Cím: Olimpiai előkészítő feladatok
Füzet: 1979/március, 123 - 124. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek előkészítőül szolgálnak a Matematikai Diákolimpiára. A feladatok megoldásait nem kérjük beküldeni, a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatokkal kapcsolatos kérdéseikkel forduljanak a szerkesztőséghez. Leveleikre írásban válaszolunk.

 

1. Legyen an a n-hez legközelebbi egész. Mennyi a következő összeg értéke:
1a1+1a2+...+1a1980.

2. Az ABCD konvex négyszög belsejében az M pont úgy helyezkedik el, hogy ABMD paralelogramma. Bizonyítsuk be, hogy ha CBM∢=CDM∢, akkor ACD∢=BDM∢.
3. Mutassuk meg, hogy semmilyen pozitív m egészre sem lehet 1978m-1 osztható (1000m-1)-gyel.
4. Az R sugarú körbe egy S területű, n oldalú sokszöget írunk. Az n-szög minden oldalán kijelölünk egy pontot. Bizonyítsuk be, hogy az így kijelölt pontok, mint csúcsok által meghatározott sokszög kerülete legalább 2S/R.
5. Legyen f(x)=x3-x+1. Mutassuk meg, hogy tetszőleges m>1 természetes számra az
m,f(m),f(f(m)),f(f(f(m))),...
számok páronként relatív prímek.
6. Egy n×n-es sakktábla egyik sarkában áll egy bábu. Két játékos felváltva tolja a bábut egy szomszédos mezőre. (Két mező szomszédos, ha van közös oldaluk.) Egy mezőre másodszor rálépni nem szabad. Az veszít, aki nem tud lépni.
a) Bizonyítsuk be, hogy ha n páros, akkor a kezdő tud nyerni, ha n páratlan, akkor a másik.
b) Melyik játékos tud nyerni, ha a bábu nem a sarokmezőről, hanem azzal szomszédos mezőről indul?
7. Bizonyítsuk be, hogy van olyan A szám, hogy az y=A⋅sinx függvény grafikonjába legalább 1978 különböző oldalú négyzet beírható. (Egy négyzetet beírhatónak nevezünk, ha mind a négy csúcsa a görbén van.)
8. Három automata természetes számokból álló számpárokat nyomtat kis lapocskákra. Az első automata, ha egy (a,b) kartont adnak neki, egy (a+1,b+1) feliratú kartont ad ki; a második az (a,b) karton mellé egy (a/2,b/2) feliratú lapocskát nyomtat (csak akkor működik, ha a és b is páros); végül a harmadik két kártya, (a,b) és (b,c) mellé az (a,c) kártyát is kiadja. Kezdetben egyetlen (5,19) feliratú kartonunk van. Kaphatunk-e az automatákat megfelelő sorrendben működtetve a) (1,50), b) (1,100) feliratú kartont?
c) Kezdetben egy (a,b) feliratú kartonunk van, a<b, és egy (1,n) feliratú kartont szeretnénk. Milyen n-re érhetjük ezt el?
9. Mutassuk meg, hogy van olyan korlátos {xn} sorozat, hogy bármely különböző k és m természetes számra
|xm-xk|≧1|k-m|.

10. Adott két kupac gyufaszál, az egyikben m gyufa van, a másikban n , és m>n. Két játékos felváltva vesz a kupacokból. Egy lépésben a soron következő játékos egy kupacból tetszőleges (nullától különböző) számú gyufát vehet el, úgy hogy az elvett gyufák száma többszöröse legyen a másik kupacban lévő gyufák számának. Az a játékos nyer, aki valamely kupac összes gyufáját el tudja venni.
a) Bizonyítsuk be, hogy ha m>2n, akkor a kezdő tud nyerni.
b) Mely α értékekre igaz a következő állítás: ha m>αn, akkor a kezdő játékos tud nyerni?