A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. William Lowell Putnam, az 1882-ben végzett egykori harvardi diák egy cikket írt a harvardi öregdiákok 1921 decemberi évkönyvében, amelyben lelkesen ecsetelte egy egyetemek közti csapatverseny várható hozadékait. Hogy egy ilyen verseny valóban létrejöhessen, azt Putnam özvegye, Elizabeth Lowell Putnam 1927-ben létrehozott alapítványa tette lehetővé. Kezdetben az angol nyelv volt a verseny tárgya és néhány évvel később kísérleti jelleggel iktatták be a matematikát is. Jelenlegi formájában 1938 óta kerül rá sor minden év decemberének első szombatján. 1962-től kezdve a versenyen 12 feladatot tűznek ki, amelyeket hagyományosan A1-től A6-ig, illetve B1-től B6-ig számoznak. A két feladatsor megoldására három-három óra áll a versenyzők rendelkezésére. A versenyen minden, még nem végzett amerikai és kanadai egyetemi hallgató részt vehet, bár egy diák sem indulhat négynél több alkalommal. A verseny egyéni, de minden olyan egyetem vagy főiskola, ahonnan legalább hárman elindulnak, kijelölhet egy háromtagú csapatot a verseny előtt; az ő összesített pontszámuk adja a csapat eredményét. Az első öt helyezett csapatot felkészítő oktatási intézmény matematika tanszéke komoly pénzdíjban részesül. A győztes jutalma 25 000, a további négy helyezetté pedig rendre 20, 15, 10, illetve 5 ezer dollár; a győztes csapat tagjai fejenként 1000, a további helyzettek pedig 800‐600‐400, illetve 200 dollár díjat kapnak. Az egyéni verseny első 5 helyezettjét nem rangsorolják külön: valamennyien a Putnam Fellow címet nyerik, ami 2500 dolláros pénzdíjat is jelent; az utánuk következő 10‐10 versenyző pedig fejenként 1000, illetve 250 dollár díjban részesül. Sok sikert kívánunk olvasóinknak a feladatok megoldásához. A Putnam versennyel kapcsolatos információk megtalálhatók a verseny honlapján:
http://math.scu.edu/putnam/index.html
A1. A kosárlabdafenomén Shanille O'Keal csapatának statisztikusa folyamatosan nyilvántartja, hogy Miss O'Kealnek a mezőnyből végrehajtott kísérletéből hány végződött kosárral. Az idény elején a sikeres dobások száma alacsonyabb volt nyolcvan százalékánál, a bajnokság végére viszont ez az arány nyolcvan százalék fölé emelkedett. Volt-e időközben feltétlenül olyan pillanat, amikor éppen egyenlő volt az addigi dobókísérlet nyolcvan százalékával?
A2. és két háromszög, oldalaik hossza rendre , , , a területük pedig (). Ha , , , továbbá hegyesszögű, akkor igaz-e, hogy ?
A3. Az sorozatot a következőképpen definiáljuk: és minden esetén Bizonyítsuk be, hogy a sorozat elemei egész számok. (Definíció szerint .) A4. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész számhoz van olyan egész szám, hogy az szorzat felírható | | alakban, ahol racionális, az számok pedig a , , számok közül valók. A5. Egy -es sakktáblát véletlenszerűen kiszínezünk: minden egyes mező színe a többiétől függetlenül valószínűséggel piros vagy fekete. Azt mondjuk, hogy két mező, és egyszínű tartományban vannak, ha létezik élben szomszédos mezőknek olyan sorozata, amelyik -vel kezdődik, -ig tart és a sorozat mezői azonos színűek. Bizonyítsuk be, hogy az egyszínű tartományok számának a várható értéke nagyobb, mint . A6. Legyen az folytonos valós értékű függvény a , egységnégyzeten. Bizonyítsuk be, hogy
B1. Tegyük föl, hogy az racionális szám gyöke a egész együtthatós polinomnak, azaz . Bizonyítsuk be, hogy az alábbi darab szám mindegyike egész: | | B2. Bizonyítsuk be az és az pozitív egész számokra, hogy | | B3. Határozzuk meg azokat az valós számokat, amelyekhez van olyan, a intervallumon értelmezett nem negatív értékű folytonos függvény, hogy az tartomány kerülete hosszúságegység, területe pedig területegység valamilyen valós számra. B4. Az pozitív egész számra legyen . Tekintsük a derékszögű koordinátarendszerben a pontokat ( = 1,2,,. Az transzformáció az óramutató járásával ellenkező irányban szöggel forgatja el a sík pontjait a pont körül. Legyen az ebben a sorrendben végrehajtott forgatások egymásutánja. A sík tetszőleges pontjára határozzuk meg és írjuk a legegyszerűbb alakba az pont koordinátáit. B5. Határozzuk meg a | | határértéket. B6. Tekintsük a pozitív egészek egy nem üres részhalmazát és legyen az halmaz -nél nem nagyobb elemeinek a száma. Jelölje azoknak a pozitív egészeknek a halmazát, amelyek felírhatók alakban, ahol és . Legyenek a halmaz elemei nagyság szerint növekvő sorrendben Bizonyítsuk be, hogy ha a sorozat nem korlátos, akkor . |