A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A múlt havi számunkban közreadtuk a 2004. évi KöMaL Ankét totó-kérdéseit. A helyes válasz: | | Telitalálatos szelvényt adott be és könyvjutalmat kapott Paulin Roland (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.), Pálinkás Csaba (Szolnok, Verseghy F. Gimn., 12. évf.) és Horváth Márton (ELTE TTK matematikus hallgató). Az alábbiakban rövid útmutatást adunk a totóban szereplő feladatok megoldásához.
1. Egy sorozat első tagja . Minden további tag az előző tag számjegyei összegének a -szorosa. Mennyi a sorozat -edik eleme? 130 (1); 169 (2); 143 (X).
Megoldás. A helyes válasz: (1). A sorozat első néhány tagját felírva: | | A sorozat periodikus, a 3-mal osztható sorszámú elemek értéke 130.
2. Két egyforma, négyzet alapú téglatest alakú edénybe egyforma tömegű vizet, illetve étolajat öntünk. Melyik esetben nagyobb az oldallapokra ható erő? A víznél (1); az étolajnál (2); egyforma (X).
Megoldás. A helyes válasz: (2). Az edény fenéklapjánál a nyomás mindkét esetben ugyanakkora (nevezetesen a folyadék súlyának és a négyzet területének hányadosa). Az egyes oldallapokra ható átlagos nyomás (a fenéknyomás fele) ugyancsak független a folyadék sűrűségétől. Eszerint valamelyik kiszemelt oldallapra ható erő az oldallap folyadékkal érintkező részének területével arányos; ez pedig (a víznél kisebb sűrűségű) étolaj esetében nagyobb.
3. Tekintsük azokat az egész együtthatós másodfokú polinomokat, amelyeknek van két különböző valós gyökük a nyílt intervallumban. Ekkor minimális értéke 4 (1); 5 (2); 6 (X).
Megoldás. A helyes válasz: (2). Legyenek egy ilyen tulajdonságú polinom gyökei és . Ekkor . Mivel , ha és pontosan akkor van egyenlőség ha , továbbá a feltétel szerint , azért (). Mivel egész, azért az alsó korlát legalább 1, így , tehát legalább 5. Az példa mutatja, hogy a talált korlát éles.
4. Egy foton energiája megegyezik egy elektron mozgási energiájával. Melyik részecskének nagyobb a lendülete? A fotonnak (1); az elektronnak (2); csak további adatok ismeretében lehet eldönteni (X).
Megoldás. A helyes válasz: (2). A foton energiája és impulzusa (lendülete) között a kapcsolat ( a fénysebesség). Ha az elektron nemrelativisztikusan ( sebességgel) mozog, akkor a mozgási energiája , és az impulzusa Az elektron lendülete akkor is nagyobb a megfelelő fotonénál, ha a részecske mozgása a relativisztikus tartományba esik. Ilyenkor a teljes (nyugalmi + mozgási) energia és a lendület között a kapcsolat, ahonnan és mivel a jobb oldal második tagja pozitív, .
5. Hányféleképpen lehet egy konvex tízszöget háromszögre felbontani? (1); (2); (X).
Megoldás. A helyes válasz: (2). Nem nehéz megmutatni, hogy ha egy konvex -szöget háromszögre bontunk fel, akkor a felbontás egymást nem metsző átlók segítségével történik, a háromszögek csúcsai a sokszög csúcsai is egyben. Jelölje az ilyen felbontások számát . Nyilván és . Vezessük be még az konvenciót is. Az -szög egyik oldalát kiszemelve, ez valamelyik háromszögnek is oldala lesz. Aszerint, hogy ennek a háromszögnek a harmadik csúcsa éppen melyik csúcsa lesz a konvex -szögnek, felírhatjuk az alábbi rekurziót: Ennek alapján
6. Hány százalékkal változna meg az első kozmikus sebesség, ha a Föld sugara és az átlagsűrűsége is valamilyen ok miatt -kal megnőne? -kal nőne (1); -kal nőne (2); -kal csökkenne (X).
Megoldás. A helyes válasz: (2). Egy tömegű és sugarú égitestnél az első kozmikus sebesség (az égitest közvetlen közelében körpályán keringő űreszköz sebessége) , de mivel (ahol az égitest átlagsűsűsége), . Ha a Föld sugara és az átlagsűrűsége is valamilyen ok miatt -kal megnőne, az első kozmikus sebesség -szeresére változna, tehát mintegy -kal nőne.
7. Az háromszög magasságpontja , körülírt körének középpontja , a oldal felezőpontja , az -ból induló magasság talppontja . A , , , pontok egy téglalap csúcsai, melynek oldalai: , . Mekkora a oldal hossza? 32 (1); (2); 28 (X).
Megoldás. A helyes válasz: (X). Ismeretes, hogy az kezdőpontú helyvektorrendszerben és így . Így tehát . Pitagorasz tételét alkalmazva , ahonnan | |
8. Szélcsendes időben egy nagy magasságból leejtett könnyű golyó állandósult sebessége lesz. Az elejtésétől számítva mennyi idő múlva éri el a sebessége a -os értéket, ha a közegellenállási erő a sebesség négyzetével arányos? s (1); s (2); s (X).
Megoldás. A helyes válasz: (1). A test mozgásegyenlete ahol az állandósult sebesség. A végsebesség bizonyos hányadának (jelen esetben részének) eléréséhez szükséges időt numerikusan (a sebességváltozásokat véges sok kis lépésben számolva) becsülhetjük, vagy (az új változót bevezetve) integrálszámítás segítségével számíthatjuk ki: | |
9. Mennyi egész részének utolsó számjegye? 3 (1); 5 (2); 7 (X).
Megoldás. A helyes válasz: (1). egész szám és , mert . Mivel , továbbá , azért .
10. Két, egyenként töltésű rögzített fémgömb erővel taszítja egymást. Ha az egyik gömb töltését -ra változtatjuk, akkor erővel vonzzák egymást. Melyik állítás igaz? (1); (2); (X).
Megoldás. A helyes válasz: (2). Ha a gömbök mérete sokkal kisebb, mint a középpontjaik közötti távolság, akkor (első közelítésben) a taszító- és a vonzóerő nagysága megegyezik; mindkettő . Viszonylag közeli gömbök (vagy pontosabb számolás igénye) esetén figyelembe kell vennünk a megosztás jelenségét. Egyforma töltésű gömböknél a rajtuk levő töltések ,,átlagos távolsága'' -nél nagyobb, különböző töltések esetén pedig -nél kisebb; emiatt .
11. Egy egység oldalú szabályos hatszöget olyan egységoldalú rombuszokkal szeretnénk kiparkettázni, melyek kisebbik szöge fokos. Hányféleképpen lehet ezt megtenni? 324 (1); 720 (2); 980 (X).
Megoldás. A helyes válasz: (X). A megoldás, amely feltételezi a determinánsok ismeretét (és némi angol nyelvtudást), megtekinthető a
http://www.cs.elte.hu/̃karolyi/GT/index.html
lapon, lásd determinant lemma (Lecture VII) and its application to rhombic tilings (Lecture VIII). Itt sok más érdekesség is található, például az 5. feladat általános megoldása az úgynevezett Catalan-számok segítségével.
12. Kelthet-e egy nagyon gyorsan mozgó, elektromosan töltött részecske a szuperszonikus repülőgépek Mach-kúpja mentén terjedő hanghullámokhoz hasonló, ugyancsak kúpszerűen terjedő elektromágneses sugárzást? Igen, de csak akkor, ha a részecske a fénynél gyorsabban mozog (1); nem, mert egyetlen részecske sem mozoghat gyorsabban, mint a fény (2); a kérdést elméletileg tisztázták, kísérletileg azonban még eldöntetlen (X).
Megoldás. A helyes válasz: (1). Egy elektromosan töltött részecske polarizálható közegben (pl. vízben) kúpszerűen terjedő elektromágneses sugárzást (ún. Cserenkov-sugárzást) bocsát ki, ha a részecske sebessége meghaladja a közegbeli fénysebességet. Az így működő részecskeazonosító berendezéseket Cserenkov-detektoroknak nevezik, és elterjedten alkalmazzák a nagyenergiájú kísérleti részecskefizikában.
13. A jegyű számok közül találomra kiválasztunk egyet. Annak a valószínűsége, hogy egy prímszámot választottunk ki, körülbelül (1); (2); (X).
Megoldás. A helyes válasz: (2). Ha pozitív egész, akkor jelölje az -nél nem nagyobb pozitív prímek számát. Ismeretes, hogy értéke közelítőleg . A 400 jegyű számok száma , ezek között a prímek száma . A kérdéses valószínűség értéke ezek szerint közelítőleg | |
13+1. Földi űrhajósok nagyon hosszú utazás végén egy olyan bolygó közelébe érnek, amelynek elektromos potenciálja igen nagy a Földéhez képest. Veszélyes-e emiatt a bolygó felszínére lépniük? Igen, áramütésnek teszik ki magukat, ha kilépnek az űrhajóból (1); már a bolygó megközelítése is veszélyekkel jár, ha az űrhajó fala nem jó elektromos vezető, és emiatt nem tekinthető Faraday-kalickának (2); nyugodtan leszállhatnak és kiléphetnek a bolygó felszínére, a Föld és az idegen bolygó közötti nagy potenciálkülönbség önmagában nem jelent veszélyt számukra (X). Megoldás. A helyes válasz: (X). A Föld és az idegen bolygó közötti nagy potenciálkülönbség önmagában nem jelent veszélyt, hiszen az űrhajósok mindig csak a helyi (lokális) potenciálváltozást (térerősséget) érzékelik, nem pedig a teljes utazás során ,,összegyűjtött'' potenciálváltozást. (A földi potenciált nem ,,viszik magukkal''.) A helyzet hasonló a tengerszintről induló hegymászók esetéhez. Ha lassan kapaszkodnak fel egy nagyon magas (nagy helyzeti energiával rendelkező) hegycsúcsra, a magasságkülönbséget és az annak megfelelő energiakülönbséget a csúcsra lépve közvetlenül nem érzékelik, legfeljebb annak közvetett hatását (pl. a fokozatosan csökkenő légnyomást) tapasztalják. |