Kezdőlap


Cím:	Beszámoló a 2004. évi Eötvös-versenyől
Szerző(k):	Radnai Gyula
Füzet:	2005/március, 169 - 180. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2004. október 15-én rendezte meg az Eötvös Loránd Fizikai Társulat az azévi Eötvös-versenyt. Budapesten 76, Pécsen 15, Szegeden, Veszprémben és Szekszárdon 10‐10, Debrecenben 9, Győrben 6, Miskolcon 5, Békéscsabán, Egerben, Kecskeméten, Nagykanizsán, Nyíregyházán és Sopronban 3‐3, Székesfehérváron 2, összesen tehát 161 dolgozatot adtak be a versenyen részt vett ‐ idén érettségizett, illetve középiskolás ‐ diákok. Közülük 1 volt külföldi (szlovákiai) állampolgár, ő Győrben versenyzett.
Ismertetjük a feladatokat és a feladatok helyes megoldását.

1. Egy habókos lakberendező állófogast tervez, két változatban. Egy negyedkörív alakú, vékony, de erős rugalmas fémszálat egyik végénél szilárdan hozzáerősít egy merev törzshöz, egyszer az

a)

, másszor a

b)

elrendezésben (1. ábra). Meglepődve tapasztalja, hogy ha ugyanakkora terhet akaszt a fogasokra, a fémszálak végpontja nem ugyanannyival süllyed le a két esetben.

1. ábra

Okoskodjuk ki egyszerű megfontolásokkal, hogy melyik esetben nagyobb a végpont lesüllyedése!

Megoldás. Vegyük észre, hogy a külső erő hatására a negyedkörív alakú rugalmas fémszál alakja fog megváltozni, pontosabban az erő által kifejtett (pontról pontra változó) forgatónyomaték okozza a szál alakjának megváltozását. A szál hosszának megváltozása (megnyúlása) elhanyagolható a szál alakjának megváltozása (lehajlása) mellett.
Célszerű lesz a két fémszál alakváltozását úgy összehasonlítani, hogy kölcsönösen egyértelműen megfeleltetjük egymásnak a két szál pontjait. A megfeleltetett pontokban fellépő deformációkat (elhajlásokat) hasonlítjuk össze, majd megvizsgáljuk, hogy ezek a deformációk milyen mértékben járulnak hozzá a végpontok lesüllyedéséhez.
Képzeljük ‐ modellezzük ‐ a rugalmas fémszálat nagyon kis szemekből álló láncnak, ahol az egyes (merev) láncszemeket piciny spirálrugók kapcsolják egymáshoz. A lánc (melynek saját súlyát elhanyagoljuk) terheletlen állapotában pontosan negyedkört formál.
Írjuk fel, hogy mekkora forgatónyomatékot gyakorol a teher függőleges irányú

G

súlya a fémszálnak

φ

szöggel jellemzett helyén az ottani ,,spirálrugóra'' (2. ábra)! (Ezen rugó elfordulása nyomán kialakuló visszatérítő nyomaték fogja majd

G

-nek azon a helyen fellépő forgatónyomatékát kiegyenlíteni, kompenzálni.)
Amint az az ábráról is leolvasható, ugyanazon

φ

szöghöz tartozó pontokban az

M

forgatónyomaték az

a)

esetben sohasem lehet kisebb a

b)

esetben fellépőnél, mivel

sin φ \geq 1 - cos φ

. Az egyenlőség csak

φ = 0

és

φ = \frac{π}{2}

esetben (vagyis a szál végpontjainál) áll fenn, közben

M_{a}

mindig határozottan nagyobb, mint

M_{b}

2. ábra

Ebből már látszik, hogy a fémszál deformációja (görbültségének megváltozása) minden bizonnyal az

a)

esetben lesz nagyobb. Azt kell még megnéznünk, hogyan jelentkezik mindez a szál végpontjának lesüllyedésében. Sejtésünk az, hogy a nagyobb deformáció nagyobb lesüllyedést is eredményez.
Vizsgáljuk meg, hogy ha csupán a

φ

szöggel megjelölt pontban jönne létre deformáció (ha csak az ottani kis spirálrugó csavarodna el), ez a végpontnak mekkora függőleges elmozdulását (lesüllyedését) eredményezné!
Az

a)

esetben a 3. ábrán látható

\hat{P A}

ív elhajlása

(ε_{a})

M_{a}

forgatónyomatékkal, a

b)

esetben a

\hat{P B}

ív

(ε_{b})

elhajlása az

M_{b}

forgatónyomatékkal arányos. Mondhatjuk, hogy az

A A'

szakasz hossza annyiszorosa a

B B'

szakasz hosszának, ahányszorosa az

M_{a}

nyomaték nagysága az

M_{b}

nagyságának.

3. ábra

Vegyük észre azt is, hogy az

A A'

irány közelebb áll a függőlegeshez, mint a

B B'

irány! Egyszerű geometriai megfontolásból következik, hogy a végpontok lesüllyedésének aránya

\begin{matrix} \frac{Δ h_{b}}{Δ h_{a}} = \frac{ε_{b}}{ε_{a}} \frac{sin \frac{φ}{2}}{cos \frac{φ}{2}} = \frac{ε_{b}}{ε_{a}} tg \frac{φ}{2} . \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} \frac{ε_{b}}{ε_{a}} = \frac{M_{b}}{M_{a}} = \frac{1 - cos φ}{sin φ} = tg \frac{φ}{2}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} \frac{Δ h_{b}}{Δ h_{a}} = tg^{2} \frac{φ}{2} \leq 1, ha 0 \leq φ \leq \frac{π}{2} . \end{matrix}

Beláttuk tehát, hogy a két fémszál egymásnak megfeleltetett pontjai közül (a végpontoktól eltekintve) mindig az

a)

esetbeli pontoknál fellépő deformáció ad nagyobb járulékot a szál végének lesüllyedéséhez. Mivel a teljes alakváltozás összetehető az egyes spirálrugók deformációiból származó alakváltozásokból, kimondhatjuk: az

a)

esetben nagyobb a szál végpontjának lesüllyedése.

Megjegyzések. 1. Energetikai megfontolásokkal és integrálszámítással numerikusan is meg tudjuk határozni a kétféle lesüllyedés arányát, jóllehet a versenyen ez nem volt feladat.
Ha a fogas végére ‐ óvatosan növelve a terhelést ‐ maximálisan

G

nagyságú erőt fejtünk ki, és ennek hatására a végpont

Δ h

-val mélyebbre kerül, akkor összesen

W = \frac{1}{2} G Δ h

munkát végzünk. (Az

\frac{1}{2}

-es faktor onnan származik, hogy az erő átlagértéke a maximális érték fele.) Ez a munkavégzés a kicsit meghajlított szálban tárolt rugalmas energiával egyenlő, ami a szál egyes darabkáiban tárolt energiák összegeként számítható. Egy-egy darabka rugalmas energiája ‐ a megfeszített egyenes rugó energiaképletének analógiájára ‐ a darabka hosszával és a végein ható forgatónyomaték négyzetével arányos. Ezek szerint a kétféle ruhafogas energiaviszonyait összevetve:

\begin{matrix} \frac{W_{a}}{W_{b}} = \frac{Δ h_{a}}{Δ h_{b}} = \frac{\int M_{a}^{2} (φ) d s}{\int M_{b}^{2} (φ) d s} = \frac{\int_{0}^{π / 2} sin^{2} (φ) d φ}{\int_{0}^{π / 2} {(1 - cos φ)}^{2} d φ} = \frac{\frac{1}{2} \frac{π}{2}}{\frac{π}{2} - 2 + \frac{1}{2} \frac{π}{2}} = \frac{π}{3 π - 8} \approx 2, 2. \end{matrix}

2. Természetesen más úton is eljuthatunk a helyes válaszhoz. Minden egyszerű megfontolás során a negyedkör alakú rugalmas fémszálat valamilyen egyszerű módon modellezzük. Az egymásnak megfeleltethető ívek, szakaszok deformációit hasonlítjuk össze, s ebből következtetünk a végpont lesüllyedésére. Tekinthetjük az eredeti negyedkörívek helyett akár a 4. ábrán látható derékszögeket is! Ebben a közelítésben a teljes alakváltozás két tag összegeként, a (kezdetben) vízszintes, illetve függőleges szárak deformációjából tehető össze.

4. ábra

A vízszintes szakaszok lehajlása, ha a függőleges szárak nem tudnának elmozdulni, azonos terhelés esetén ugyanakkora lenne; eddig tehát még egyformán viselkedik a két ruhafogas. A függőleges szakaszok deformációjának hatása a végpont lesüllyedésére azonban a két változatnál már különböző lesz. Az

a)

esetben a derékszög függőleges szára is elgörbül (hiszen a vízszintes szár a sarokpontnál forgatónyomatékot fejt ki rá), s ez az

A'

végpont további függőleges elmozdulását eredményezi. A

b)

esetben viszont a függőleges szár alakja gyakorlatilag változatlan marad, mindössze elfordul (a vízszintes szár lehajlása miatt); ez az elfordulás azonban a

B

végpont majdnem pontosan vízszintes irányú elmozdulását hozza létre, tehát nem járul hozzá annak függőleges irányú lesüllyedéséhez.
Látható, hogy ebben a durva modellben az

a)

esetbeli végpont lesüllyedése kb. kétszerese a

b)

esetének, és sejthető, hogy az eredeti, negyedkörív alakú szálakhoz visszatérve a lehajlások arányának számértéke ugyan más lesz, de az egyenlőtlenség iránya nem változik meg.

2. Nyílásával lefelé fordított, függőleges helyzetben rögzített kémcső éppen hogy bemerül egy nagy tál vízbe (5. ábra). A víz és a környezet hőmérsékletét a kezdeti

0^{\circ} C

-ról lassan megnöveljük. Egy idő után a melegítést abbahagyjuk, és engedjük, hogy a hőmérséklet újra az eredeti értékre álljon vissza. Azt tapasztaljuk, hogy a kémcső fele magasságáig megtelt vízzel. A külső légnyomás mindvégig

10^{5} Pa

volt.

5. ábra

Körülbelül hány

^{\circ} C

-ra melegítettük fel a rendszert?

Megoldás. Válasszuk ki a kémcsőben lévő gázok (levegő, vízgőz) három jellegzetes állapotát a fenti folyamat során, és vizsgáljuk meg az állapotjelzők között érvényes összefüggéseket!
1. A kezdőállapotban (

0^{\circ}

C) a vízgőz jelenlététől eltekinthetünk (nyomása 0,6 kPa, ami elhanyagolható a levegő 101 kPa-os nyomása mellett). A bezárt levegő térfogatát

V

-vel, nyomását

p_{0}

-lal, hőmérsékletét

T_{0}

-lal, a molekulák számát

N_{0}

-lal jelölve felírhatjuk az ideális gáz termikus állapotegyenletét:

\begin{matrix} p_{0} V = N_{0} k T_{0} . \end{matrix}

2. A melegítés végén a

V

térfogatban már

T

hőmérsékletű gáz lesz, amely

N = N_{lev} + N_{gőz}

számú molekulából áll, nyomása most is megegyezik a külső

p_{0}

nyomással, de ez a levegő

p_{lev}

és a vízgőz

p_{gőz}

parciális nyomásából tevődik össze:

\begin{matrix} p = p_{lev} + p_{gőz}, \end{matrix}

ahol külön a levegőre most is érvényes:

\begin{matrix} p_{lev} V = N_{lev} k T . \end{matrix}

A vízgőzre most csak annyit mondhatunk, hogy nyomása egyedül a hőmérséklettől függ:

\begin{matrix} p_{gőz} = f (T) . \end{matrix}

Ezt a függvényt (az ún. gőztenzió függvényt) táblázattal szokás megadni; a középiskolában használatos táblázatban 5 fokonként szerepelnek a (telített) vízgőzre érvényes nyomásértékek.
3. A végállapotban visszaáll a kezdeti

T_{0}

hőmérséklet. A kémcső félig megtelt vízzel, tehát

\frac{V}{2}

térfogatban van csak gáz, ami a kezdőállapothoz hasonlóan újra csak levegő, a vízgőz elhanyagolható parciális nyomása miatt. A

T

hőmérsékleten még meglévő vízgőz lecsapódott. A levegő nyomása picit kisebb, mint a külső légnyomás, de normál kémcső esetén a kémcső felét kitöltő víz hidrosztatikai nyomása elhanyagolható a külső légnyomás mellett. Írhatjuk tehát:

\begin{matrix} p_{0} \frac{V}{2} = N_{lev} k T_{0} . \end{matrix}

A kezdőállapotra felírt állapotegyenlettel összehasonlítva megállapíthatjuk:

\begin{matrix} N_{lev} = \frac{N_{0}}{2}, \end{matrix}

vagyis a levegő fele a melegítés során ,,kibugyborékolt'' a kémcsőből.
A melegítés végén így

\begin{matrix} p_{lev} V = \frac{N_{0}}{2} k T, \end{matrix}

míg a kezdetén

\begin{matrix} p_{0} V = N_{0} k T_{0} \end{matrix}

volt az érvényes állapotegyenlet. Ezekből

\begin{matrix} \frac{p_{lev}}{p_{0}} = \frac{1}{2} \frac{T}{T_{0}} \end{matrix}

következik.
A vízgőz nyomására tehát kétféle összefüggést tudtunk felírni. Egyrészt a már említett

p_{gőz} = f (T)

gőztenzió függvényt, másrészt a mostani folyamatra érvényes

\begin{matrix} p_{gőz} = p_{0} - p_{lev} = p_{0} - p_{0} \frac{T}{2 T_{0}} \end{matrix}

összefüggést. A melegítés során elért véghőmérséklet így az alábbi egyenletből határozható meg:

\begin{matrix} p_{0} \cdot (1 - \frac{T}{2 T_{0}}) = f (T) . \end{matrix}

Mivel az

f (T)

függvény táblázattal adott, a megfelelő

T

érték interpolációval határozható meg (6. ábra). A kérdéses hőmérséklet (foknyi pontossággal) 347 K, azaz 74

^{\circ}

6. ábra

Megjegyzések. 1. A megoldás során alkalmazott jogos elhanyagolások miatt az interpolációt nem érdemes ‐ nem is szabad ‐ több tizedesjegy ,,pontossággal'' végezni.
2. A magyar iskolákból jött versenyzőknek kézenfekvő volt, hogy a ,,Négyjegyű''-ben vagy a ,,Budó'' könyvben található táblázatokat használják. Az

f (T)

tenziógörbe bizonyos közelítésben elméleti úton, az ún. Clausius‐Clapeyron-egyenlet felhasználásával is meghatározható, de mivel a hazai középiskolákban ez nem része a fizika tananyagnak, nem számítottunk ilyen közelítő megoldásra. Mégis adódott egy: Szlovákiából. Természetesen a Bizottság ezt a megoldást is elfogadta.

3. Ebben a feladatban elektronok mozgását vizsgáljuk homogén mágneses térben, az erővonalakra merőleges síkban. (Az elektront klasszikus tömegpontnak tekintjük, melyre csak elektromos és mágneses erők hatnak.)

a)

Két, kezdetben nyugvó elektron egymástól elég messze,

d

távolságra helyezkedik el. Mekkora azonos nagyságú, egymással ellentétes irányú sebességgel indítsuk el az elektronokat úgy, hogy távolságuk a mozgás során ne változzék?

b)

Állandó maradhat-e a

d

távolság akkor is, ha csak az egyik elektront lökjük meg? Milyen pályán mozog ekkor a rendszer tömegközéppontja? Mekkora az a minimális

d_{{min}_{}^{}}

távolság, ami mellett ilyen mozgás még létrejöhet? Ábrázoljuk vázlatosan az elektronok pályáját ebben az esetben! Mikor áll meg először a meglökött elektron?

Megoldás.

a)

A mágneses térben mozgó elektronokra akkora Lorentz-erőnek kell hatnia, hogy legyőzze a köztük fellépő elektrosztatikus taszítóerőt, sőt biztosítsa még az egyenletes körmozgáshoz szükséges centripetális erőt is. A két elektron ugyanazon a körpályán, egymással szemben, ugyanakkora sebességgel fog mozogni, ezáltal nem változik a közöttük lévő

d