Cím:	Megoldásvázlatok a 2004/9. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2005/január, 18 - 21. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Mutassuk meg, hogy nincs olyan valós számpár, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(x^2+5\right)}^2}& {\displaystyle =25-|y-3|}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 21x+63y}& {\displaystyle =188}\hfill \end{array}}\}\mathrm{.}}\end{array}$ (11 pont)   Megoldás. Az első egyenletből: ${\left(x^2+5\right)}^2\ge 25$,  $25-|y-3|\le 25$. Így az első egyenlet megoldása csak $x=0$, $y=3$ lehet. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle 21\cdot 0+63\cdot 3=189\ne 188.}\end{array}$ Az egyenletrendszernek tehát nincs megoldása.   2. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^2+\left(2a+b\right)x-\left(b^2-b-a\right)}\end{array}$ függvényt. $a)$ Mutassuk meg, hogy ha $a$ és $b$ egész számok, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(-2\right)+f\left(-1\right)+f\left(0\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)}\end{array}$ osztható $5$-tel. $b)$ Igazoljuk, hogy ha $a$ pozitív, akkor $f\left(x\right)$-nek van zérushelye.  (12 pont)   Megoldás. $a)$ Az állítás tetszőleges egész együtthatós polinomra igaz: ha $f\left(x\right)=A{x}^2+Bx+C$, akkor $f\left(-2\right)+f\left(2\right)=8A+2C$, $f\left(-1\right)+f\left(1\right)=2A+2C$, tehát a szóban forgó összeg $10A+5C$, ami valóban osztható 5-tel. $b)$ A diszkrimináns $b^2+4a{b}^2$, ami nem negatív, ha $a>0$.   3. Hány darab $2$-nél kisebb, pozitív tagja van az $a_n=-5+\text{log}{}_2\left(n+4\right)$ sorozatnak?  (14 pont)   Megoldás. A következő egyenlőtlenségrendszer pozitív egész megoldásainak a számát kell meghatároznunk: $0<-5+\text{log}{}_2\left(n+4\right)<2$, azaz $5<\text{log}{}_2\left(n+4\right)<7$. Az 5 és a 7 logaritmus segítségével felírható: $\text{log}{}_{2}32<\text{log}{}_2\left(n+4\right)<\text{log}{}_{2}128$. A 2-es alapú logaritmus függvény növekedő, ezért: $32<n+4<128$, vagyis $28<n<124$. A megfelelő $n$ értékek: $\mathrm{29,30,}\text{...}\mathrm{,122,123}$, vagyis 95 db pozitív egész szám a megoldása az egyenlőtlenségrendszernek. Ez azt jelenti, hogy az $a_{29}\mathrm{,}{a}_{30}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_{123}$ az a 95 darab tagja a sorozatnak, amely megfelel a feladat feltételeinek.   4. Ágnes 2005. március 25-én befizet 600 000 Ft-ot egy olyan bankba, ahol az évi kamat 8%-os és a naptári év végén van kamatelszámolás. Mennyi lesz a követelése 2006. március 25-én? (14 pont)   Megoldás. Az év végi megszakítás nem befolyásolja a kamatjóváírást. Ha az év 84. napján teszi be a pénzt, akkor abban az évben 281 napig kamatozik. Ha év végén a kamatot hozzáírják a betéthez, akkor év végén a tőke $1\mathrm{,}{08}^{\frac{281}{365}}$-szörösére nő, majd a hátrelévő 84 napon $1\mathrm{,}{08}^{\frac{84}{365}}$-szörösére. Ez azt jelenti, hogy 2006. március 25-én, az év leteltével $600000\cdot 1\mathrm{,}08=648000$ forint lesz Ágnes követelése.   II. rész   5. Adott három egyenes az egyenletével: $\begin{array}{c}{\displaystyle x-\sqrt[]{3}y=\mathrm{0,}\sqrt[]{3}x-y=\mathrm{0,}\sqrt[]{3}x+y-10=0.}\end{array}$ $a)$ Mutassuk meg, hogy a három egyenes derékszögű háromszöget határoz meg. $b)$ Mekkora a háromszög köré írt körének a sugara? $c)$ Számítsuk ki a beírt kör középpontjának a koordinátáit. (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az első és a második egyenesre illeszkedik az origó, a harmadikra nem, így a három egyenes háromszöget határoz meg. Az $e$ egyenes meredeksége: $m_e=\frac{1}{\sqrt[]{3}}$, a $g$ egyenesé: $m_g=-\sqrt[]{3}$. Mivel $m_e{m}_g=-1$, azért az $e$ és $g$ merőlegesen metszi egymást, a három egyenes derékszögű háromszöget határoz meg.     $b)$ Derékszögű háromszögben (a Thalész-tétel alapján) az átfogó hosszának felével azonos hosszúságú a köré írt kör sugara. Az $f$ és a $g$ egyenes metszéspontját kiszámítjuk: $A\left(\frac{5}{\sqrt[]{3}};5\right)$. Az $e$ és az $f$ metszéspontja: $B\left(0;0\right)$. Innen adódik, hogy a háromszög átfogója, $AB=\frac{10}{\sqrt[]{3}}$, azaz a köré írt kör sugara: $r=\frac{5}{\sqrt[]{3}}$. $c)$ Legyen $e$ és $g$ metszéspontja $C$, továbbá az $A$ merőleges vetülete az $x$ tengelyre $D$. Az egyenesek meredekségeit (irányszögeit) felhasználva: $ABC\sphericalangle ={30}^{\circ }$. A $B$-ből induló belső szögfelezőre illeszkedik a beírt kör középpontja. Mivel $ABD\sphericalangle ={60}^{\circ }$, így a $B$-ből induló szögfelező irányszöge ${45}^{\circ }$, vagyis az $y=x$ egyenesre illeszkedik a középpont. A $BDA$ derékszögű háromszögben $BAD\sphericalangle ={30}^{\circ }$, az $ABC$ derékszögű háromszögben $BAC\sphericalangle ={60}^{\circ }$. Ez azt jelenti, hogy az $ABC$ háromszögben az $A$-ból induló szögfelező az $AD$ egyenes. A beírt kör középpontjának erre is illeszkednie kell, vagyis a második koordinátája $\frac{5}{\sqrt[]{3}}$. Mivel a középpont $y=x$-re is illeszkedik, azért koordinátái $\left(\frac{5}{\sqrt[]{3}};\frac{5}{\sqrt[]{3}}\right)$.   6. Adott a valós számokon értelmezett, $f\left(x\right)=2x^6-3x^4+x^2$ függvény. $a)$ Határozzuk meg $f\left(\text{tg}\frac{\pi }{3}\right)$ pontos értékét. $b)$ Mutassuk meg, hogy az $f\left(\text{sin}\alpha \right)+f\left(\text{cos}\alpha \right)$ összeg nem függ $\alpha$ értékétől. (16 pont)   Megoldás. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle f\left(\text{tg}\frac{\pi }{3}\right)}& {\displaystyle =2{\left(\sqrt[]{3}\right)}^6-3{\left(\sqrt[]{3}\right)}^4+{\left(\sqrt[]{3}\right)}^2=2\cdot 27-3\cdot 9+3=30.}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle f\left(\text{sin}\alpha \right)+f\left(\text{cos}\alpha \right)}& {\displaystyle =\left(2\text{sin}{}^6\alpha -3\text{sin}{}^4\alpha +\text{sin}{}^2\alpha \right)+\left(2\text{cos}{}^6\alpha -3\text{cos}{}^4\alpha +\text{cos}{}^2\alpha \right)=}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2\left(\text{sin}{}^6\alpha +\text{cos}{}^6\alpha \right)-3\left(\text{sin}{}^4\alpha +\text{cos}{}^4\alpha \right)+\left(\text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha \right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A zárójelben lévő összegeket alakítsuk át. Tudjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha }& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{sin}{}^4\alpha +\text{cos}{}^4\alpha }& {\displaystyle ={\left(\text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha \right)}^2-2\text{sin}{}^2\alpha \cdot \text{cos}{}^2\alpha =1-2\text{sin}{}^2\alpha \cdot \text{cos}{}^2\alpha \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{sin}{}^6\alpha +\text{cos}{}^6\alpha }& {\displaystyle =\left(\text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha \right)\left(\text{sin}{}^4\alpha -\text{sin}{}^2\alpha \cdot \text{cos}{}^2\alpha +\text{cos}{}^4\alpha \right)=1-3\text{sin}{}^2\alpha \cdot \text{cos}{}^2\alpha \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezeket felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(\text{sin}\alpha \right)+f\left(\text{cos}\alpha \right)=2\left(1-3\text{sin}{}^2\alpha \cdot \text{cos}\alpha \right)-3\left(1-2\text{sin}{}^2\alpha \cdot \text{cos}{}^2\alpha \right)+1=\mathrm{0,}}\end{array}$ ami valóban nem függ $\alpha$-tól.   7. Egy középiskolában azt tapasztaltuk, hogy a tanulók 75%-a elkészíti a házi feladatát matematikából. Egy újságíró ebben az iskolában öt véletlenszerűen választott tanulóval szeretne beszélgetni a tanulási szokásaikról. $a)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy olyan tanulókat választ, akiknek készen van a házi feladata? $b)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy az öt választott tanulóból legalább háromnak készen van a házi feladata? c) Az iskola 20 fős 12.c. osztályában (ahol az iskolai átlagnál egy kicsit jobb a helyzet) 16-an írtak házi feladatot. A csoportban összesen 3 leány van, ők mindig elkészítik feladataikat. Ha ebből a csoportból választunk 4 fiút és 1 leányt, akkor mekkora a valószínűsége, hogy a választottak közül pontosan kettőnek nincs kész a házi feladata? (16 pont)   Megoldás. $a)$ Egy tanuló esetén 0,75 a valószínűsége annak, hogy készen van a házi feladata. Feltéve, hogy a tanulók viselkedése független, $0\mathrm{,}{75}^5\approx 0\mathrm{,}2373$ annak a valószínűsége, hogy mind az öt tanuló elkészítette a feladatát. $b)$ A szóban forgó esemény a következő, egymást kizáró módokon valósulhat meg: Pontosan öt tanuló írt házi feladatot: $0\mathrm{,}{75}^5\approx 0\mathrm{,}2373$. Pontosan négy tanuló írt házi feladatot: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\cdot 0\mathrm{,}{75}^4\cdot 0\mathrm{,}25\approx 0\mathrm{,}3955$. Pontosan három tanuló írt házi feladatot: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\cdot 0\mathrm{,}{75}^3\cdot 0\mathrm{,}{25}^2\approx 0\mathrm{,}2637$. A fenti valószínűségek összege 0,8965, ennyi a valószínűsége annak, hogy az öt választott tanulóból legalább háromnak készen van a házi feladata. $c)$ 4 fiút és 1 leányt összesen $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{4}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=7140$-féle módon választhatunk ki. Lányt háromféleképpen tudunk választani, és ő biztosan írt házi feladatot. A feladat szövege szerint az a két fő, aki nem írt házi feladatot csakis fiú lehet. Tudjuk, hogy a 17 fiú közül összesen 4-en nem írtak leckét. Vagyis a 13 leckét író fiú közül kell kettőt, és a 4 leckét nem író fiú közül kell szintén kettőt kiválasztani. Ez összesen $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=1404$ eset. Vagyis $\frac{1404}{7140}\approx 0\mathrm{,}1966$ a valószínűsége annak, hogy a választott tanulók közül pontosan kettőnek nincs kész a házi feladata.   8. Egy $27$ méter széles folyó partjától merőlegesen haladva $3$ méterenként megmértük a víz mélységét. A következő adatokat kaptuk centiméterben: 60, 120, 150, 240, 210, 180, 90, 30. $a)$ Hány $\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ a keresztmetszet területe, ha a folyómeder alján két méréshely között az összekötővonalat egyenesnek feltételezzük? $b)$ A mért adatoknak határozzuk meg a számtani közepét és a mediánját. $c)$ Mennyi a mérés vonalában a folyó átlagos mélysége? $d)$ Mekkora vízmennyiség halad át a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt, ha a folyó sebessége 85 m/perc? (16 pont)   Megoldás. $a)$ Két háromszög és hét trapéz területösszegét kell meghatároznunk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T}& {\displaystyle =3\cdot (\frac{0\mathrm{,}6}{2}+\frac{0\mathrm{,}6+1\mathrm{,}2}{2}+\frac{1\mathrm{,}2+1\mathrm{,}5}{2}+\frac{1\mathrm{,}5+2\mathrm{,}4}{2}+\frac{2\mathrm{,}4+2\mathrm{,}1}{2}+\frac{2\mathrm{,}1+1\mathrm{,}8}{2}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle +\frac{1\mathrm{,}8+0\mathrm{,}9}{2}+\frac{0\mathrm{,}9+0\mathrm{,}3}{2}+\frac{0\mathrm{,}3}{2})\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ azaz $T=32\mathrm{,}4\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$.     $b)$ Az adathalmaz számtani közepe: 1,35 m. Az adatok sorba rendezése után az 1,2 és az 1,5 m áll középen, vagyis a medián is 1,35 m. $c)$ Ha a folyó keresztmetszetének területét elosztjuk a folyó szélességével, akkor azt az értéket kapjuk, amellyel, mint ,,átlag''-gal meghatározhatjuk a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt áthaladó víz mennyiségét. Most ez $\frac{32\mathrm{,}4}{27}=1\mathrm{,}2$ méternek adódik. $d)$ A folyó keresztmetszetének területe: $32\mathrm{,}4\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. Mivel a sebessége 85 m/perc, azért 1 óra alatt 5100 métert halad a folyó. A keresztmetszetén $5100\cdot 32\mathrm{,}4=165240\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ víz halad át óránként.   9. Az azonos kerületű konvex négyszögek esetén a két-két szemközti oldal összegének szorzata milyen esetben lesz maximális? Határozzuk meg ezt a maximális értéket. (16 pont)   Megoldás. Jelöljük az oldalak hosszát a szokásos $a$, $b$, $c$ és $d$ betűkkel. Ekkor $k=a+b+c+d$. A feladat szövege szerint az $\left(a+c\right)\left(b+d\right)$ szorzatot kell vizsgálnunk. Írjuk fel $\left(a+c\right)$-re és $\left(b+d\right)$-re (két pozitív számra) a mértani és a számtani közép közötti összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\le \frac{\left(a+c\right)+\left(b+d\right)}{2}=\frac{k}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a+c\right)\left(b+d\right)\le \frac{k^2}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ A szorzat akkor a legnagyobb, ha egyenlő $\frac{k^2}{4}$-gyel. Az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $a+c=b+d$. Vagyis az azonos kerületű konvex négyszögek esetén a két-két szemközti oldal összegének szorzata érintőnégyszögek esetén lesz maximális. Ez a maximális érték $\frac{k^2}{4}$-gyel egyenlő.