A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az eloszlásfüggvény Számok tetszőleges összességét számcsoportnak nevezzük. Számcsoportot alkotnak például a dobókocka hat lapján található számok, a lottó e heti nyerőszámai, egy tanuló félévi osztályzatai, vagy egy osztály tanulói által egy nap szerzett jegyek. A számcsoport tagjainak a sorrendje nem lényeges, de az esetleges ismétlődések nem elhanyagolhatóak. Az számcsoportot röviden -vel jelöljük, az elemek számát -vel (jelölésünk mellett tehát . Egy adott számcsoport esetén érdemes megvizsgálni, hol helyezkednek el a tagjai, hogy adott típusú számok közül hány tartozik a csoporthoz. A számcsoportnak a valós számok tetszőleges részhalmazához tartozó gyakorisága a számcsoport azon tagjainak száma, amelyek -nak elemei. Ezt a számot -val jelöljük, és a mondott definíció formális alakja a következő: ahol , ha , és különben. Ha a , és számcsoporthoz tetszőleges mellett ugyanaz a gyakoriság tartozik, akkor azonos -val. Ez nyilván csak úgy lehet, ha , és az egyik számcsoportot megkaphatjuk a másikból, ha a tagjait alkalmas módon átrendezzük. Érdekes kérdés, hogy egy adott számcsoport tagjait hányféle sorrendben írhatjuk fel. Ez attól függ, vannak-e egyformák a csoport tagjai között, és ha igen, miből mennyi van. Ezt viszont a Quetelet‐görbéről olvashatjuk le. Ha ebben a számok fordulnak elő rendre gyakoriságokkal (azaz ), akkor a számcsoportban a lehetséges átrendezések száma | | (vö.: Kóczy T. László: A Pascal‐tetraéder, KÖMAL 51. kötet, 1. szám, 1-9. o.). Közben már tovább is fejlesztettük a jelölésünket, amennyiben a eseményt a konkrét egyelemű halmaz mellett a feltétellel jelöltük. Ezzel a lehetőséggel a továbbiakban is szabadon élünk, nevezetesen tetszőleges mellett a számcsoportnak a nyílt intervallumba eső tagjainak a számát fogja jelölni. A számcsoport eloszlásfüggvénye a minden valós -re, értelmezett függvény. Például számcsoport néhány gyakorisága: páros szám) prímszám) összetett szám), és eloszlásfüggvénye | | ahol az egész része. Emellett a számcsoportnak az átlaga | | és szórásnégyzete | | tehát . Tetszőleges számcsoport segítségével készíthetünk véletlen számot úgy, hogy egy urnába cédulát teszünk, és ezekre rendre az számokat írjuk. Aztán kihúzunk egy cédulát az urnából, megnézzük, és visszatesszük az urnába. Majd jól elkeverjük a számokat, és hasonló módon újra húzunk annyiszor, ahány számra szükségünk van. Ezzel a módszerrel tetszőleges véletlen számot előállíthatunk, például a kockadobást a számcsoporttal generálhatjuk. Generálhatnánk a számcsoporttal is, viszont a számcsoport számai előbb‐utóbb elárulnák, hogy készítőjük több hatost szeretne kapni, mint amennyi egy közönséges kockán várható volna. Persze meg is fordíthatjuk a sorrendet, kaphatunk számcsoportot tetszőleges véletlen számból is. Ha az számok egy véletlen szám egymás utáni aktuális értékei, a számcsoportot a véletlen szám realizációjának nevezzük. Egy realizáció átlagát és szórását tapasztalati átlagnak és tapasztalati szórásnak nevezzük, ezek maguk is véletlen számok, értékük realizációról realizációra változik. A számok számát a realizáció hosszának nevezzük, ennek növekedtével a tapasztalati átlag és tapasztalati szórás ingadozása csökken. Szakkör‐sorozatunk fő célja épp e csökkenés vizsgálata. Tetszőleges véletlen számmal játszható a következő játék. Választunk egy természetes számot, és a játékosok egymástól függetlenül választanak maguknak egy felső és egy alsó számot, ezért fizetnek pontot. (Ha a véletlen szám értékei nagyok, pontot, ahol alkalmasan választott konstans.) Aztán a véletlen szám hosszúságú realizációja alapján minden játékos pontot kap. A végén persze az nyer, akinek a legtöbb pontja van. A mellékelt 5. feladatban mi a várható pontszámot egy nagyon nagy mellett fogjuk meghatározni, olyan nagy mellett, hogy a véletlen már ne is szólhasson abba bele, ki lesz a nyertes. Mert a nyertes az lesz, akinek az általunk számított várható pontszáma a legnagyobb.
Mikor igazságos egy játék? Ketten játszhatják a következő játékot. A játékosok egy‐egy számjegyet írnak egy cédulára, aztán egyszerre felmutatják a számukat. Ha ezek egyformák, az első játékos kap Ft-ot, ha nem, a második kap annyi forintot, amennyi a két szám különbsége (abszolút értékben). Ki fog nyerni ebben a játékban? Tegyük fel, hogy az első előre megír ezer cédulát. Ezek közül -re nullát, -re egyet, -re kettőt, -re hármat, -ra négyet, -ra ötöt, -re hatot, -re hetet, -re nyolcat és -re kilencet ír. A céduláit beleteszi egy urnába, és minden játékban onnan húz ki egyet, aztán vissza is teszi oda. Mit tehet a második, ha tudja, hogy mit csinál az első? Belátható, hogy nem sokat. Hosszú távon mindig az első lesz előnyös helyzetben. Ehhez persze meg kellett találni a mondott számokat, amelyekhez hasonlók keresése, reméljük, jó szórakozást nyújt majd az olvasóknak. (Bővebben ezekről Radnainé Szendrei Júlia: A játék matematikája című könyvében olvashatunk.)
Számcsoportok összege Definíció. Két számcsoport összege az a számcsoport, amelynek tagjait úgy kapjuk, hogy az adott két számcsoport tagjait minden lehetséges módon párba állítjuk, és minden párban vesszük a számok összegét. Tehát a és számcsoportok összege a számcsoport, amelynek tagja van. Tétel. Két számcsoport összegének átlaga egyenlő a számcsoportok átlagának összegével. Bizonyítás. A definícióban bevezetett jelölések mellett | |
Tétel. Két számcsoport összegének szórásnégyzete egyenlő a számcsoportok szórásnégyzetének összegével. Bizonyítás. A definíció jelölései mellett jelöljük -t -sal, -t -sal. Ekkor | | Itt a középső összeg egyenlő a és a összegek szorzatával, ezek az összegek viszont -val egyenlőek. A mellékelt 6. feladat számcsoport önmagával képezett többszörös összegével kapcsolatos. Ennek részletes vizsgálata lesz utolsó adásunk témája, ezért kérjük a feladat megoldóit, vizsgálják meg a kapott számokat alaposan, milyen törvényszerűség fedezhető fel bennük. 5. feladat. Milyen határokkal játszaná a következő véletlen számokat? (A játékot a cikkben írjuk le.)
6. feladat. Folytassa az alábbi táblázatot (minden szám a ,,felette'' álló három szám összege).
|
|