A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek előkészítőül szolgálnak a Matematikai Diákolimpiára. A feladatok megoldásait nem kérjük beküldeni, a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatokkal kapcsolatos kérdéseikkel forduljanak a szerkesztőséghez. Leveleikre írásban válaszolunk.
1. Legyen a -hez legközelebbi egész. Mennyi a következő összeg értéke: 2. Az konvex négyszög belsejében az pont úgy helyezkedik el, hogy paralelogramma. Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor . 3. Mutassuk meg, hogy semmilyen pozitív egészre sem lehet osztható -gyel. 4. Az sugarú körbe egy területű, oldalú sokszöget írunk. Az -szög minden oldalán kijelölünk egy pontot. Bizonyítsuk be, hogy az így kijelölt pontok, mint csúcsok által meghatározott sokszög kerülete legalább . 5. Legyen . Mutassuk meg, hogy tetszőleges természetes számra az | | számok páronként relatív prímek. 6. Egy -es sakktábla egyik sarkában áll egy bábu. Két játékos felváltva tolja a bábut egy szomszédos mezőre. (Két mező szomszédos, ha van közös oldaluk.) Egy mezőre másodszor rálépni nem szabad. Az veszít, aki nem tud lépni. a) Bizonyítsuk be, hogy ha páros, akkor a kezdő tud nyerni, ha páratlan, akkor a másik. b) Melyik játékos tud nyerni, ha a bábu nem a sarokmezőről, hanem azzal szomszédos mezőről indul? 7. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, hogy az függvény grafikonjába legalább különböző oldalú négyzet beírható. (Egy négyzetet beírhatónak nevezünk, ha mind a négy csúcsa a görbén van.) 8. Három automata természetes számokból álló számpárokat nyomtat kis lapocskákra. Az első automata, ha egy kartont adnak neki, egy feliratú kartont ad ki; a második az karton mellé egy feliratú lapocskát nyomtat (csak akkor működik, ha és is páros); végül a harmadik két kártya, és mellé az kártyát is kiadja. Kezdetben egyetlen feliratú kartonunk van. Kaphatunk-e az automatákat megfelelő sorrendben működtetve a) , b) feliratú kartont? c) Kezdetben egy feliratú kartonunk van, , és egy feliratú kartont szeretnénk. Milyen -re érhetjük ezt el? 9. Mutassuk meg, hogy van olyan korlátos sorozat, hogy bármely különböző és természetes számra 10. Adott két kupac gyufaszál, az egyikben gyufa van, a másikban , és . Két játékos felváltva vesz a kupacokból. Egy lépésben a soron következő játékos egy kupacból tetszőleges (nullától különböző) számú gyufát vehet el, úgy hogy az elvett gyufák száma többszöröse legyen a másik kupacban lévő gyufák számának. Az a játékos nyer, aki valamely kupac összes gyufáját el tudja venni. a) Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor a kezdő tud nyerni. b) Mely értékekre igaz a következő állítás: ha , akkor a kezdő játékos tud nyerni? |