Kezdőlap


Cím:	Változó sebességű körmozgás
Szerző(k):	Tóth Lajos dr.
Füzet:	1963/február, 81 - 83. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a tömegpont előírt pályán mozog, kényszermozgásról beszélünk. A kényszermozgás tárgyalása vagy úgy történik, hogy a ható erőnek a pálya irányába eső komponensével számolunk, tehát a ható erőt és a kényszert együtt vesszük figyelembe, vagy úgy, hogy olyan erőt keresünk, amely a ható erővel együtt éppen a gyorsító erőkomponenst adja. Ekkor tehát a kényszert a kényszererő felvételével vesszük számításba. A kényszererőt a pálya rugalmas erői létesítik és iránya kifelé mutat.
A kényszererő a pályára mindig merőleges, ha mozgást akadályozó erő nincs, ezért a tárgyalások egyszerűsítése céljából a súrlódástól és közegellenállástól eltekintünk.
A kényszermozgásra példaképpen többnyire a lejtőn esést, az egyenletes körmozgást és az ingamozgást szoktuk említeni. Ezek a mozgás folyamán meg is maradnak kényszermozgásnak. Ez arra a téves gondolatra vezethet, hogy egy mozgás vagy szabad, vagy kényszermozgás.
A következőkben be fogjuk mutatni a függőleges elhelyezésű körpályán történő mozgásnak, mint változó sebességű körmozgásnak két esetét. Mint látni fogjuk, az elsőben a kényszererő állandóan csökken, sőt egy ponton 0-vá lesz, és így a mozgás szabaddá válik.

Legyen tehát a pálya kör alakú, függőleges helyzetű, félkör keresztmetszetű vályú, amely kifelé nyitott. Ebben a legmagasabb

A

pontból indítjuk el a tömegpontot reprezentáló gömböt, kezdősebesség nélkül, vagy

v_{0}

kezdősebességgel.

1. ábra

A tömegpontra mozgás közben két erő hat: a gravitációs erő, mely függőlegesen lefelé irányul, és a pályára merőleges, kifelé mutató

K

kényszererő. A pályára merőleges komponenseik eredője a körpályán való tartáshoz szükséges centripetális erőt kell, hogy kiadja. Ha pozitív iránynak a középpont felé mutató irányt vesszük fel (tehát ilyenkor a

K

kényszererő negatív előjelű!)

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{r_{0}} = m g cos φ + K lesz . \end{matrix}

(1)

Tehát

\begin{matrix} K = \frac{m v^{2}}{r_{0}} - m g cos φ . \end{matrix}

(2)

Például: a legfelső pontban (

φ_{0} = 0^{\circ}

), kezdősebesség nulla,

K_{0} = - m g

, tehát a mozgó pont súlya, negatív előjellel.
A negatív előjel annyit jelent, hogy ez az erő kifelé mutat. Ha a mozgás folyamán

v

nő, a kifelé mutató kényszererő állandóan csökken. Egy időpillanatban

K

0-vá lesz, és a mozgás szabaddá válik.
A kényszermozgás feltétele tehát a (2) alapján

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{r_{0}} - m g cos φ < 0, \\ v^{2} < r_{0} g cos φ . & (3) \end{matrix}

A mozgás szabad, ha

\begin{matrix} v^{2} \geq r_{0} g cos φ . \end{matrix}

(3a)

a) Ha a kezdősebesség 0 és

φ = 0

, azaz a kezdőpontban (3) mindig teljesül, mert

0 < r_{0} g

, és kényszermozgás kezdődik. A mozgás folyamán

v

nő, a

cos φ

csökken, ezért a

φ = φ_{1}

helyen

K = 0

-vá lesz, a mozgás szabaddá válik. Ekkor a mozgás sebessége

\begin{matrix} v_{1}^{2} = r_{0} g cos φ_{1} . \end{matrix}

(3b)

b) Ha a kezdősebesség

v_{0} \neq 0

, és teljesül

\begin{matrix} v_{0}^{2} < r_{0} g, akkor \end{matrix}

(4a)

kényszermozgás esete áll fenn. Ha viszont a kezdősebesség nagy, és

\begin{matrix} v_{0}^{2} \geq r_{0} g, \end{matrix}

(4b)

a mozgás szabad, körmozgásról nem beszélhetünk, a pont vízszintes hajítást végez. Most állapítsuk meg azt a

φ_{1}

szöget, amelynél a mozgás szabaddá válik, ha (4a) teljesül.
A függőleges körmozgás esetében az energiatétel

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + m g r_{0} cos φ = E . \end{matrix}

(5)

E

energiaállandót a kezdőállapot határozza meg, amelyben a sebesség

v_{0}

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g r_{0} = E . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \frac{1}{2} m (v^{2} - v_{0}^{2}) + m g r_{0} (cos φ - 1) = 0. \end{matrix}

(6)

A mozgás szabaddá válásának feltétele (3b) szerint

v_{1}^{2} = r_{0} g cos φ_{1}

.
Behelyettesítve

\begin{matrix} r_{0} g cos φ_{1} - v_{0}^{2} + 2 r_{0} g (cos φ_{1} - 1) = 0, & (7) \\ cos φ_{1} = \frac{2}{3} + \frac{v_{0}^{2}}{3 r_{0} g} . \end{matrix}

A jobboldal nyilvánvalóan mutatja, hogy

cos φ_{1}

legkisebb, tehát a

φ_{1}

szögelfordulás legnagyobb, ha

v_{0} = 0

. Kezdettől szabad a mozgás, ha

\begin{matrix} 1 = \frac{2}{3} + \frac{v_{0}^{2}}{3 r_{0} g}, v_{0}^{2} = r_{0} g, \end{matrix}

(7a)

megegyezésben (4b)-vel.
Most még számítsuk ki a

φ_{1}

szöghöz tartozó sebességet!
A (6) alapján, ha (7)-et is figyelembe vesszük:

\begin{matrix} v_{1}^{2} = v_{0}^{2} + 2 g r_{0} (1 - cos φ_{1}) = \frac{1}{3} [2 g r_{0} + v_{0}^{2}] . \end{matrix}

(8)

Végezzünk számításokat azokban az esetekben, amikor

v_{0} = 0

v_{0} = 150 {cm sec}^{- 1}

, és ha

v_{1} = v_{0}

. A mi kísérleteinkben

r_{0} = 50

cm volt.
Az eredményt az I. táblázatban foglaljuk össze:

\begin{matrix} v_{0} & v_{1} & φ_{1} \\ cm sec^{- 1} & cm sec^{- 1} \\ 0 & 180 & 48^{\circ} 10' \\ 150 & 200 & 20^{\circ} \\ 221, 5 & 221, 5 & 0^{\circ} \end{matrix}

1. táblázat

v_{0}

jelenti a kezdősebességet,

v_{1}

azt a sebességet, amelynél a mozgás szabaddá lesz,

φ_{1}

v_{1}

sebességhez tartozó szögelfordulás.
Figyeljük meg

v_{1}

növekedését (a határsebességhez), ha

v_{0}

0-tól a határsebességig nő. (A

180 {cm sec}^{- 1}

sebesség [első sor] azonos azzal a sebességgel, mintha a pont a lejtő magasságán át szabadon esett volna.)

II.

A függőleges körmozgás másik esete legyen a (2) ábra szerint. A kör alakú vályú felülről nyitott. A kezdőpont legyen a legfelső

A

pont. A potenciális energiát

B

pontban tekintsük 0-nak. Tehát

C

pontban

\begin{matrix} E_{p} = m r_{0} g - m r_{0} g cos φ . \end{matrix}

2. ábra

Legyen most a kifelé mutató irány pozitív. Ekkor a mozgó pontra ható erők így írhatók fel:

\begin{matrix} - \frac{m v^{2}}{r_{0}} = K + m g cos φ, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} K = - m g cos φ - \frac{m v^{2}}{r_{0}} . \end{matrix}

(9)

A negatív jel azt jelenti, hogy ez az erő

O

felé mutat. Ha a kezdősebesség,

v_{0} = 0

A

pontban

K = 0

, tehát a mozgás, mint esés kezdődik, és mint kényszermozgás folytatódik. A mozgás folyamán

v

állandóan nő, tehát

K = 0

nem lehet. Ez a változó sebességű körmozgás mindig kényszermozgás marad.
Írjuk fel az energiatételt:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + m r_{0} g - m r_{0} g cos φ = E . \end{matrix}

(10)

Ha a kezdősebesség

v_{0} (φ = 90^{\circ}

esetében)

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m r_{0} g = E, \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{1}{2} m (v^{2} - v_{0}^{2}) - m r_{0} g cos φ = 0. \end{matrix}

(10a)

a) Engedjük el a mozgó pontot kezdősebesség nélkül (

v_{0} = 0

). Az a pálya végéhez akkora sebességgel érkezik, mintha

r_{0}

magasságból szabadon esett volna, ui. (10a)-ból, ha

v_{0} = 0

és

φ = 0^{\circ}

\begin{matrix} v^{2} = 2 r_{0} g . \end{matrix}

(11)

Ugyanez a helyzet, ha a sebességet a pálya tetszőleges

φ

szöghöz tartozó pontjában vizsgáljuk, ui.

r_{0} cos φ

a szabadeséssel megtett utat jelenti.

b) Legyen

v_{0} > 0

. Ekkor a végsebesség

\begin{matrix} v^{2} = 2 r_{0} g + v_{0}^{2} . \end{matrix}

Megjegyzés: A kísérletek a levezetett eredményekhez képest kisebb eltéréseket mutatnak, mivel a súrlódást nem vettük számításba. Mi a súrlódást azzal is csökkentettük, hogy a pálya sugaránál nagyobb sugarú gömbbel végeztük a kísérleteket, azaz a gömb a körpálya peremén haladt lefelé.

Dr. Tóth Lajos
egyetemi tanár