Kezdőlap


Cím:	Az Iskolarádió matematikai szakköre
Szerző(k):	Herczeg János
Füzet:	1977/december, 215 - 217. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szakkör következő adásában (a 3. műsorban, január 30-án 15.30‐16.00 óráig) Surányi János egyetemi tanár azzal ismerteti meg a veszprémi Lovassy László Gimnázium szakkörét és a hallgatókat, hogy

Mi a teljes indukció?

Rokon jelenségeket megfigyelve igyekszünk felfedezni bennük a közös törvényszerűséget. Ha találunk ilyet, annak érvényességét egyrészt újabb hasonló helyzetek létrehozásával ellenőrizhetjük. Közvetettebb mód a következmények levonása és annak ellenőrzése, hogy teljesülnek-e ezek vagy sem. Ha szükséges, alkalmasan módosítjuk a feltételezett törvényszerűséget. Ezt a módszert nevezik indukciónak. A természettudományoknak alapvető módszere ez, de a matematikában is gyakran sejtenek meg összefüggéseket indukció útján.
A matematikus azonban nem állhat meg törvényszerűségek megfigyelésénél. Azokat csak akkor fogadhatja el korlátlanul érvényesnek, ha ennek okát tudja adni, be tudja bizonyítani őket. Miután elvont fogalmakkal dolgozik, amelyek kapcsolatát a logika szabályozza, erre kilátása is van.
Természetes számokra vonatkozó állításoknak egy jellegzetes bizonyításmódja lényegében azon alapszik, hogy minden természetes számhoz eljutunk, ha elindulunk az

1

-től és minden egész számról a rákövetkezőre térünk. Ezt a bizonyításmódot nevezik teljes indukciónak, bár alig fedezhető fel valami rokonsága az indukcióval.
Az adás rámutat vermekre is, amelyekbe bele lehet esni. Ezek elemzésével mélyebben megvilágítja a módszer lényegét. Ugyancsak sokat árul el ennek a bizonyítási ,,automatának'' a szerkezetéről az a példa, amelyben könnyebb egy többet mondó állítást bebizonyítani, mint a kevesebbet mondót.
Az adásban hallottak alkalmazására és gyakorlására a következő feladatok megoldását javasoljuk:

Feladatok.

1. Bizonyítsuk be, hagy ha

n

pozitív egész szám és

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

(- 1)

-től különböző számok, akkor

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{1 + a_{1}} + \frac{a_{2}}{(1 + a_{1}) (1 + a_{2})} + ... + \frac{a_{n}}{(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) ... (1 + a_{n})} = \\ = 1 - \frac{1}{(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) ... (1 + a_{n})} . \end{matrix}

Milyen összefüggést ad ez, ha

a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 1

2. Bizonyítsuk be, hogy ha

φ \neq 2 k π

(

k

egész szám), akkor

\begin{matrix} sin α + sin (α + φ) + ... + sin (α + n φ) = \frac{sin (α + \frac{n}{2} φ) sin (α + \frac{n + 1}{2} φ)}{sin \frac{φ}{2}} . \end{matrix}

Milyen egyszerűbb alakra írhatjuk át a nyert összefüggés alapján a következő összeget:

\begin{matrix} sin φ + sin (3 φ) + ... + sin ((2 n + 1) φ) ? \end{matrix}

3. Legyen

n

3

-nál nagyobb egész szám. Lássuk be, hogy ha egy konvex

n

-szög belsejének egy pontján sem megy át

2

-nél több átló, akkor az egy csúcsból induló átlók a többit

\begin{matrix} f (n) = 1 \cdot (n - 3) + 2 \cdot (n - 4) + ... + (n - 3) \cdot 1 \end{matrix}

pontban metszik.
Keressünk

f (n)

-re egyszerűbb formulát; igazoljuk a megsejtett formula helyességét!
4. (folytatás) Keressünk összefüggést az előző feladat feltételeinek teljesülése mellett az

(n + 1)

-szög és az

n

-szög átlóinak a sokszög belsejébe eső metszéspontjai között.
Bizonyítsuk be, hogy az

n

-szög átlói metszéspontjainak a száma

\begin{matrix} \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{24} . \end{matrix}

5. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} \frac{(n + 1) (n + 2) ... 2 n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n} \geq \frac{4^{n}}{2 \sqrt[]{n}} . \end{matrix}

6. Bizonyítsuk be, hogy van olyan

n_{0}

pozitív egész szám, hogy ha

n

legalább

n_{0}

, akkor

\begin{matrix} \frac{(n + 1) (n + 2) ... 2 n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n} < \frac{4^{n}}{\sqrt[]{2 n + 6}} . \end{matrix}

Keressük meg a legkisebb ilyen

n_{0}

értéket!

E feladatok megoldását a következő címre lehet beküldeni február 13-ig:
Az Iskolarádió Matematikai Szakköre
1800 Budapest, Bródy S. u. 5‐7.

Azok között, akik legalább egy feladat helyes megoldását beküldik, könyvjutalmakat sorsolunk ki. Legszorgalmasabb feladatmegoldóinkat meghívjuk szereplőnek későbbi felvételeinkre.