Kezdőlap


Cím:	Az Iskolarádió matematika szakköre
Füzet:	1976/október, 77. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egész együtthatós polinomoknak a természetes számokon vett értékei egész számokból álló sorozatokat alkotnak, így körükben számelméleti összefüggések után kutathatunk. Ilyen tárgyú vizsgálódások folynak a miskolci Földes Ferenc Gimnázium tanulóinak azon a szakkörén, amely alapján a november 8-án (3. műsor, 15.30-16.00) elhangzó

Tapasztalat és bizonyítás

c. adásunk készült. Ha nem sajnáljuk a fáradságot, és kiszámítjuk a sorozatnak elég sok elemét, akkor összefüggések kezdenek kibontakozni. Ezek általános érvényét természetesen be kell bizonyítani, és eközben újabb összefüggésekre is bukkanhatunk. Hasonlóak létezésének viszont ismét a számadatok között érdemes először utánanéznünk. Így bomlik egyre több ágúvá a kezdetben nem sokat ígérő téma. A gyerekek munkáját tanáruk, Szikszai József irányítja.

AZ ADÁSBAN KITŰZÉSRE KERÜLŐ FELADATOK

1. Igaz-e, hogy ha egy olyan polinomba, amelynek 1-nél nagyobb abszolút értékű a konstansa, a konstansának többszörösét helyettesítjük, mindig összetett számot kapunk ?
2. Meg lehet-e választani az

a

egész számot úgy, hogy az

\begin{matrix} n^{2} + n + a \end{matrix}

alakú természetes számok között (

n

természetes szám) csak véges sok prímszám legyen ?
3. Van-e az

\begin{matrix} a_{n} = n^{2} + n - 1 \end{matrix}

sorozat elemei között 1-nél nagyobb négyzetszám ?
4. Adjunk meg olyan

n

természetes számot, hogy

\begin{matrix} n^{2} + n + 1 \end{matrix}

legalább 100 tényezőre bontható összetett szám legyen: legalább 100 darab 1-nél nagyobb egész szám szorzatából álljon.
5. Legyen

P (x) = a x^{2} + b x + c

egész együtthatós polinom. Igazoljuk, hogy minden

u

egész számhoz, ha

P (u) \neq 0

, van végtelen sok olyan

z

egész szám, hogy

\begin{matrix} P (u) | P (z) . \end{matrix}

6. Bizonyítsuk be, hogy minden egész együtthatós, egyváltozós polinom végtelen sok természetes számra ad összetett szám értéket. (Nem lehet megadni egy olyan

k

természetes számot sem, hogy a polinom e

k

korlátnál nagyobb egész számokra már mindig prímszámot adjon.)
E feladatok megoldását november 22-ig erre a címre lehet beküldeni:

Az Iskolarádió Matematikai Szakköre,
1800 Budapest, Bródy S. u. 5‐7.

Azok között, akik legalább egy feladat helyes megoldását beküldik, könyvjutalmakat sorsolunk ki. Legszorgalmasabb feladatmegoldóinkat meghívjuk szereplőnek későbbi felvételeinkre.