Cím: Olimpiai előkészítő feladatok (Kúpszeletek)
Szerző(k):  Szikszai József 
Füzet: 1979/január, 27 - 28. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(Kúpszeletek)

 

Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek előkészítőül szolgálnak a Matematikai Diákolimpiára. A feladatok megoldásait nem kérjük beküldeni, a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatokkal kapcsolatos kérdéseikkel forduljanak a szerkesztőséghez. Leveleikre írásban válaszolunk.
 

1. Adott derékszögű háromszög síkjában keressük meg azokat a pontokat, amelyeknek a háromszög csúcsaitól mért távolságaival mint oldalakkal ismét derékszögű háromszöget szerkeszthetünk.
 

2. Adott egy k kör és a kör A és B pontjai. Rajzoljunk a k kört az A pontban érintő kA kört és a B pontban érintő kB kört úgy, hogy a kA és kB körök egymást is érintsék a P pontban. Mi a P érintési pontok mértani helye?
 

3. Tekintsük azt az ellipszist, amely az ABCD téglalap oldalait a felezőpontjaikban érinti. Az ellipszis egy P pontjában húzott érintő messe az AD egyenest az F, az AB egyenest az E pontban. Legyenek az E és F pontok ‐ a tengelypontoktól különböző vetületei az ellipszis szimmetriatengelyeire G és H. Igazoljuk, hogy a GP és HP egyenesek átmennek egy-egy ellipszis tengelyponton.
 

4. Egyenlő oldalú kúpból lemetszünk egy ellipszis alapú kúpot. Bizonyítsuk be, hogy az alapellipszis kistengelye a kúp legkisebb és legnagyobb alkotójának mértani közepe.
 

5. Mi a mértani helye azoknak a pontoknak, amelyekből adott parabola 45∘-os szög alatt látszik?
 

6. Az ellipszist érintő téglalapok közül melyik a legnagyobb és melyik a legkisebb területű?
 

7. Jelölje A és B valamely hiperbola két tengelypontját és legyen a hiperbola egy pontja P. Igazoljuk, hogy az AP és BP egyenesek, valamint a hiperbola egyik aszimptotája által meghatározott háromszög P-ből induló súlyvonala párhuzamos a másik aszimptotával.
 

8. Adott az ABC szabályos háromszög körülírt körének A-tól és B-től különböző P pontja. Jelöljük az AP és BC egyenesek metszéspontját Q-val, az AC és BP egyenesek metszéspontját R-rel. Igazoljuk, hogy P-t változtatva az így kapott QR egyenesek a sík egy rögzített pontján mennek át.
 

9. Jelöljük az ellipszis fél nagytengelyét a-val, a fél kistengelye pedig legyen egységnyi. Rajzoljunk az ellipszis középpontja körül egységnyi sugarú k1 kört. Van-e olyan k2 kör, amelynek középpontja a nagytengelyen van, érinti a k1 kört és az ellipszist, az utóbbit két pontban?
 

10. Az ABCD téglalap oldalait osszuk fel a:b arányban, mégpedig úgy, hogy
AA'A'B=B'CB'B=CC'C'D=D'AD'D=ab.
Írjunk a téglalapba ellipszist, amely az oldalakat az  A', B',  C', D' pontokban érinti. Hányadrésze az ellipszis területe a téglalap területének?
 


Javasolt szakirodalom
 


Geometriai feladatok gyűjteménye II. kötet

Schopp János: Kúpszeletek (Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó,
Bp.)

Hajós György: Bevezetés a geometriába (Egyetemi tankönyv)

Lukács Ottó: Koordinátageometria vektorokkal a síkban és térben (Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó, Bp.)