| Cím: | Hiperbolikus Escher-grafikák | ||
| Szerző(k): | Kós Géza | ||
| Füzet: | 2005/január, 2 - 10. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Egyéb írások | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A híres holland grafikus, Maurits Cornelis Escher (1898‐1972) sokféle matematikai témát feldolgozott. Közismertek például azok a metszetei, amelyeken több irányban is periodikus minták ismétlődnek. Ezeken pontosan egymáshoz illeszkedő mintázatok töltik ki a képet. Vannak olyan művei is, amelyeket egyetlen alakzat tükörképeiből szerkesztett.  1. ábra Escher 1958-ban ismerkedett meg és került barátságba a híres geométerrel, Donald Coxeterrel, akinek a Poincaré-féle körmodellről írt cikke keltette fel a művész érdeklődését a körmodell csempézései iránt. Több olyan fametszetet is készített ‐ a híres Circle Limit sorozatot ‐, amelyen a körmodellt csempézte ki periodikus mintákkal. Coxeter elismeréssel nyilatkozott a művekről, amelyek aprólékos pontossággal követték a geometria előírásait. Számítógép segítségével nem nehéz Escher-szerű képeket készíteni. A számítógép gyorsan és pontosan végrehajthatja a szerkesztéseket. A minta kitalálásában persze nem segít, ez a mi feladatunk. Az interneten több olyan oldal található [8, 9, 10], ahol Escher-szerű grafikákat készíthetünk az euklideszi síkon; nekünk csak a mintát kell lerajzolnunk, a csempézést a számítógép készíti el. De a hiperbolikus sík különböző modelljeinek ,,Circle Limit szerű'' csempézéseit is elkészíthetjük. E cikken belül nem vállalkozhatunk az összes elhangzó fogalom definiálására, ugyanakkor a matematikában jártasabb Olvasóink kedvéért szeretnénk rámutatni a téma és a geometria más ágai közötti kapcsolatokra. Ezért előfordulnak olyan matematikai kifejezések, amelyek sokak számára ismeretlenek lehetnek; ezekhez mindig mutatunk forrásokat ‐ könyveket, cikkeket ‐, ahol az Olvasó utána járhat, de a cikk megértésében az sem okoz problémát, ha ezeket az első elolvasáskor egyszerűen átugorja. A hiperbolikus sík és néhány modellje A párhuzamossági axióma bizonyítási kísérletei vezettek el a 19. század első harmadában a ,,hiperbolikus'' geometria felfedezéséhez. Bolyai János és Nyikoláj Ivanov Lobacsevszkij egymástól függetlenül építette fel és publikálta a hiperbolikus geometria legfontosabb tulajdonságait. (Bolyai küzdelméről eredményei elismeréséért bővebben olvashatunk Reiman István könyvében [6c].) A hiperbolikus sík részletes tárgyalása több tankönyvfejezet témája. Az érdeklődő Olvasó figyelmébe ajánljuk a már említett Reiman-könyvön kívül Coxeter tankönyvét [1b] és Surányi László interneten található Bolyai-gyűjteményét [7]. Most csak azokat a legfontosabb ismereteket szeretnénk összefoglalni, amelyekre a hiperbolikus grafikák készítéséhez szükségünk lesz. A hiperbolikus síkon ugyanazok az axiómák igazak, mint az euklideszi síkon, kivéve a párhuzamossági axiómát, amelynek a tagadása szerepel: Ha a sík tetszőleges egyenese és egy azon kívüli tetszőleges pont, akkor -n keresztül végtelen sok olyan egyenes húzható, aminek nincs közös pontja -vel.  2. ábra. A párhuzamossági axióma tagadása Az -t nem metsző (fél)egyenesek között van két ,,szélső helyzetű''; az ábrán ezeket jelöltük -gyel, illetve -vel. Ezeket az egyenessel, illetve az és félegyenesekkel párhuzamosnak, a többi nem metsző egyenest pedig ultraparalelnek hívjuk. Természetesen a hiperbolikus síkon is mérünk távolságokat és szögeket. Lényeges különbség, hogy nem találkozunk a hasonlóság jelenségével; ha két háromszögnek ugyanazok a szögei, akkor egybevágók. A háromszögek szögösszege mindig határozottan kisebb, mint , és általában a sokszögek szögösszege kisebb, mint az euklideszi esetben. A hiperbolikus sík struktúrája nem teljesen egyértelmű. Ha más távolságot választunk egységnek ‐ azaz a távolságokat ugyanazzal a számmal megszorozzuk, átskálázzuk ‐, a struktúra megváltozik; például az ugyanolyan hosszú oldalakkal szerkesztett háromszög szögei mások lesznek. Ezért a hiperbolikus síknak van egy paramétere, egy pozitív valós szám, ami a skálázást írja le. Ezt a paramétert többnyire -val szokás jelölni. A szögösszeg hiányának, a defektusnak érdekes geometriai jelentése van; szoros kapcsolatban áll a területtel. Ha egy háromszög szögei ‐ ívmértékben mérve ‐ , és , akkor a háromszög területe . Általában, egy sokszög területe a szöghiány -szerese ‐ éppen úgy, mint ahogy a gömbsokszögek területe a szögtöblettel arányos. Az euklideszi síkon és térben sokféle struktúrát ismerünk, amire teljesülnek a hiperbolikus sík axiómái. Ezekben a struktúrákban nem ugyanazokat a geometriai objektumokat nevezzük pontnak és egyenesnek, és másképpen mérünk távolságokat és szögeket. A modelleknek nagy jelentősége van az úgynevezett relatív ellentmondásmentességi bizonyításokban. Ha az euklideszi axiómák ellentmondásmentesek, akkor az euklideszi geometriában konstruált modell léte bizonyítja, hogy a hiperbolikus sík is lehetséges és a párhuzamossági axióma nem következik a többi euklideszi axiómából. A továbbiakban négy modellt mutatunk be. Mindegyik modellben definiáljuk, hogy mik a pontok és az egyenesek, definiáljuk a távolságot és a szögeket. A bemutatott modellek közül a Cayley‐Klein modellről és a Poincaré-féle körmodellről már olvashattunk például Hraskó András cikkében [8]. A Cayley‐Klein modell Vegyünk az euklideszi síkon egy kört (alapkör). A kör belsejébe eső pontok lesznek a modell pontjai, a kör húrjai pedig az egyenesek. Két (fél)egyenes akkor párhuzamos, ha a végpontjuk közös (3. ábra).  3. ábra. Párhuzamosok A Cayley‐Klein modellben fontos szerepet játszanak a projektív geometria [3b, 6b] különféle eszközei. Például az egybevágósági transzformációk az euklideszi síknak azok a projektív transzformációi (kollineációi), amelyek az alapkört, illetve annak belsejét önmagára képezik. Az alapkörre vonatkozó polaritás [3c, 5] is kiemelt szerepet játszik: két egyenes pontosan akkor merőleges a modellben, ha konjugáltak (4. ábra).  4. ábra. Merőlegesség A távolságot a kettősviszony [3b, 6a] logaritmusaként definiáljuk. Ha , két pont az alapkör húrján (4. ábra), akkor az és pontok távolsága
 5. ábra. Távolság és szög 1. feladat. Legyen , , három, ilyen sorrendben egy egyenesre eső pont. Ellenőrizzük, hogy . A Poincaré-féle körmodell A körmodellben ismét egy alapkör belseje a sík, de az egyenesek definíciója lényegesen különbözik. A modellbeli egyenesek az átmérők, valamint az alapkört merőlegesen metsző köröknek az alapkör belsejébe eső ívei. Két (fél)egyenes ezúttal is akkor párhuzamos, ha a végpontjuk az alapkörnek ugyanaz a pontja (6. ábra).  6. ábra. Párhuzamosok Ha , két pont az alapkörre merőleges köríven (7. ábra), akkor az és pontok távolsága
 7. ábra. Távolság és szög A szögek definíciója nagyon egyszerű: két egyenes (körív) bezárt szöge megegyezik a körívek metszéspontjában húzott érintők euklideszi szögével (7. ábra). A körmodell geometriája szorosan kapcsolódik az inverzióhoz és az inverzív síkhoz [1a, 2, 3a]. A tengelyes tükrözés például nem más, mint a tengelyt reprezentáló körre történő inverzió. Általában az egybevágósági transzformációk az inverzív síknak azok a körtartó transzformációi, amelyek az alapkör belsejét önmagára képezik. 3. feladat. Legyen a körmodell egy pontja, amely nem esik egybe a modell középpontjával. A -n átmenő hiperbolikus egyeneseket (köríveket) hosszabbítsuk az alapkörön túl. Igazoljuk, hogy a meghosszabbításoknak is van egy közös pontja az alapkörön kívül. Mi a geometriai kapcsolat és között? 4. feladat. Legyen és a körmodell két különböző pontja. Szerkesszük meg körzővel és vonalzóval a -n és -n átmenő hiperbolikus egyenest. 5. feladat. Igazoljuk, hogy a körmodellben a körök euklideszi értelemben is körök. 6. feladat. Mutassunk a körmodellben olyan háromszöget, amelynek nincs körülírt köre! A Poincaré-féle félsíkmodell A körmodellből inverzióval további modelleket kaphatunk. Válasszunk ki az alapkörön egy pontot, és alkalmazzunk a modell minden pontjára egy pólusú inverziót. Az alapkör képe egy egyenes lesz, a kör belsejének képe pedig egy nyílt félsík. Azoknak a hiperbolikus egyeneseknek a képe, amiknek egyik vége , egy-egy félegyenes lesz, amelyek merőlegesek határára; azoknak a képe pedig, amiknek egyik vége sem , egy-egy félkör (8. ábra).  8. ábra. A körmodell és a félsíkmodell kapcsolata A félköröket és félegyeneseket egységesen is kezelhetjük az inverzív síkon, ha a félegyeneseket olyan félkörökként kezeljük, amelyeknek másik végpontja az ideális (végtelen távoli) pont. A szögeket és távolságokat ugyanúgy mérjük, mint a körmodellben. Két, egymást metsző félkör bezárt szöge megegyezik az érintők euklideszi szögével. Ha pedig és két pont az félkörön, akkor a távolságukat most is a (2) képlettel definiálhatjuk. Abban az esetben, ha és egy félegyenesre esik, azaz például az ideális pont, akkor a hányadost -nek tekintjük és 7. feladat. Legyenek az , , , pontok egy körön vagy egy egyenesen ebben a sorrendben. Alkalmazzunk egy inverziót ezekre a pontokra; a képük legyen , , , . Igazoljuk, hogy az és kettősviszonyok megegyeznek. A félgömbmodell Az inverzióval további modelleket készíthetünk. Próbálkozhatunk azzal, hogy az inverzió pólusát nem a körmodell határán, hanem azon kívül választjuk meg; ilyen módon azonban ismét a körmodellt kapjuk vissza. Ha viszont kilépünk a térbe, és az inverzió pólusát nem a körmodell síkjában választjuk meg, valóban új struktúrát kapunk. A modellt tartalmazó körlemez képe egy gömbsüveg; a pólust alkalmasan megválasztva éppen egy félgömb; az így kapott struktúra a félgömbmodell.  9. ábra. A félgömbmodell A félgömbmodellben a pontok a félgömbfelület belső pontjai, az egyenesek pedig a határra merőleges félkörök. A szögek ismét az euklideszi szögek, a távolságokat pedig a (2) képlettel definiáljuk. A félgömbmodellt könnyű közvetlenül kapcsolatba hozni a félsíkmodellel és a Cayley‐Klein modellel is. Ha a félgömbmodellt az egyik határpontjából invertáljuk, a félsíkmodellt kapjuk. Ha pedig merőlegesen vetítjük a határ síkjára, a Cayley‐Klein modellhez jutunk. 9. feladat. Honnan kell invertálni a félsíkmodellt, hogy a félgömbmodellt kapjuk? 10. feladat. Igazoljuk, hogy a (2) képlet a félgömbmodellben, illetve az (1) képlet a Cayley‐Klein modellben ugyanazt az eredményt adja. Másképpen fogalmazva, legyen és két pont a félgömbmodellben az félkörön, vetületük az egyenesre legyen , illetve . Igazoljuk, hogy . A négy bemutatott modell között összesen négy megfeleltetést találtunk; ezeket a 10. ábrán foglaltuk össze.  10. ábra. Megfeleltetések a modellek között A látott modellek könnyen általánosíthatók magasabb dimenzióban. Például az irodalomban szintén jól ismert féltérmodellben [1b] egy nyílt féltér pontjai a pontok, a határsíkra merőlegesen illeszkedő félsíkok és félgömbök a hiperbolikus síkok, a határsíkra merőlegesen illeszkedő félegyenesek és félkörök az egyenesek. A hiperbolikus síkokat reprezentáló félsíkokon és félgömbökön természetesen a félsík-, illetve a félgömbmodell jelenik meg. Csempézések A hiperbolikus sík sokféleképpen kicsempézhető egybevágó sokszögekkel. A legegyszerűbb természetesen háromszögeket használnunk. Olyan hiperbolikus háromszöget kell választanunk, amelynek mindegyik szöge a -nak egész hányada (). Egyenlő szárú háromszög esetén a szárszög a egész hányada (). Ha a háromszögünket lerajzoljuk valamelyik modellben, akkor az oldalakra tükrözgetve kaphatjuk meg a többi csempét. 11. feladat. Hogyan szerkeszthetjük meg a Cayley‐Klein, illetve a körmodellben egy pont tükörképét egy másik pontra vagy egyenesre? A 11. ábrán egy olyan csempézést rajzoltunk le a körmodellben, amelyben a háromszögnek egy és két fokos szöge van. Mivel minden csúcsban páros számú (6 vagy 8) háromszög találkozik, a csempéket ki lehet színezni két színnel úgy, hogy a szomszédos csempék különböző színűek legyenek. A kétféle színű csempébe azután kétféle mintát rajzolhatunk, mint azt Escher is tette; például az egyik fajta csempébe angyalkákat, a másik fajtába ördögöket.  11. ábra. Csempézés a körmodellben Hogyan rajzoljunk? Ha számítógépes programot akarunk írni hiperbolikus grafikák készítéséhez, szükségünk van egy algoritmusra, amely a modell tetszőleges pontjának meghatározza a színét. Vegyük fel a háromszög alakú kiinduló csempét valahol a modellben. Célszerű egyik csúcsát a modell középpontjának választani, mert így két oldala az alapkör átmérője, és az ezekre való tükrözés ‐ amelyre szükségünk lesz ‐ könnyebben kezelhető. A csempézésnek sokféle szimmetriája van: forgatások, tengelyes és középpontos tükrözések; ezek közül kitüntethetünk néhányat, például a modell középpontja körüli elforgatásokat, a kiinduló csempe oldalegyeneseire való tükrözéseket, esetleg ‐ bizonyos minták esetén ‐ oldalfelező pontokra való tükrözéseket. (Természetesen az említett transzformációk hiperbolikus megfelelőire van szükségünk; a képpontok koordinátáit számítógép segítségével érdemes meghatározni, a közölt távolságképlet felhasználásával.) Ha egy tetszőleges pont a modellben, amelynek színére kíváncsiak vagyunk, akkor -t a kitüntetett transzformációkkal a kiinduló csempébe képezzük. (Ez akkor is biztosan lehetséges, ha csak a kiinduló csempe oldalaira vagy oldalfelező pontjaira való tükrözéseket használjuk.) Ha a kiinduló csempébe már belerajzoltuk a mintát, máris leolvashatjuk a pont színét (12. ábra).  12. ábra. Pont színének meghatározása A gyakorlatban a csempék mintáját egy külön képként rajzoljuk meg és ez a kép természetesen euklideszi. Ezért szükségünk van még egy megfeleltetésre a csempe pontjai és az euklideszi minta között. Azt szeretnénk, hogy a csúcsok egyenrangúak legyenek és a megfeleltetés ne függjön a kiinduló csempe elhelyezésétől sem. Erre egy lehetséges megoldás a következő. Legyen a kiinduló csempe az hiperbolikus háromszög, az euklideszi minta pedig az euklideszi háromszög. Ha az háromszöglemez egy tetszőleges pontja, akkor számítsuk ki az , , háromszögek hiperbolikus területét. Az euklideszi mintában a -nek megfelelő pontot úgy válasszuk meg, hogy az , , háromszögek területének aránya ugyanaz legyen. Más szóval, az , , háromszögek hiperbolikus területét válasszuk a pont súlyponti koordinátáinak az háromszögben (13. ábra).  13. ábra. A területarány megőrzése Most már minden matematikai eszköz rendelkezésünkre áll hiperbolikus grafikák készítéséhez. A program az elkészítendő kép pixelein sorban végighaladva mindegyiknek kiszámíthatja a színét és összeállíthatja a képet. Jó szórakozást! Irodalom
|