A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Mutassuk meg, hogy nincs olyan valós számpár, amelyre | | (11 pont) | Megoldás. Az első egyenletből: , . Így az első egyenlet megoldása csak , lehet. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve: Az egyenletrendszernek tehát nincs megoldása.
2. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett | | függvényt. Mutassuk meg, hogy ha és egész számok, akkor | | osztható -tel. Igazoljuk, hogy ha pozitív, akkor -nek van zérushelye. (12 pont)
Megoldás. Az állítás tetszőleges egész együtthatós polinomra igaz: ha , akkor , , tehát a szóban forgó összeg , ami valóban osztható 5-tel. A diszkrimináns , ami nem negatív, ha .
3. Hány darab -nél kisebb, pozitív tagja van az sorozatnak? (14 pont)
Megoldás. A következő egyenlőtlenségrendszer pozitív egész megoldásainak a számát kell meghatároznunk: , azaz . Az 5 és a 7 logaritmus segítségével felírható: . A 2-es alapú logaritmus függvény növekedő, ezért: , vagyis . A megfelelő értékek: , vagyis 95 db pozitív egész szám a megoldása az egyenlőtlenségrendszernek. Ez azt jelenti, hogy az az a 95 darab tagja a sorozatnak, amely megfelel a feladat feltételeinek.
4. Ágnes 2005. március 25-én befizet 600 000 Ft-ot egy olyan bankba, ahol az évi kamat 8%-os és a naptári év végén van kamatelszámolás. Mennyi lesz a követelése 2006. március 25-én? (14 pont)
Megoldás. Az év végi megszakítás nem befolyásolja a kamatjóváírást. Ha az év 84. napján teszi be a pénzt, akkor abban az évben 281 napig kamatozik. Ha év végén a kamatot hozzáírják a betéthez, akkor év végén a tőke -szörösére nő, majd a hátrelévő 84 napon -szörösére. Ez azt jelenti, hogy 2006. március 25-én, az év leteltével forint lesz Ágnes követelése.
II. rész 5. Adott három egyenes az egyenletével: Mutassuk meg, hogy a három egyenes derékszögű háromszöget határoz meg. Mekkora a háromszög köré írt körének a sugara? Számítsuk ki a beírt kör középpontjának a koordinátáit. (16 pont)
Megoldás. Az első és a második egyenesre illeszkedik az origó, a harmadikra nem, így a három egyenes háromszöget határoz meg. Az egyenes meredeksége: , a egyenesé: . Mivel , azért az és merőlegesen metszi egymást, a három egyenes derékszögű háromszöget határoz meg.
Derékszögű háromszögben (a Thalész-tétel alapján) az átfogó hosszának felével azonos hosszúságú a köré írt kör sugara. Az és a egyenes metszéspontját kiszámítjuk: . Az és az metszéspontja: . Innen adódik, hogy a háromszög átfogója, , azaz a köré írt kör sugara: . Legyen és metszéspontja , továbbá az merőleges vetülete az tengelyre . Az egyenesek meredekségeit (irányszögeit) felhasználva: . A -ből induló belső szögfelezőre illeszkedik a beírt kör középpontja. Mivel , így a -ből induló szögfelező irányszöge , vagyis az egyenesre illeszkedik a középpont. A derékszögű háromszögben , az derékszögű háromszögben . Ez azt jelenti, hogy az háromszögben az -ból induló szögfelező az egyenes. A beírt kör középpontjának erre is illeszkednie kell, vagyis a második koordinátája . Mivel a középpont -re is illeszkedik, azért koordinátái .
6. Adott a valós számokon értelmezett, függvény. Határozzuk meg pontos értékét. Mutassuk meg, hogy az összeg nem függ értékétől. (16 pont)
Megoldás.
A zárójelben lévő összegeket alakítsuk át. Tudjuk, hogy
Ezeket felhasználva: | | ami valóban nem függ -tól.
7. Egy középiskolában azt tapasztaltuk, hogy a tanulók 75%-a elkészíti a házi feladatát matematikából. Egy újságíró ebben az iskolában öt véletlenszerűen választott tanulóval szeretne beszélgetni a tanulási szokásaikról. Mekkora a valószínűsége annak, hogy olyan tanulókat választ, akiknek készen van a házi feladata? Mekkora a valószínűsége annak, hogy az öt választott tanulóból legalább háromnak készen van a házi feladata? c) Az iskola 20 fős 12.c. osztályában (ahol az iskolai átlagnál egy kicsit jobb a helyzet) 16-an írtak házi feladatot. A csoportban összesen 3 leány van, ők mindig elkészítik feladataikat. Ha ebből a csoportból választunk 4 fiút és 1 leányt, akkor mekkora a valószínűsége, hogy a választottak közül pontosan kettőnek nincs kész a házi feladata? (16 pont)
Megoldás. Egy tanuló esetén 0,75 a valószínűsége annak, hogy készen van a házi feladata. Feltéve, hogy a tanulók viselkedése független, annak a valószínűsége, hogy mind az öt tanuló elkészítette a feladatát. A szóban forgó esemény a következő, egymást kizáró módokon valósulhat meg: Pontosan öt tanuló írt házi feladatot: . Pontosan négy tanuló írt házi feladatot: . Pontosan három tanuló írt házi feladatot: . A fenti valószínűségek összege 0,8965, ennyi a valószínűsége annak, hogy az öt választott tanulóból legalább háromnak készen van a házi feladata. 4 fiút és 1 leányt összesen -féle módon választhatunk ki. Lányt háromféleképpen tudunk választani, és ő biztosan írt házi feladatot. A feladat szövege szerint az a két fő, aki nem írt házi feladatot csakis fiú lehet. Tudjuk, hogy a 17 fiú közül összesen 4-en nem írtak leckét. Vagyis a 13 leckét író fiú közül kell kettőt, és a 4 leckét nem író fiú közül kell szintén kettőt kiválasztani. Ez összesen eset. Vagyis a valószínűsége annak, hogy a választott tanulók közül pontosan kettőnek nincs kész a házi feladata.
8. Egy méter széles folyó partjától merőlegesen haladva méterenként megmértük a víz mélységét. A következő adatokat kaptuk centiméterben: 60, 120, 150, 240, 210, 180, 90, 30. Hány a keresztmetszet területe, ha a folyómeder alján két méréshely között az összekötővonalat egyenesnek feltételezzük? b) A mért adatoknak határozzuk meg a számtani közepét és a mediánját. c) Mennyi a mérés vonalában a folyó átlagos mélysége? d) Mekkora vízmennyiség halad át a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt, ha a folyó sebessége 85 m/perc? (16 pont)
Megoldás. a) Két háromszög és hét trapéz területösszegét kell meghatároznunk:
T=3⋅(0,62+0,6+1,22+1,2+1,52+1,5+2,42+2,4+2,12+2,1+1,82++1,8+0,92+0,9+0,32+0,32),
azaz T=32,4m2.
b) Az adathalmaz számtani közepe: 1,35 m. Az adatok sorba rendezése után az 1,2 és az 1,5 m áll középen, vagyis a medián is 1,35 m. c) Ha a folyó keresztmetszetének területét elosztjuk a folyó szélességével, akkor azt az értéket kapjuk, amellyel, mint ,,átlag''-gal meghatározhatjuk a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt áthaladó víz mennyiségét. Most ez 32,427=1,2 méternek adódik. d) A folyó keresztmetszetének területe: 32,4m2. Mivel a sebessége 85 m/perc, azért 1 óra alatt 5100 métert halad a folyó. A keresztmetszetén 5100⋅32,4=165240m3 víz halad át óránként.
9. Az azonos kerületű konvex négyszögek esetén a két-két szemközti oldal összegének szorzata milyen esetben lesz maximális? Határozzuk meg ezt a maximális értéket. (16 pont)
Megoldás. Jelöljük az oldalak hosszát a szokásos a, b, c és d betűkkel. Ekkor k=a+b+c+d. A feladat szövege szerint az (a+c)(b+d) szorzatot kell vizsgálnunk. Írjuk fel (a+c)-re és (b+d)-re (két pozitív számra) a mértani és a számtani közép közötti összefüggést: | (a+c)(b+d)≤(a+c)+(b+d)2=k2. | Ebből következik, hogy A szorzat akkor a legnagyobb, ha egyenlő k24-gyel. Az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a+c=b+d. Vagyis az azonos kerületű konvex négyszögek esetén a két-két szemközti oldal összegének szorzata érintőnégyszögek esetén lesz maximális. Ez a maximális érték k24-gyel egyenlő. |