Kezdőlap


Cím:	Megjegyzések a 1365. feladat megoldásához
Füzet:	1977/március, 129 - 131. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1976. évi decemberi számunk 232. oldalán jelent meg az 1365. feladat megoldása. Kriza György (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.) felhívta figyelmünket a megoldás két hiányosságára.
A megoldásban közölt ábrán rajzolt forgatási iránnyal szemben való forgatásra az eredmény hibás, ugyanis formailag helyes a levezetése, de ilyenkor mindig ellenőrizni kell azt is, hogy a nyomóerők továbbra is nem‐negatívak, azaz nem válnak húzóerőkké. Esetünkben, ha az $S_{2}$ előjelet vált, $N_{1}$ is ellenkező előjelű lenne, azaz ennél a forgásiránynál az $S_{2} = 0, N_{2} = G, S_{1} = 0, N_{1} = 0$ erők lépnek fel, a maximális megengedhető ‐ elfordulást még éppen nem okozó ‐ forgatónyomaték $M' = O$ .
Kriza György másik észrevétele az volt, hogy nem vizsgáltuk meg azt a nehezen elképzelhető, matematikai szempontból érdekes esetet, amikor a súrlódási együttható értéke nagyobb, mint $1$ . Levele alapján az alábbiakban közöljük a feladat ilyen értelemben általános megoldását.

A decemberi számban közölt megoldás szerint a súrlódási erőkre, az erőegyensúlyra és a forgatónyomatékok egyensúlyára a következő egyenlőtlenségeket és egyenleteket írhatjuk fel (az utolsó egyenletet most a súlypontra vonatkoztatjuk):

\begin{matrix} | S_{1} | \leq μ_{0} N_{1}, & (1) \\ | S_{2} | \leq μ_{0} N_{2}, & (2) \\ S_{2} - N_{1} = 0, & (3) \\ G - S_{1} - N_{2} = 0, & (4) \\ S_{1} R + S_{2} R - M = 0. & (5) \end{matrix}

A fent említett okok miatt

S_{2}

sohasem lehet negatív, így a (2) egyenlőtlenségben az abszolút érték jelet elhagyhatjuk. Az (1) egyenlőtlenséget

S_{1} \geq 0

esetén

\begin{matrix} S_{1} \leq μ_{0} N_{1}, \end{matrix}

(1a)

illetve

S_{1} \leq 0

esetén

\begin{matrix} - S_{1} \leq μ_{0} N_{1} \end{matrix}

(1b)

alakban írhatjuk. (3) és (4) segítségével az egyenlőtlenségekben kiküszöbölhetjük a nyomóerőket:

\begin{matrix} S_{1} \leq μ_{0} S_{2}, & (6a) \\ - S_{1} \leq μ_{0} S_{2}, & (6b) \\ S_{2} \leq μ_{0} (G - S_{1}) . & (7) \end{matrix}

A továbbiakban az (1)‐(5) rendszer megoldásával foglalkozunk, amelyben ismeretlenek a súrlódási és nyomóerők, valamint az

M

forgatónyomaték. A maximális forgatónyomatékot grafikus úton kereshetjük meg úgy, hogy ábrázoljuk

\begin{matrix} S_{1} = μ_{0} S_{2}, & (8a) \\ - S_{1} = μ_{0} S_{2}, & (8b) \\ S_{2} = μ_{0} (G - S_{1}) & (9) \end{matrix}

az egyeneseket az

(S_{1}; S_{2})

derékszögű koordináta‐rendszerben.
Az 1. ábrán a

μ_{0} < 1; S_{1} \geq 0

esetet vizsgáljuk.

1. ábra

A (8a) és (9) egyeneseket ábrázolva könnyen kijelölhetjük a vastag vonallal kiemelt háromszöget, amelynek pontjai és csak ezek a pontok kielégítik a (6a) és (7) egyenlőtlenségeket. A (3) és (4) egyenletből az is látszik, hogy a háromszög pontjaira (a háromszög belsejének és kerületének pontjaira) a nyomóerők nem lehetnek negatívak. A fizikailag megvalósítható maximális forgatónyomaték meghatározásához olyan (5) egyenest kell ábrázolnunk, amelynek még van közös pontja a kiemelt tartománnyal és az

M

érték a legnagyobb. Mivel az (5) egyenes

45^{\circ}

-os, a (9) egyenes pedig laposabb (

μ_{0} < 1

), az ábrán rajzolt helyzet általánosan is érvényes. Algebrailag meghatározhatjuk a (8a) és (9) egyenesek metszéspontjának koordinátáit, amiből a maximális forgatónyomaték:

\begin{matrix} M_{1} = μ_{0} R G \frac{1 + μ_{0}}{1 + μ_{0}^{2}} (μ_{0} < 1; S_{1} \geq 0) . \end{matrix}

2. ábra

A 2. ábrán azt az esetet vizsgáljuk, amikor

μ_{0} < 1; S_{1} \leq 0

. A (8b) és (9) egyenesek által kijelölt háromszög pontjai kielégítik a (6b) és (7) egyenlőtlenségeket, valamint a nyomóerők sem lehetnek negatívok. A berajzolt (5) egyenes pedig a maximális forgatónyomatékot határozza meg:

\begin{matrix} M_{2} = μ_{0} R G (μ_{0} < 1; S_{1} \leq 0) . \end{matrix}

azaz

(M_{1} > M_{2})

a valóságos maximum az eredeti megoldásban is megadott

M_{1}

érték.

3. ábra

A 3. ábrán a

μ_{0} > 1; S_{1} \geq 0

esetnek megfelelő (8a) és (9) egyeneseket ábrázoltuk. A megvastagított kerületű háromszög pontjai kielégítik a megfelelő egyenlőtlenségeket, valamint a nyomóerők sem lehetnek negatívok. A maximális forgatónyomaték a berajzolt (5) egyenes alapján:

\begin{matrix} M_{3} = μ_{0} R G (μ_{0} > 1; S_{1} \geq 0) . \end{matrix}

A 4. ábrán a

μ_{0} > 1; S_{1} \leq 0

esetet vizsgáljuk.

4. ábra

A megkívánt feltételeknek itt a (8b), a (9) egyenesek és az

S_{1} = 0

koordinátatengely által határolt végtelen tartomány pontjai felelnek meg. Mivel az (5) egyenes laposabb, mint a (9), tetszőlegesen nagy

M

mellett is áthalad az (5) egyenes a kijelölt tartományon ‐ bármilyen nagy forgatónyomatékot is alkalmazunk, a kerék nem fordul el. A kerék ilyen körülmények között beszorulna a szögletbe:

\begin{matrix} M_{4} = \infty (μ_{0} > 1; S_{1} \leq 0), \end{matrix}

és nyilvánvalóan

μ_{0} > 1

-re ez lesz a maximális forgatónyomaték.
Az eddigi vizsgálatokból kizártuk a

μ_{0} = 1

esetet. Valamennyi vizsgált lehetőségnél az (5) és a (9) egyenesek egybeesnek, a maximális forgatónyomaték

\begin{matrix} M_{1} = M_{2} = M_{3} = M_{4} = R G (μ_{0} = 1) \end{matrix}

lenne. Az egyenesek egybeesése azt jelenti, hogy a feladat még határesetben is határozatlan lenne, a súrlódási és nyomóerőket nem határoznák meg a merev test egyenletei.
Az ellenkező irányú forgatásnak olyan (5) egyenes felelne meg, amelyben

M

negatív, azaz olyan

45^{\circ}

-os egyeneseket kell keresnünk, melyek alulról érintik a megengedett tartományokat. Látható, hogy mind a négy esetben ez az egyenes az origón halad át, vagyis a legkisebb ellenkező előjelű forgatónyomaték is azonnal ,,kigurítja'' a sarokból a kereket.