{- 1}

.
Megoldás. Az alkohol eredeti térfogata

0^{\circ}

-on:

80 - 12 = 68 {cm}^{3}

, megnövekedett térfogata

65^{\circ}

-on:

68 \cdot (1 + 1, 1 \cdot 10^{- 3} \cdot 65) = 72, 86 {cm}^{3}

.
Az üvegpalack belseje úgy terjed ki, mintha belseje is üvegből volna. (L. Kérdezz ‐ felelek! ‐ rovatunkat!) Az üveg köbös hőkiterjedési együtthatója a lineáris hőkiterjedési együttható

3

-szorosa, vagyis

3 \cdot 9 \cdot 10^{- 6} = 27 \cdot 10^{- 6} {fok}^{- 1}

. Az üvegpalack belsejének térfogata

65^{\circ}

-on

80 \cdot (1 + 27 \cdot 10^{- 6} \cdot 65) = 80, 14 {cm}^{3}

.
A vasdarab köbös hőkiterjedési együtthatója

3 \cdot 11 \cdot 10^{- 6} = 33 \cdot 10^{- 6} {fok}^{- 1}

. A vasdarab térfogata

65^{\circ}

-on:

12 \cdot (1 + 33 \cdot 10^{- 6} \cdot 65) = 12, 03 {cm}^{3}

.
A meleg edényben az alkohol rendelkezésére álló térfogat

80, 14 - 12, 03 = 68, 11 {cm}^{3}

. Az alkohol megnövekedett térfogata

72, 86 {cm}^{3}

lévén, az üvegből kifolyik

72, 86 - 68, 11 = 4, 75 {cm}^{3} 65^{\circ}

-os alkohol.
Teljesség kedvéért kérdezhetjük, mennyi volna

0^{\circ}

-on ennek a folyadék-mennyiségnek a térfogata? Ennek kiszámítására szolgáló egyenlet:

\begin{matrix} 4, 75 = V_{0} \cdot (1 + 1, 1 \cdot 10^{- 3} \cdot 65), \end{matrix}

innen

V_{0} = 4, 43 {cm}^{3}