Kezdőlap


Cím:	65. William Lowell Putnam Matematika Verseny - 2004
Füzet:	2005/február, 71 - 73. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

William Lowell Putnam, az 1882-ben végzett egykori harvardi diák egy cikket írt a harvardi öregdiákok 1921 decemberi évkönyvében, amelyben lelkesen ecsetelte egy egyetemek közti csapatverseny várható hozadékait. Hogy egy ilyen verseny valóban létrejöhessen, azt Putnam özvegye, Elizabeth Lowell Putnam 1927-ben létrehozott alapítványa tette lehetővé. Kezdetben az angol nyelv volt a verseny tárgya és néhány évvel később kísérleti jelleggel iktatták be a matematikát is. Jelenlegi formájában 1938 óta kerül rá sor minden év decemberének első szombatján. 1962-től kezdve a versenyen 12 feladatot tűznek ki, amelyeket hagyományosan A1-től A6-ig, illetve B1-től B6-ig számoznak. A két feladatsor megoldására három-három óra áll a versenyzők rendelkezésére. A versenyen minden, még nem végzett amerikai és kanadai egyetemi hallgató részt vehet, bár egy diák sem indulhat négynél több alkalommal.
A verseny egyéni, de minden olyan egyetem vagy főiskola, ahonnan legalább hárman elindulnak, kijelölhet egy háromtagú csapatot a verseny előtt; az ő összesített pontszámuk adja a csapat eredményét.
Az első öt helyezett csapatot felkészítő oktatási intézmény matematika tanszéke komoly pénzdíjban részesül. A győztes jutalma 25 000, a további négy helyezetté pedig rendre 20, 15, 10, illetve 5 ezer dollár; a győztes csapat tagjai fejenként 1000, a további helyzettek pedig 800‐600‐400, illetve 200 dollár díjat kapnak. Az egyéni verseny első 5 helyezettjét nem rangsorolják külön: valamennyien a Putnam Fellow címet nyerik, ami 2500 dolláros pénzdíjat is jelent; az utánuk következő 10‐10 versenyző pedig fejenként 1000, illetve 250 dollár díjban részesül.
Sok sikert kívánunk olvasóinknak a feladatok megoldásához. A Putnam versennyel kapcsolatos információk megtalálhatók a verseny honlapján:

http://math.scu.edu/putnam/index.html

A1. A kosárlabdafenomén Shanille O'Keal csapatának statisztikusa folyamatosan nyilvántartja, hogy Miss O'Kealnek a mezőnyből végrehajtott

N

kísérletéből hány végződött kosárral. Az idény elején a sikeres dobások

S (N)

száma alacsonyabb volt

N

nyolcvan százalékánál, a bajnokság végére viszont ez az arány nyolcvan százalék fölé emelkedett. Volt-e időközben feltétlenül olyan pillanat, amikor

S (N)

éppen egyenlő volt az addigi

N

dobókísérlet nyolcvan százalékával?

A2.

H_{1}

és

H_{2}

két háromszög, oldalaik hossza rendre

a_{i}

b_{i}

c_{i}

, a területük pedig

T_{i}

(

i = 1,2

). Ha

a_{1} \leq a_{2}

b_{1} \leq b_{2}

c_{1} \leq c_{2}

, továbbá

H_{2}

hegyesszögű, akkor igaz-e, hogy

T_{1} \leq T_{2}

A3. Az

u_{n}

sorozatot a következőképpen definiáljuk:

u_{0} = u_{1} = u_{2} = 1

és minden

n \geq 0

esetén

\begin{matrix} det (\begin{matrix} u_{n} & u_{n + 1} \\ u_{n + 2} & u_{n + 3} \end{matrix}) = n! . \end{matrix}

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat elemei egész számok. (Definíció szerint

0! = 1

A4. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész

n

számhoz van olyan

N

egész szám, hogy az

x_{1} x_{2} \dots x_{n}

szorzat felírható

\begin{matrix} x_{1} x_{2} \dots x_{n} = \sum_{i = 1}^{N} c_{i} {(a_{i 1} x_{1} + a_{i 2} x_{2} + ... + a_{i n} x_{n})}^{n} \end{matrix}

alakban, ahol

c_{i}

racionális, az

a_{i j}

számok pedig a

- 1

0

1

számok közül valók.

A5. Egy

m \times n

-es sakktáblát véletlenszerűen kiszínezünk: minden egyes mező színe a többiétől függetlenül

1 / 2

valószínűséggel piros vagy fekete. Azt mondjuk, hogy két mező,

p

és

q

egyszínű tartományban vannak, ha létezik élben szomszédos mezőknek olyan sorozata, amelyik

p

-vel kezdődik,

q

-ig tart és a sorozat mezői azonos színűek. Bizonyítsuk be, hogy az egyszínű tartományok számának a várható értéke nagyobb, mint

\frac{m n}{8}

A6. Legyen az

f (x; y)

folytonos valós értékű függvény a

0 \leq x \leq 1

0 \leq y \leq 1

egységnégyzeten. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} \int_{0}^{1} {(\int_{0}^{1} f (x; y) d x)}^{2} d y + \int_{0}^{1} {(\int_{0}^{1} f (x; y) d y)}^{2} d x \leq \\ \leq {(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f (x; y) d x d y)}^{2} + \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} {[f (x; y)]}^{2} d x d y . \end{matrix}

B1. Tegyük föl, hogy az

r

racionális szám gyöke a

P (x) = c_{n} x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + ... + c_{0}

egész együtthatós polinomnak, azaz

P (r) = 0

. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi

n

darab szám mindegyike egész:

\begin{matrix} c_{n} r, c_{n} r^{2} + c_{n - 1} r, c_{n} r^{3} + c_{n - 1} r^{2} + c_{n - 2} r, ..., c_{n} r^{n} + c_{n - 1} r^{n - 1} + ... + c_{1} r . \end{matrix}

B2. Bizonyítsuk be az

n

és az

m

pozitív egész számokra, hogy

\begin{matrix} \frac{(m + n)!}{{(m + n)}^{m + n}} < \frac{m!}{m^{m}} \cdot \frac{n!}{n^{n}} . \end{matrix}

B3. Határozzuk meg azokat az

a > 0

valós számokat, amelyekhez van olyan, a

[0; a]

intervallumon értelmezett nem negatív értékű

f (x)

folytonos függvény, hogy az

\begin{matrix} R = {(x, y) : 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq f (x)} \end{matrix}

tartomány kerülete

k

hosszúságegység, területe pedig

k

területegység valamilyen

k

valós számra.

B4. Az

n \geq 2

pozitív egész számra legyen

θ = \frac{2 π}{n}

. Tekintsük a derékszögű koordinátarendszerben a

P_{k} (k,0)

pontokat (

k

= 1,2,

...

n)

. Az

R_{k}

transzformáció az óramutató járásával ellenkező irányban

θ

szöggel forgatja el a sík pontjait a

P_{k}

pont körül. Legyen

R

az ebben a sorrendben végrehajtott

R_{1}, R_{2}, ..., R_{n}

forgatások egymásutánja. A sík tetszőleges

(x; y)

pontjára határozzuk meg és írjuk a legegyszerűbb alakba az

R (x; y)

pont koordinátáit.

B5. Határozzuk meg a

\begin{matrix} {lim}_{x \to 1^{-}}^{} \prod_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1 + x^{n + 1}}{1 + x^{n}})}^{x^{n}} \end{matrix}

határértéket.

B6. Tekintsük a pozitív egészek egy nem üres

A

részhalmazát és legyen

N (x)

A

halmaz

x

-nél nem nagyobb elemeinek a száma. Jelölje

B

azoknak a

b

pozitív egészeknek a halmazát, amelyek felírhatók

b = a - a'

alakban, ahol

a \in A

és

a' \in A

. Legyenek a

B

halmaz elemei nagyság szerint növekvő sorrendben

b_{1} < b_{2} < ... .

Bizonyítsuk be, hogy ha a

b_{i + 1} - b_{i}

sorozat nem korlátos, akkor

{lim}_{x \to \infty}^{} \frac{N (x)}{x} = 0