Cím: Olimpiai előkészítő feladatok
Szerző(k):  Kőváry Károly 
Füzet: 1984/október, 312 - 313. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Számoljuk ki tg11,25∘, cos3∘ pontos értékét!

 
2. A k kör AB átmérőjének egy kijelölt pontja P. Szerkesszük meg azt a P-n áthaladó CD húrt, amelyre az ACBD húrnégyszög területe maximális
 

3. Legyen k az ABC háromszög körülírt köre. Tekintsük azt a maximális átmérőjű kört, amely érinti a BC oldalt és az A-t nem tartalmazó BC ívet, legyen ennek átmérője dA. Hasonlóan definiáljuk dB-t és dC-t. Bizonyítsuk be, hogy ha k sugara r, akkor
32≦dA+dB+dC<2r.

4. Az AB átmérőjű O középpontú félkörön fut a P pont. P vetülete az AB szakaszon Q, az AB ív felezőpontja C. QC és OP egyenes R-ben metszi egymást. Mi R mértani helye, ha P befutja a félkört?
 

5. Az e egyenesen adott három pont, A, B és F (B van középen). A-ban és B-ben merőlegest állítunk e-re, kapjuk az a és b egyenest. Az F-en átmenő tetszőleges f egyenes a-t A1-ben, b-t B1-ben metszi. Az A1B1 átmérőjű K kör második metszéspontja a-val, ill. b-vel A2, ill. B2. Az A2B1, A1B2, egyeneseket érintő, K-val koncentrikus kör k. Az AB szakasz C felezőpontjából k-hoz húzott érintők k-t E1 és E2-ben érintik. Az E1E2 egyenes f-et P-ben, a K kört az M és N pontokban metszi. Mi P, M és N mértani helye, ha f körbe fordul F körül?
 

6. Az ABC háromszög körülírt körének középpontja K, beírt körének középpontja O. Tudjuk, hogy AB, AC, BC hosszai (ilyen sorrendben) számtani sorozatot alkotnak. Mekkora a BOK∢?
 

7. Szerkesszük meg a négyszöget, ha ismerjük a szögeit és átlóinak hosszát.
 

8. Adott egy pontból induló négy félegyenes és két szakasz, a, b. Szerkesztendő olyan paralelogramma, amelynek négy csúcsa rendre a négy félegyenesre esik és két oldala a, ill. b hosszúságú.
 

9. Szerkesszünk téglalapot, ha ismerjük az átló hosszát és adott oldalainak egy-egy pontja.
 

10. Adott az e egyenesen négy pont, A, B, C, D. Szerkesszünk P1P2P3P4P5 szabályos ötszöget, amelynek P1P2 oldalegyenesére illeszkedik A, P2P3 oldalegyenesére B, P4P5 oldalegyenesére C és a P1P3 átló egyenesére D.
 

11. Ha a, b, c egy háromszög oldalai, ma, fa, sa az a oldalhoz tartozó magasság, szögfelező és súlyvonal hossza, akkor
(b+c)24bc≦safaésb2+c24bc≦sama.
Mikor áll fenn egyenlőség?
Igaz-e, hogy a háromszög súlyvonalaiból mint oldalakból szerkesztett háromszög beírt körének ϱ sugarára
ϱ≦3abc4(a2+b2+c2).
Az egyenlőség pontosan akkor van, ha a=b=c?
 

12. Az ABC háromszög BC oldalán fut a P pont. AP egyenes és ABC körülírt körének második metszéspontja Q. Igaz-e, hogy egyetlen olyan P pont van, amelyre a PQ szakasz maximális, és ez a P pont a BC oldal F felezőpontja és az A-ból induló szögfelező T talppontja közé esik?
 

13. Igaz-e, hogy ha p a háromszög félkerülete, ma az a oldalhoz tartozó magasság, fb a b oldalhoz tartozó szögfelező és sc a c oldalhoz tartozó súlyvonal, akkor
ma+fb+sc≦3p.

14. Adott 17 pont az r sugarú körben. Igazoljuk, hogy van köztük kettő, amelynek távolsága kisebb 23r-nél.
 

15. Az ax3+bx2+cx+d harmadfokú, komplex együtthatós polinom három nullhelye a Gauss-féle számsíkon a z1, z2, z3 pont. A polinom deriváltjának két nullhelye az ω1 és ω2 pont. Van-e olyan ω1 és ω2 fókuszú ellipszis, ami érinti a z1z2z3 háromszög oldalait?