Kezdőlap


Cím:	Hol a hiba?
Füzet:	1977/február, 62. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindnyájan tapasztaltuk, hogy nem könnyű kiszámolni valaminek az eredményét. Sokan nehezebbnek tartják, ha be kell bizonyítaniuk valamit. De bebizonyítani valakinek, hogy a bizonyítás hibás szinte lehetetlen ‐ Szerintünk hibás a 2050^{$^{*}$} feladatra beküldött alábbi megoldás. Aki látja, hol a hiba, írja meg a szerkesztőségnek (KÖMAL, 1443 Budapest, Postafiók 129).

f

függvény monoton nő, ha bármelyen

x_{1} < x_{2}

esetén

f (x_{1}) \leq f (x_{2})

, monoton csökken, ha

f (x_{1}) \geq f (x_{2}

). Legyen

x_{1} < x_{2}

egyébként tetszőleges, és

a < x_{1} < b < x_{2} < c

. Ilyen

a, b, c

számhármas nyilván mindig választható. Tegyük fel, hogy

{min}_{}^{} (f (a)

f (b)) = f (a)

, ekkor a feltétel szerint

f (a) < f (x_{1}) < f (b)

, valamint az

a < b < c

számhármasra nézve

f (a) < f (b) < f (c)

. A

b < x_{2} < c

számhármast tekintve a feltételből következik, hogy

f (b) < f (x_{2}) < f (c)

, tehát

f (x_{1}) < f (b) < f (x_{2})

, miatt

f (x_{1}) < f (x_{2})

. Ez azt jelenti, hogy az

f

függvény szigorúan monoton nő. Ha

{min}_{}^{} (f (a), f (b)) = f (b)

, akkor a fenti gondolatmenet arra vezet, hogy az

f

függvény szigorúan monoton csökken. Egyenlőség nem állhat fenn, mivel

f (a) = f (b)

esetén

{min}_{}^{} (f (a), f (b)) = {max}_{}^{} (f (a), f (b))

, ami a feltevésnek ellentmond.

^{$^{*}$}Megoldása megjelent az 1977. januári számunkban.