Cím: Iskolarádió matematika szakköre
Füzet: 1977/március, 121 - 124. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az eloszlásfüggvény

 

Számok tetszőleges x1,x2,...,xn összességét számcsoportnak nevezzük. Számcsoportot alkotnak például a dobókocka hat lapján található számok, a lottó e heti nyerőszámai, egy tanuló félévi osztályzatai, vagy egy osztály tanulói által egy nap szerzett jegyek. A számcsoport tagjainak a sorrendje nem lényeges, de az esetleges ismétlődések nem elhanyagolhatóak. Az x1,x2,...,xn számcsoportot röviden ξ-vel jelöljük, az elemek számát G(ξ)-vel (jelölésünk mellett tehát G(ξ)=n). Egy adott számcsoport esetén érdemes megvizsgálni, hol helyezkednek el a tagjai, hogy adott típusú számok közül hány tartozik a csoporthoz.
A ξ={x1,x2,...,xn} számcsoportnak a valós számok tetszőleges H részhalmazához tartozó gyakorisága a számcsoport azon tagjainak száma, amelyek H-nak elemei. Ezt a számot G(ξ∈H)-val jelöljük, és a mondott definíció formális alakja a következő:
G(ξ∈H)=∑i=1nI(xi,H),
ahol I(x,H)=1, ha x∈H, és 0 különben. Ha a ξ={x1,x2,...,xn}, és η={y1,y2,ym} számcsoporthoz tetszőleges H mellett ugyanaz a gyakoriság tartozik, akkor ξ azonos η-val. Ez nyilván csak úgy lehet, ha n=m, és az egyik számcsoportot megkaphatjuk a másikból, ha a tagjait alkalmas módon átrendezzük.
Érdekes kérdés, hogy egy adott számcsoport tagjait hányféle sorrendben írhatjuk fel. Ez attól függ, vannak-e egyformák a csoport tagjai között, és ha igen, miből mennyi van. Ezt viszont a Quetelet‐görbéről olvashatjuk le. Ha ebben a
q1<q2<...<qj
számok fordulnak elő rendre
k1,k2,...,kj
gyakoriságokkal (azaz ki=G(ξ=qi),i=1,2,...,j), akkor a számcsoportban a lehetséges átrendezések száma
(k1+k2+...+kj)!k1!⋅k2!⋅...⋅kj!
(vö.: Kóczy T. László: A Pascal‐tetraéder, KÖMAL 51. kötet, 1. szám, 1-9. o.). Közben már tovább is fejlesztettük a jelölésünket, amennyiben a ξ∈H eseményt a konkrét egyelemű H={qi} halmaz mellett a ξ=qi feltétellel jelöltük. Ezzel a lehetőséggel a továbbiakban is szabadon élünk, nevezetesen G(a<ξ<b) tetszőleges a,b mellett a ξ számcsoportnak a nyílt (a,b) intervallumba eső tagjainak a számát fogja jelölni.
A ξ={x1,x2,...,xn} számcsoport eloszlásfüggvénye a minden valós x-re, értelmezett
F(x)=G(ξ<x)G(ξ)
függvény. Például ξ={1,2,3,4,5,6} számcsoport néhány gyakorisága: G(1<ξ<6)=4,G(ξ páros szám)=3,G(ξ prímszám)=3,G(ξ összetett szám)=2, és eloszlásfüggvénye
F(x)={0,hax<016[x],ha0≤x≤61,hax>6,
ahol [x] az x egész része. Emellett a számcsoportnak az átlaga
E(ξ)=16(1+2+3+4+5+6)=312,
és szórásnégyzete
D2(ξ)=124(52+32+12+12+32+52)=3512,
tehát D(ξ)=3512=1,71.
 

Tetszőleges ξ={x1,x2,...,xn} számcsoport segítségével készíthetünk véletlen számot úgy, hogy egy urnába n cédulát teszünk, és ezekre rendre az x1,x2,...,xn számokat írjuk. Aztán kihúzunk egy cédulát az urnából, megnézzük, és visszatesszük az urnába. Majd jól elkeverjük a számokat, és hasonló módon újra húzunk annyiszor, ahány számra szükségünk van. Ezzel a módszerrel tetszőleges véletlen számot előállíthatunk, például a kockadobást a ξ=1,2,3,4,5,6} számcsoporttal generálhatjuk. Generálhatnánk a ξ={1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6} számcsoporttal is, viszont a ξ={1,2,3,4,5,6,6,6} számcsoport számai előbb‐utóbb elárulnák, hogy készítőjük több hatost szeretne kapni, mint amennyi egy közönséges kockán várható volna.
Persze meg is fordíthatjuk a sorrendet, kaphatunk számcsoportot tetszőleges véletlen számból is. Ha az x1,x2,...,xn számok egy véletlen szám egymás utáni aktuális értékei, a ξ={x1,x2,...,xn} számcsoportot a véletlen szám realizációjának nevezzük. Egy realizáció átlagát és szórását tapasztalati átlagnak és tapasztalati szórásnak nevezzük, ezek maguk is véletlen számok, értékük realizációról realizációra változik. A számok számát a realizáció hosszának nevezzük, ennek növekedtével a tapasztalati átlag és tapasztalati szórás ingadozása csökken. Szakkör‐sorozatunk fő célja épp e csökkenés vizsgálata.
 

Tetszőleges véletlen számmal játszható a következő játék. Választunk egy n természetes számot, és a játékosok egymástól függetlenül választanak maguknak egy F felső és egy A alsó számot, ezért fizetnek (F-A)2 pontot. (Ha a véletlen szám értékei nagyok, (F-AK)2 pontot, ahol K alkalmasan választott konstans.) Aztán a véletlen szám n hosszúságú ξ realizációja alapján minden játékos 100nG(A≤ξ≤F) pontot kap. A végén persze az nyer, akinek a legtöbb pontja van.
A mellékelt 5. feladatban mi a várható pontszámot egy nagyon nagy n mellett fogjuk meghatározni, olyan nagy n mellett, hogy a véletlen már ne is szólhasson abba bele, ki lesz a nyertes. Mert a nyertes az lesz, akinek az általunk számított várható pontszáma a legnagyobb.
 


Mikor igazságos egy játék?
 

Ketten játszhatják a következő játékot. A játékosok egy‐egy számjegyet írnak egy cédulára, aztán egyszerre felmutatják a számukat. Ha ezek egyformák, az első játékos kap 35 Ft-ot, ha nem, a második kap annyi forintot, amennyi a két szám különbsége (abszolút értékben). Ki fog nyerni ebben a játékban?
Tegyük fel, hogy az első előre megír ezer cédulát. Ezek közül 131-re nullát, 109-re egyet, 95-re kettőt, 85-re hármat, 80-ra négyet, 80-ra ötöt, 85-re hatot, 95-re hetet, 109-re nyolcat és 131-re kilencet ír. A céduláit beleteszi egy urnába, és minden játékban onnan húz ki egyet, aztán vissza is teszi oda. Mit tehet a második, ha tudja, hogy mit csinál az első? Belátható, hogy nem sokat. Hosszú távon mindig az első lesz előnyös helyzetben. Ehhez persze meg kellett találni a mondott számokat, amelyekhez hasonlók keresése, reméljük, jó szórakozást nyújt majd az olvasóknak. (Bővebben ezekről Radnainé Szendrei Júlia: A játék matematikája című könyvében olvashatunk.)
 


Számcsoportok összege
 

Definíció. Két számcsoport összege az a számcsoport, amelynek tagjait úgy kapjuk, hogy az adott két számcsoport tagjait minden lehetséges módon párba állítjuk, és minden párban vesszük a számok összegét. Tehát a ξ={x1,x2,..., xn} és η={y1,y2,...,ym} számcsoportok összege a ζ={x1+y1,x1+ +y2,...,x1+ym,x2+y1,x2+y2,...,x2+ym,...,xn+y1,xn+y2,...,xn+ +ym} számcsoport, amelynek n⋅m tagja van.
Tétel. Két számcsoport összegének átlaga egyenlő a számcsoportok átlagának összegével.
Bizonyítás. A definícióban bevezetett jelölések mellett
n⋅m⋅E(ζ)=∑i=1n∑j=1m(xi+yj)=∑i=1n∑j=1mxi+∑i=1n∑j=1myj=m∑i=1nxi+n∑j=1myj=m⋅nE(ξ)+n⋅mE(η).

Tétel. Két számcsoport összegének szórásnégyzete egyenlő a számcsoportok szórásnégyzetének összegével.
Bizonyítás. A definíció jelölései mellett jelöljük E(ξ)-t x¯-sal, E(η)-t y¯-sal. Ekkor
nmD2(ξ)=∑i=1n∑j=1m[(xi-x¯)+(yj-y¯)]2=m∑i=1n(xi-x¯)2+2∑i=1n∑j=1m(xi-x¯)(yj-y¯)+n∑j=1m(yj-y¯)2.
Itt a középső összeg egyenlő a ∑i=1n(xi-x¯) és a ∑j=1m(yj-y¯) összegek szorzatával, ezek az összegek viszont 0-val egyenlőek.
A mellékelt 6. feladat ξ={-1,0,1} számcsoport önmagával képezett többszörös összegével kapcsolatos. Ennek részletes vizsgálata lesz utolsó adásunk témája, ezért kérjük a feladat megoldóit, vizsgálják meg a kapott számokat alaposan, milyen törvényszerűség fedezhető fel bennük.
 

5. feladat. Milyen határokkal játszaná a következő véletlen számokat? (A játékot a cikkben írjuk le.)
 


     VÉLETLEN SZÁM ALSÓ  FELSŐ   20 érmén a fejdobások száma  14 kockán (mindegyiken 2 lap piros) a piros lapok száma  13 kártya közt (melyeket 52-ből vettünk ki) a kőr lapok száma    9 kockán (mindegyikén 1 lap piros) a piros lapok száma  A legkisebb lottószám  A lottószámok összege (K=10)  5 kockán dobott számok összege  20 érmedobásban a leghosszabb ,,tiszta fej'' blokk hossza  VÁRHATÓ PONTSZÁM
 

6. feladat. Folytassa az alábbi táblázatot (minden szám a ,,felette'' álló három szám összege).