Kezdőlap


Cím:	A matematika és fizika totó eredménye (2004)
Füzet:	2005/február, 103 - 106. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A múlt havi számunkban közreadtuk a 2004. évi KöMaL Ankét totó-kérdéseit. A helyes válasz:

\begin{matrix} 1,2,2,  2,2,2,  X,1,1,  2,X,1,  2,X. \end{matrix}

Telitalálatos szelvényt adott be és könyvjutalmat kapott Paulin Roland (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.), Pálinkás Csaba (Szolnok, Verseghy F. Gimn., 12. évf.) és Horváth Márton (ELTE TTK matematikus hallgató).
Az alábbiakban rövid útmutatást adunk a totóban szereplő feladatok megoldásához.

1. Egy sorozat első tagja

439

. Minden további tag az előző tag számjegyei összegének a

13

-szorosa. Mennyi a sorozat

99

-edik eleme? 130 (1); 169 (2); 143 (X).

Megoldás. A helyes válasz: (1). A sorozat első néhány tagját felírva:

\begin{matrix} {\underset{︸}{439}}_{16}^{} \to {\underset{︸}{208}}_{10}^{} \to {\underset{︸}{130}}_{4}^{} \to {\underset{︸}{52}}_{7}^{} \to {\underset{︸}{91}}_{10}^{} \to 130 . \end{matrix}

A sorozat periodikus, a 3-mal osztható sorszámú elemek értéke 130.

2. Két egyforma, négyzet alapú téglatest alakú edénybe egyforma tömegű vizet, illetve étolajat öntünk. Melyik esetben nagyobb az oldallapokra ható erő? A víznél (1); az étolajnál (2); egyforma (X).

Megoldás. A helyes válasz: (2). Az edény fenéklapjánál a nyomás mindkét esetben ugyanakkora (nevezetesen a folyadék súlyának és a négyzet területének hányadosa). Az egyes oldallapokra ható átlagos nyomás (a fenéknyomás fele) ugyancsak független a folyadék sűrűségétől. Eszerint valamelyik kiszemelt oldallapra ható erő az oldallap folyadékkal érintkező részének területével arányos; ez pedig (a víznél kisebb sűrűségű) étolaj esetében nagyobb.

3. Tekintsük azokat az egész együtthatós

a x^{2} + b x + c

másodfokú polinomokat, amelyeknek van két különböző valós gyökük a

(0; 1)

nyílt intervallumban. Ekkor

| a |

minimális értéke 4 (1); 5 (2); 6 (X).

Megoldás. A helyes válasz: (2). Legyenek egy ilyen tulajdonságú polinom gyökei

x_{1}

és

x_{2}

. Ekkor

\begin{matrix} f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) . \end{matrix}

P = f (0) \cdot f (1) = a^{2} x_{1} (1 - x_{1}) x_{2} (1 - x_{2})

. Mivel

t (1 - t) \leq \frac{1}{4}

, ha

0 < t < 1

és pontosan akkor van egyenlőség ha

t = \frac{1}{2}

, továbbá a feltétel szerint

x_{1} \neq x_{2}

, azért

0 < P < \frac{a^{2}}{16}

(

a > 0

).
Mivel

P

egész, azért az alsó korlát legalább 1, így

16 < a^{2}

, tehát

a

legalább 5.
Az

f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1

példa mutatja, hogy a talált korlát éles.

4. Egy foton energiája megegyezik egy elektron mozgási energiájával. Melyik részecskének nagyobb a lendülete? A fotonnak (1); az elektronnak (2); csak további adatok ismeretében lehet eldönteni (X).

Megoldás. A helyes válasz: (2). A foton

E

energiája és

p_{f}

impulzusa (lendülete) között

E = p_{f} c

a kapcsolat (

c

a fénysebesség).
Ha az elektron nemrelativisztikusan (

v ≪ c

sebességgel) mozog, akkor a mozgási energiája

E = \frac{m v^{2}}{2}

, és az impulzusa

\begin{matrix} p_{e} = m v = \frac{2}{v} E = \frac{2 c}{v} p_{f} > p_{f} . \end{matrix}

Az elektron lendülete akkor is nagyobb a megfelelő fotonénál, ha a részecske mozgása a relativisztikus tartományba esik. Ilyenkor a teljes (nyugalmi + mozgási) energia és a lendület között

\begin{matrix} {(E + m c^{2})}^{2} = {(p_{e} c)}^{2} + {(m c^{2})}^{2} \end{matrix}

a kapcsolat, ahonnan

\begin{matrix} p_{e}^{2} = p_{f}^{2} + 2 m c \cdot p_{f}, \end{matrix}

és mivel a jobb oldal második tagja pozitív,

p_{e} > p_{f}

5. Hányféleképpen lehet egy konvex tízszöget

8

háromszögre felbontani?

800

(1);

1430

(2);

1440

(X).

Megoldás. A helyes válasz: (2). Nem nehéz megmutatni, hogy ha egy konvex

n

-szöget

n - 2

háromszögre bontunk fel, akkor a felbontás egymást nem metsző átlók segítségével történik, a háromszögek csúcsai a sokszög csúcsai is egyben. Jelölje az ilyen felbontások számát

A_{n}

. Nyilván

A_{3} = 1

és

A_{4} = 2

. Vezessük be még az

A_{2} = 1

konvenciót is. Az

n

-szög egyik oldalát kiszemelve, ez valamelyik háromszögnek is oldala lesz. Aszerint, hogy ennek a háromszögnek a harmadik csúcsa éppen melyik csúcsa lesz a konvex

n

-szögnek, felírhatjuk az alábbi rekurziót:

\begin{matrix} A_{n} = \sum_{i = 2}^{n - 1} A_{i} A_{n + 1 - i} . \end{matrix}

Ennek alapján

\begin{matrix} A_{5} & = 2 + 1 + 2 = 5, \\ A_{6} & = 5 + 2 + 2 + 5 = 14, \\ A_{7} & = 14 + 5 + 2 \cdot 2 + 5 + 14 = 42, \\ A_{8} & = 42 + 14 + 2 \cdot 5 + 5 \cdot 2 + 14 + 42 = 132, \\ A_{9} & = 132 + 42 + 2 \cdot 14 + 5 \cdot 5 + 14 \cdot 2 + 42 + 132 = 429, \\ A_{10} & = 429 + 132 + 2 \cdot 42 + 5 \cdot 14 + 14 \cdot 5 + 42 \cdot 2 + 132 + 429 = 1430. \end{matrix}

6. Hány százalékkal változna meg az első kozmikus sebesség, ha a Föld sugara és az átlagsűrűsége is valamilyen ok miatt

1 %

-kal megnőne?

2 %

-kal nőne (1);

1, 5 %

-kal nőne (2);

1 %

-kal csökkenne (X).

Megoldás. A helyes válasz: (2). Egy

M

tömegű és

R

sugarú égitestnél az első kozmikus sebesség (az égitest közvetlen közelében körpályán keringő űreszköz sebessége)

v \sim \sqrt[]{M / R}

, de mivel

M \sim ϱ R^{3}

(ahol

ϱ

az égitest átlagsűsűsége),

v \sim R ϱ^{\frac{1}{2}}

.
Ha a Föld sugara és az átlagsűrűsége is valamilyen ok miatt

1 %

-kal megnőne, az első kozmikus sebesség

1, 01^{1, 5} = 1, 015 037

-szeresére változna, tehát mintegy

1, 5 %

-kal nőne.

7. Az

A B C

háromszög magasságpontja

H

, körülírt körének középpontja

O

, a

B C

oldal felezőpontja

F

, az

A

-ból induló magasság talppontja

T

. A

H

O

F

T

pontok egy téglalap csúcsai, melynek oldalai:

H O = 11

O F = 5

. Mekkora a

B C

oldal hossza? 32 (1);

16 + 5 \sqrt[]{3}

(2); 28 (X).

Megoldás. A helyes válasz: (X). Ismeretes, hogy az

O

kezdőpontú helyvektorrendszerben

h = a + b + c

és így

f = \frac{a + b}{2} = \frac{h - a}{2}

. Így tehát

A H = 2 O F = 10

. Pitagorasz tételét alkalmazva

O C = O A = \sqrt[]{A H^{2} + O H^{2}}

, ahonnan

\begin{matrix} B C = 2 C F = 2 \sqrt[]{O C^{2} - O F^{2}} = 2 \sqrt[]{221 - 25} = 28. \end{matrix}

8. Szélcsendes időben egy nagy magasságból leejtett könnyű golyó állandósult sebessége

20 m/s

lesz. Az elejtésétől számítva mennyi idő múlva éri el a sebessége a

19 m/s

-os értéket, ha a közegellenállási erő a sebesség négyzetével arányos?

3, 73

s (1);

3, 14

s (2);

37, 3

s (X).

Megoldás. A helyes válasz: (1). A test mozgásegyenlete

\begin{matrix} \frac{d v}{d t} = g (1 - \frac{v^{2}}{v_{0}^{2}}), \end{matrix}

ahol

v_{0}

az állandósult sebesség. A végsebesség bizonyos hányadának (jelen esetben

\frac{19}{20}

részének) eléréséhez szükséges időt numerikusan (a sebességváltozásokat véges sok kis lépésben számolva) becsülhetjük, vagy (az

u = \frac{v}{v_{0}}

új változót bevezetve) integrálszámítás segítségével számíthatjuk ki:

\begin{matrix} t = \frac{v_{0}}{g} \int_{0}^{\frac{19}{20}} \frac{d u}{1 - u^{2}} = \frac{v_{0}}{g} \frac{ln 39}{2} \approx 3, 73 s. \end{matrix}

9. Mennyi

\frac{10^{20 000}}{10^{100} + 3}

egész részének utolsó számjegye? 3 (1); 5 (2); 7 (X).

Megoldás. A helyes válasz: (1).

A = \frac{10^{20 000} - 3^{200}}{10^{300} + 3}

egész szám és

A = [\frac{10^{20 000}}{10^{100} + 3}]

, mert

\frac{3^{200}}{10^{100} + 3} = \frac{9^{100}}{10^{100} + 3} < 1

.
Mivel

A = {(10^{100})}^{199} - 3 \cdot {(10^{100})}^{198} + ... + 3^{198} \cdot 10^{100} - 3^{199}

, továbbá

3^{4} = 81 \equiv 1 (mod 10)

, azért

A \equiv - 3^{199} \equiv - 3^{3} \cdot {(81)}^{49} \equiv - 27 \equiv 3 (mod 10)

10. Két, egyenként

+ Q

töltésű rögzített fémgömb

F_{1}

erővel taszítja egymást. Ha az egyik gömb töltését

- Q

-ra változtatjuk, akkor

F_{2}

erővel vonzzák egymást. Melyik állítás igaz?

F_{1} > F_{2}

(1);

F_{1} < F_{2}

(2);

F_{1} = F_{2}

(X).

Megoldás. A helyes válasz: (2). Ha a gömbök mérete sokkal kisebb, mint a középpontjaik közötti

x

távolság, akkor (első közelítésben) a taszító- és a vonzóerő nagysága megegyezik; mindkettő

k \frac{Q^{2}}{x^{2}}

. Viszonylag közeli gömbök (vagy pontosabb számolás igénye) esetén figyelembe kell vennünk a megosztás jelenségét. Egyforma töltésű gömböknél a rajtuk levő töltések ,,átlagos távolsága''

x

-nél nagyobb, különböző töltések esetén pedig

x

-nél kisebb; emiatt

F_{1} < F_{2}

11. Egy

3

egység oldalú szabályos hatszöget olyan egységoldalú rombuszokkal szeretnénk kiparkettázni, melyek kisebbik szöge

60

fokos. Hányféleképpen lehet ezt megtenni? 324 (1); 720 (2); 980 (X).

Megoldás. A helyes válasz: (X). A megoldás, amely feltételezi a determinánsok ismeretét (és némi angol nyelvtudást), megtekinthető a

http://www.cs.elte.hu/̃karolyi/GT/index.html

lapon, lásd determinant lemma (Lecture VII) and its application to rhombic tilings (Lecture VIII). Itt sok más érdekesség is található, például az 5. feladat általános megoldása az úgynevezett Catalan-számok segítségével.

12. Kelthet-e egy nagyon gyorsan mozgó, elektromosan töltött részecske a szuperszonikus repülőgépek Mach-kúpja mentén terjedő hanghullámokhoz hasonló, ugyancsak kúpszerűen terjedő elektromágneses sugárzást? Igen, de csak akkor, ha a részecske a fénynél gyorsabban mozog (1); nem, mert egyetlen részecske sem mozoghat gyorsabban, mint a fény (2); a kérdést elméletileg tisztázták, kísérletileg azonban még eldöntetlen (X).

Megoldás. A helyes válasz: (1). Egy elektromosan töltött részecske polarizálható közegben (pl. vízben) kúpszerűen terjedő elektromágneses sugárzást (ún. Cserenkov-sugárzást) bocsát ki, ha a részecske sebessége meghaladja a közegbeli fénysebességet. Az így működő részecskeazonosító berendezéseket Cserenkov-detektoroknak nevezik, és elterjedten alkalmazzák a nagyenergiájú kísérleti részecskefizikában.

13. A

400

jegyű számok közül találomra kiválasztunk egyet. Annak a valószínűsége, hogy egy prímszámot választottunk ki, körülbelül

\frac{1}{100}

(1);

\frac{1}{1000}

(2);

\frac{1}{10 000}

(X).

Megoldás. A helyes válasz: (2). Ha

x

pozitív egész, akkor jelölje

π (x)

x

-nél nem nagyobb pozitív prímek számát. Ismeretes, hogy

π (x)

értéke közelítőleg

x / ln x

. A 400 jegyű számok száma

9 \cdot 10^{399}

, ezek között a prímek száma

π (10^{400}) - π (10^{399})

. A kérdéses valószínűség értéke ezek szerint közelítőleg

\begin{matrix} \frac{1}{9 \cdot 10^{399}} (\frac{10^{400}}{400 ln 10} - \frac{10^{399}}{399 ln 10}) \approx \frac{1}{9 \cdot 10^{399}} (\frac{10^{400}}{400 ln 10} - \frac{10^{399}}{400 ln 10}) = \frac{1}{400 ln 10} \approx \frac{1}{1000} . \end{matrix}

13+1. Földi űrhajósok nagyon hosszú utazás végén egy olyan bolygó közelébe érnek, amelynek elektromos potenciálja igen nagy a Földéhez képest. Veszélyes-e emiatt a bolygó felszínére lépniük? Igen, áramütésnek teszik ki magukat, ha kilépnek az űrhajóból (1); már a bolygó megközelítése is veszélyekkel jár, ha az űrhajó fala nem jó elektromos vezető, és emiatt nem tekinthető Faraday-kalickának (2); nyugodtan leszállhatnak és kiléphetnek a bolygó felszínére, a Föld és az idegen bolygó közötti nagy potenciálkülönbség önmagában nem jelent veszélyt számukra (X).
Megoldás. A helyes válasz: (X). A Föld és az idegen bolygó közötti nagy potenciálkülönbség önmagában nem jelent veszélyt, hiszen az űrhajósok mindig csak a helyi (lokális) potenciálváltozást (térerősséget) érzékelik, nem pedig a teljes utazás során ,,összegyűjtött'' potenciálváltozást. (A földi potenciált nem ,,viszik magukkal''.) A helyzet hasonló a tengerszintről induló hegymászók esetéhez. Ha lassan kapaszkodnak fel egy nagyon magas (nagy helyzeti energiával rendelkező) hegycsúcsra, a magasságkülönbséget és az annak megfelelő energiakülönbséget a csúcsra lépve közvetlenül nem érzékelik, legfeljebb annak közvetett hatását (pl. a fokozatosan csökkenő légnyomást) tapasztalják.