Cím: Az 1989-90. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 1990/november, 344 - 347. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első forduló feladatai
 

I. kategória
 

Bizonyítsa be, hogy a
a2+b2+c2+d2=(a+d)2+(b+c)2
egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha ac=bd.
2. Oldjuk meg a következő egyenletet:
4sinx+34cosx+3=3cosx+43sinx+4.

3. Oldjuk meg a következő egyenletet a pozitív számok körében:
x+1x=-y2+6y-7.

4. Az ABC háromszög α szögének szögfelezője az A1 pontban metszi a szemközti oldalt. Bizonyítsuk be, hogy (AA1)2=AB⋅AC-A1B⋅A1C.
5. Melyek azok az n pozitív egész számok, amelyekre n-1990 és n+1990 teljes négyzetek?
6. Egy rombusz oldalának hossza 6 egység, egyik szöge 30∘. Rajzoljunk a rombusz minden oldala fölé kifelé négyzetet. Mekkora lesz a négyzetek középpontjai által meghatározott négyszög területe?
 

II. kategória
 

1. Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben minden előforduló számjegy legalább kétszer szerepel?
2. Egy ABC hegyesszögű háromszög C csúcsa egyenlő távol van a magasságponttól és a háromszög köré írt kör középpontjától. Mekkora az ACB szög?
3. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:
(2sinx+1)(tgx-1)≤2;(0≤x≤π).

4. Legyen δ az a szög, amelyet egy derékszögű háromszögben az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal és az átfogó zárnak be. Bizonyítsuk be, hogy sinδ≤13.
5. Az (an) sorozatot a következő módon definiáljuk:
a1=k(pozitív egész),an+1={an2,haanpáros,an+5,haanpáratlan.
Mely k pozitív egészekre igaz, hogy 1 előfordul az (an) sorozat tagjai között?
 

III. kategória
 

1. Bizonyítsuk be, hogy
sin3α3+3sin3α32+...+3n-1sin3α3n=14(3nsinα3n-sinα).

2. Van-e az x2+xy+y2=2 egyenletnek racionális számokból álló megoldása?
3. Legyen δ az a szög, amelyet egy derékszögű háromszögben az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal és az átfogó zárnak be. Bizonyítsuk be, hogy sinδ≤1/3.
4. Antal 100 gyufásdobozt megszámoz 1-től 100-ig, és mindegyikbe tetszés szerinti számú gyufát tesz. Bea tetszőlegesen kiválaszt 15 dobozt, erre Antal megszámolja a bennük lévő gyufákat (úgy, hogy Bea ezt ne lássa), és megmondja, hogy a 15 dobozban együttesen páros vagy páratlan számú gyufa van. Bea ezt a kérdezési lépést akárhányszor megismételheti. Ki tudja-e Bea találni, hogy az 1-es számú dobozban páros vagy páratlan sok gyufa van, és ha igen, akkor mi az ehhez szükséges minimális lépésszám?
5. Legyen
a0=1ésan=1+an-12-1an-1;(n=1,2,...).
Bizonyítsuk be, hogy
an>π2n+2.
 

A második (döntő) forduló feladatai
 

I. kategória
 

(Szakközépiskolák tanulói számára)
 

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:
xy+xz=8-x2;xy+yz=12-y2;yz+zx=-4-z2.

2. Jelölje d az ABC hegyesszögű háromszög A csúcsán átmenő egyenest. Legyen a B, illetve a C csúcs vetülete a d egyenesen B', illetve C'. A d egyenes mely helyzetében lesz a BB'+CC' összeg maximális?
3. Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c oldalú háromszög kerülete 2 egység, akkor
a2+b2+c2+2abc<2.
 

II. kategória
 

(A gimnáziumok III., IV. osztályos tanulói számára,
kivéve a speciális matematika tanterv szerint tanulókat)
 

1. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egész számhoz található olyan k pozitív egész, hogy az
S(n,k)=n+(n+1)+(n+2)+...+(n+k-1)
összeg négyzetszám.
2. Adott a síkon a T területű A1A2...An sokszög, a P pont és az α szög, melyre 0<α≤180∘. Jelölje a P pontnak az Ai körüli pozitív α szögű elforgatottját Pi. Mekkora a P1P2...Pn sokszög területe?
3. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan pozitív egész m kitevő, melyre 21990|1989m-1, (azaz 1989m-1 osztható 21990-nel). Adjuk meg a legkisebb ilyen pozitív egész kitevőt.
 

III. kategória

(A gimnáziumok speciális matematika tanterv szerint tanuló diákjai számára)
 

1. Bergengóciában minden ember (egymásra való tekintet nélkül) p valószínűséggel (0<p<1) hazudik, csak két kivétel van: az Elnök és a Rádióriporter, akik történetesen megbízhatóak. Az Elnök elhatározza, hogy ismét indul a választásokon, és ezt közli az első emberrel, aki továbbadja a hírt a következő embernek, ..., végül az n-edik ember elmondja a hírt a Rádióriporternek. (Az n ember között nem szerepel az Elnök, sem a Rádióriporter.) n=19 vagy n=20 esetén valószínűbb, hogy a Rádióriporter a valódi döntést közvetíti?
2. Az AB húrhoz az ábra szerint egy körívet rajzolunk.
 
 

A körív két rögzített pontja C és D. Az M pont a körív CD ívén mozog. Az MA és MB szakaszoknak a CD-vel való metszéspontjai S és T. Adj szerkesztési eljárást annak az M pontnak a meghatározására, amely esetében az ST szakasz a lehető leghosszabb.
3. Négyzetország úthálózata 100 ,,vízszintes'' és 100 ,,függőleges'' egyenesből álló négyzetrács. A 10000 rácspontot, amelyek az ország városai, valahogyan megszámozzuk 1-től 10000-ig. A rács egy kis négyzetének oldalhossza egy szupermérföld. Valaki 10000 nap alatt beautózza az országot a következőképpen. Az első napon elindul az 1-es városból és a legrövidebb (,,vízszintes'' és ,,függőleges'') úton eljut a 2-esbe. A második napon ugyanúgy elautózik a 2-esből a hármasba stb. Végül a 10000-ik napon visszatér a 10000-esből az 1-esbe. Maximálisan hány szupermérföldet tehetett meg, ha a városok minden lehetséges megszámozását figyelembe vesszük?