A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A1. Legyen az adott pozitív egész szám. Hányféleképpen írható föl az pozitív egészek összegeként alakban, ahol tetszőleges pozitív egész úgy, hogy Ha például , akkor négy ilyen felírás van: 4, , , . A2. Legyenek és nemnegatív valós számok. Bizonyítsuk be, hogy | | A3. Határozzuk meg a | | kifejezés minimális értékét, ha tetszőleges valós szám. A4. Legyenek az , , , , , olyan valós számok, amelyekre , , továbbá minden valós -re teljesül, hogy Bizonyítsuk be, hogy ekkor A5. Egy hosszúságú Dyck töröttvonal az origóból indul, darab és darab valamilyen sorrendben egymáshoz csatlakozó lépésből áll úgy, hogy a töröttvonalnak nincsen pontja az -tengely alatt. Egy ilyen töröttvonalban visszatérésnek nevezzük lefelé haladó lépéseknek az -tengelyre érkező egymáshoz csatlakozó maximális sorozatát. Az ábrán látható 10-hosszúságú Dyck töröttvonal például két visszatérést tartalmaz, egyikük hossza 3, a másikuké pedig 1.
Bizonyítsuk be, hogy ha páros, akkor kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető a hosszúságú és a visszatérés nélküli hosszúságú Dyck töröttvonalak között.
A6. Nemnegatív egész számok egy adott halmazára jelölje azon rendezett párok számát, amelyekre , , , továbbá . Felosztható-e a nemnegatív egész számok halmaza két részhalmazra, az -ra és a -re úgy, hogy minden -re fennálljon az egyenlőség?
B1. Léteznek-e olyan , , , polinomok, amelyekre az | | egyenlőség azonosan teljesül?
B2. Legyen az adott pozitív egész szám. Az sorozatból kiindulva készítsük el az alábbi -tagú sorozatot: Ebben a sorozatban minden egyes elem az előző sorozat két szomszédos elemének az átlaga. Ismételjük meg ezt az átlagolási eljárást a kapott sorozatra is, az így adódó -tagú sorozatra szintén, és folytassuk egészen addig, amíg a kapott ,,sorozat'' már csak egyetlen számból áll. Bizonyítsuk be, hogy ez a szám kisebb, mint .
B3. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész számra | | (A feladatban ,,lkkt'' a legkisebb közös többszöröst, az szám egész részét jelenti.)
B4. Legyen | | ahol , , , , egész számok és . Bizonyítsuk be, hogy ha racionális szám és , akkor racionális szám.
B5. Legyenek , , egymástól egyenlő távolságra lévő pontok egy középpontú egységnyi sugarú körvonalon és legyen tetszőleges pont a kör belsejében. Jelölje a távolságát az , , pontoktól rendre , és . Bizonyítsuk be, hogy van olyan , , oldalú háromszög, amelynek a területe csak az távolságtól függ.
B6. Legyen a intervallumon értelmezett folytonos valós értékű függvény. Bizonyítsuk be, hogy | |
|