Kezdőlap


Cím:	Az optikai feladatok megoldásáról
Szerző(k):	Major János
Füzet:	1982/január, 33 - 38. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az optikai feladatok megoldásáról

Ebben a számunkban egy hosszabb optikai feladatsorozat kitűzését kezdtük meg. A sorozat célja eljutni olyan problémák megoldásához, melyek már aránylag közel állnak az optika gyakorlati hasznosításához, az optikai eszközökhöz. A feladatok egy részének megoldásakor sokat egyszerűsít a Fermat‐elv ismerete. Erről szól cikkünk első része. A második részben a vastag lencsékkel kapcsolatos alapvető fogalmakat foglaljuk össze, hogy a feladatokban ne csak a gyakorlati életben elő nem forduló "vékony'' lencsékre legyünk korlátozva.

1. A Fermat‐elv (legrövidebb idő elve) és a legképezési törvény

Egy optikai elem (tükör, lencse stb.) esetén a képalkotást úgy szokás definiálni, hogy a képpont az a pont, ahol a megfelelő tárgypontból kiinduló összes (helyesebben sok, a tárgypontból egy bizonyos térszögben induló összes) fénysugár találkozik. A képalkotásnak ez a megfogalmazása szolgál alapul a képpontok megszerkesztéséhez, illetve ebből lehet levezetni a képalkotási törvényeket is, a lencse-, ill. tükörtörvényt. Ez utóbbihoz természetesen szükséges ismerni a különböző törésmutatójú közegek határán áthaladó fénysugár törési vagy visszaverődési törvényét is.
A törési (visszaverődési) törvényt helyettesíthetjük a Fermat‐elvvel: két pont között a fény mindig úgy halad, hogy útjához a lehető legkevesebb időre legyen szüksége. Ennek segítségével egyszerűen megfogalmazhatjuk a leképezés feltételét is. Mivel a leképezésben részt vevő fénysugarak valamennyien a tárgypontból indulnak és a képpontba érkeznek, útjukhoz egyenlő időre van szükség, mert különben a Fermat‐elv szerint a legrövidebb időt igénylő sugármenet jöhetne csak létre.
Alkalmazzuk a Fermat‐elvet, először a legegyszerűbb esetre: fény haladása homogén törésmutatójú közegben. A fénysugár áthalad az

A

és

B

pontokon (l. az 1. ábrát), amelyek távolsága

d

, a fény sebessége pedig

c / n

, ahol

c

a fény sebessége vákuumban,

n

az abszolút törésmutató. Mivel a fény sebessége állandó (

c / n

), ha az

A

ponttól

B

-ig megtett út

s

, a szükséges idő így

t = s / (c / n)

, ami akkor a legkisebb, ha

s = d

, azaz a fénysugár az

A

ponttól a

B

-ig egyenes vonalban halad, ellentétben az 1. ábrán rajzolttal.

1. ábra

2. ábra

A 2. ábra olyan elrendezést mutat be, amelyben a törésmutató (azaz a fénysebesség) már nem homogén, hanem az egyik tartományban

n_{1}

, a másikban

n_{2}

, a két tartományt elválasztó felület pedig sík. Induljon a fénysugár az

A

pontból és haladjon át a

B

ponton is. Tudjuk, hogy a homogén törésmutatójú térrészben a fénysugár útja egyenes. Így egyetlen ismeretlenünk van, a határfelületen levő

C

pont helyzete, ahol a fénysugár áthalad (3. ábra).
Célszerű az

A

és

B

pontok helyzetét, illetve a

C

pont hozzájuk viszonyított helyzetét az

α

és a

β

szögekkel jellemezni (3. ábra). Legyen továbbá az

A

pont távolsága a határsíktól

d_{1}

, a

B

ponté

d_{2}

. A fénysugár sebessége az

n_{1}

törésmutatójú közegben

c / n_{1}

, az

n_{2}

törésmutatójúéban

c / n_{2}

. Így az

A B

út befutásához szükséges idő két részből áll:

\begin{matrix} T = \frac{d_{1}}{sin α} : \frac{c}{n_{1}} + \frac{d_{2}}{sin β} : \frac{c}{n_{2}} . \end{matrix}

3. ábra

Keressük

t

minimumát

α

és

β

függvényében, de még a

\begin{matrix} d_{1} \cdot tg α + d_{2} \cdot tg β = D \end{matrix}

feltételnek is teljesülnie kell. Felhasználva az

\begin{matrix} \frac{1}{sin β} = \sqrt[]{1 + {ctg}^{2} β} \end{matrix}

azonosságot, a feltételből kifejezhetjük az

1 / sin β

értékét:

\begin{matrix} \frac{1}{sin β} = \sqrt[]{1 + \frac{d_{2}^{2}}{{(D - d_{1} tg α)}^{2}}} . \end{matrix}

vagyis az

A

-tól

B

-ig való haladás ideje

\begin{matrix} T = \frac{d_{1} n_{1}}{c} \frac{1}{sin α} + \frac{d_{2} n_{2}}{c} \sqrt[]{1 + \frac{d_{2}^{2}}{{(D - d_{1} tg α)}^{2}}}, \end{matrix}

amelyből a szélsőérték megkeresésével (nem triviális feladat) kapjuk az ismert

\begin{matrix} sin α / sin β = n_{2} / n_{1} \end{matrix}

összefüggést.
Általában könnyebb a dolgunk, ha a Fermat‐elvet egyszerű optikai elemek leképezésének vizsgálatára használjuk. Tekintsük például a domború tükör képalkotását. Legyen a tükör sugara

R

, a tükör optikai középpontjának

(C)

és a tárgypontnak

(T)

a távolsága

t

, a képpont

(K)

C

-től mért távolsága pedig

k

(4. ábra).
Tekintsük u 4. ábrán megrajzolt feltételezett

T A K

sugármenetet. Erre a fény haladási idejének meghatározásához számítsuk ki először az utakat. Legyen az

A

pont távolsága az optikai tengelytől

x

. Ekkor

4. ábra

\begin{matrix} A T & = \sqrt[]{x^{2} + [t - {(R - \sqrt[]{R^{2} - x^{2})}]}^{2}}, \\ A K & = \sqrt[]{x^{2} + [k - {(R - \sqrt[]{R^{2} - x^{2})}]}^{2}}, \\ T & = A T / c_{1} + A K / c_{1} . \end{matrix}

A szélsőérték számítás egyszerűen elvégezhető, ha végrehajtjuk a következő közelítő átalakításokat, melyek esetünkben (

x ≪ t

x ≪ k

) jó közelítéssel teljesülnek, feltéve, hogy az optikai tengellyel közel párhuzamos fénysugarakat vizsgálunk.
Így

\begin{matrix} A T = \sqrt[]{x^{2} + [t - {(R - \sqrt[]{R^{2} - x^{2})}]}^{2}} = \sqrt[]{t^{2} + 2 R^{2} - 2 R t + 2 (t - R) \sqrt[]{R^{2} - x^{2}}} . \end{matrix}

Ebben a kifejezésében

\begin{matrix} \sqrt[]{R^{2} - x^{2}} = R \sqrt[]{1 - \frac{x^{2}}{R^{2}}} ≅ (1 - \frac{x^{2}}{2 R^{2}}), \end{matrix}

x ≪ R

, így

\begin{matrix} A T ≅ \sqrt[]{t^{2} + 2 R^{2} - 2 R T + 2 R (t - R) (1 - \frac{x^{2}}{2 t R^{2}})} = \\ = t \sqrt[]{1 + \frac{t - R}{t^{2} R} x^{2}} ≅ t (1 + \frac{t - R}{2 t^{2} R} x^{2}) = t + \frac{t - R}{2 t R} x^{2}, \end{matrix}

ahol az utolsó átalakítást azzal a feltételezéssel hajtottuk végre, hogy

x^{2} ≪ t^{2}

, és

x^{2} ≪ t B

. Hasonlóképpen

\begin{matrix} A K ≅ k + \frac{| k - R |}{2 k R} x^{2} . \end{matrix}

Így a fény útjának ideje a

T

és

K

pontok között

\begin{matrix} T = \frac{A T}{c_{1}} + \frac{A K}{c_{1}} = \frac{t}{c_{1}} + \frac{k}{c_{1}} + x^{2} (\frac{t - R}{2 t R c_{1}} + \frac{k - R}{2 k R c_{1}}) . \end{matrix}

A fentiek szerint a képalkotás feltétele az, hogy képalkotásban részt vevő, de különböző irányokban induló fénysugaraknak a tárgypontba való érkezéséhez szükséges idő ne függjön a kiindulási iránytól, azaz a

T

idő független legyen

x

-től. Ez csak úgy érhető el, ha

x^{2}

együtthatója nulla:

\begin{matrix} \frac{t - R}{2 t R c_{1}} + \frac{k - R}{2 k R c_{1}} = 0 \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y \end{matrix}

amit megfeleltetve a szokásos leképezési törvénynek:

\begin{matrix} (1 / t) + (1 / k) = (1 / f) \end{matrix}

kapjuk. hogy

\begin{matrix} f = R / 2 \end{matrix}

a fókusztávolság.
Nézzünk meg egy másik, hasonló példát: vizsgáljuk meg egy vékony lencse leképezési törvényét. Legyenek a lencse felületének görbületi sugarai

R_{1}

és

R_{2}

(5. ábra).

5. ábra

Keressük a

T

tárgypont képét, tegyük fel, hogy az éppen a

K

pont. Legyen

T

és

K

távolsága a lencsétől (vékony lencse: a lencse középvonalától)

t

és

k

. Mivel a lencse vékony (

d ≪ t

;

k

;

R_{1}

;

R_{2}

) és csak a fény útjának idejére vagyunk kíváncsiak, feltehetjük, hogy a fény a lencsén belül párhuzamosan halad a tengellyel (az eltérés elhanyagolhatóan kis hibát ad ‐ ezt a részletesebb számolás vagy átgondolás mutathatja ki). Legyen a fényút a

T A B K

út (5. ábra), legyen az:

A

és

B

pontok távolsága az optikai tengelytől

x

, továbbá legyen a lencse törésmutatója

n

, a környezetéé 1. A fény sebessége így a lencsén kívül

c

(fénysebesség vákuumban) a lencsén belül

c / n

.
Számítsuk ki először a

T A

úthosszat:

\begin{matrix} T A = {[x^{2} + {(t - \frac{d}{2} + R - \sqrt[]{R^{2} - x^{2}})}^{2}]}^{1 / 2}, \end{matrix}

hasonlóan a gömbtükörnél végzett számításhoz. Az átalakításokat elvégezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} T A ≅ {[{(t - \frac{d}{2})}^{2} + (t - \frac{d}{2} - R_{1}) \frac{x^{2}}{R_{1}^{2}}]}^{1 / 2}, \end{matrix}

ismét elvégezve a közelítő gyökvonást, kapjuk, hogy

\begin{matrix} T A = (t - \frac{d}{2}) (1 + \frac{t - \frac{d}{2} + R_{1}}{2 {(t + \frac{d}{2})}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{R_{1}^{2}}) . \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} B K = (k - \frac{d}{2}) (1 + \frac{k - \frac{d}{2} + R_{2}}{2 {(k - \frac{d}{2})}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{R_{2}^{2}}) . \end{matrix}

Az üvegben megtett távolságot aránylag egyszerűen megkapjuk:

\begin{matrix} A B = d - (R_{1} - \sqrt[]{R_{1}^{2} - x^{2}}) - (R_{2} - \sqrt[]{R_{2}^{2} - x^{2}}) . \end{matrix}

átalakítva (

x ≪ R_{1}

;

R_{2}

\begin{matrix} A B ≅ d - \frac{x^{2}}{2} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}) . \end{matrix}

A fény

T A B K

útjához tartozó teljes idő:

\begin{matrix} T = \frac{T A}{c} + \frac{A B}{(c / n)} + \frac{B K}{c} = \frac{1}{c} [t + k \end{matrix}