Cím:	A 2003-2004. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	2004/december, 523 - 525. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   I. kategória: Szakközépiskolák Első (iskolai) forduló   1. Az $ABCD$ trapéz párhuzamos oldalai $AB$ és $CD$. Az $AB$ alap felezőpontja $M$, a $CD$ alap felezőpontja $N$, az $AD$ szár felezőpontja $P$. Határozza meg az $AMCP$ és a $BNDP$ négyszögek területének arányát!   2. Oldja meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[\text{sin}x\right]\cdot \left\{\text{sin}x\right\}=\text{sin}x}\end{array}$ egyenletet, ha $x$ valós szám! (Az $r$ valós szám esetén $\left[r\right]$ ‐ az $r$ egész része ‐ jelöli azt az egész számot, amelyre $r-1<\left[r\right]\le r$. Az $r$ valós szám esetén $\left\{r\right\}$ ‐ az $r$ törtrésze ‐ jelöli azt a számot, amelyre $\left\{r\right\}=r-\left[r\right]$.)   3. A valós számok halmazán értelmezett $f\left(x\right)$ függvényről tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=a\cdot |x+1|+b\cdot |x-1|+c\cdot |x-3|\mathrm{,}}\end{array}$ továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(-2\right)=8;f\left(2\right)=-2\text{és}f\left(5\right)=6.}\end{array}$ $a)$ Határozza meg az $f\left(x\right)$ függvényt! $b)$ Vázolja a függvény grafikonját a $\left[-2;5\right]$ intervallumban! $c)$ Adja meg a függvény legkisebb értékét, és azt, hogy ezt a legkisebb értéket a függvény hol veszi fel!   4. Felveszünk egy 2003 mm hosszúságú $AB$ szakaszt, majd felosztjuk 2003 egyenlő részre. Ezután az $AB$ szakaszra az $A$ pontjában 8 mm hosszúságú merőleges szakaszt állítunk. Ennek $C$ végpontját összekötjük $B$-vel és az $AB$ szakasz összes osztópontjával. Az így keletkezett összes háromszög közül melyek azok, amelyekben minden oldal hossza milliméterben mérve egész szám?   5. Határozza meg az összes olyan $n$ pozitív egész számot, amelyre teljesül az, hogy ha egymás után leírjuk $n^3$ és $n^4$ tízes számrendszerbeli alakját, akkor a kapott tízjegyű számban mind a tíz számjegy pontosan egyszer fordul elő!   6. Egy előadáson 50 személy vett részt. Tudjuk, hogy bármely négy résztvevő között van olyan, aki a másik három személy mindegyikével találkozott már korábban. Bizonyítsa be, hogy bármely négy résztvevő között van olyan személy, aki korábban már mindegyik résztvevővel találkozott!   Második forduló   1. Melyek azok az $n$ egész számok, amelyekre a $\begin{array}{c}{\displaystyle K=\frac{{\left(n+1\right)}^2}{n+20}}\end{array}$ kifejezés értéke is egész szám?   2. Az $ABCD$ téglalap $AB$ oldala, mint átmérő fölé írt félkör a $CD$ oldalt az $E$ és az $F$ pontokban metszi. A félkörhöz az $F$ pontban érintőt húzva, a kapott egyenes az $AD$ oldalt a $D$-hez legközelebbi hatodolópontjában metszi. Adja meg az $\frac{AB}{BC}$ arány pontos értékét!   3. Egy $4\times 4$-es táblázat minden sorába és minden oszlopába egy-egy számtani sorozat egymás utáni tagjait kell beírni, de előre be vannak írva a következő számok: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{673}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{850}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1638}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Milyen szám kerül a jobb alsó sarokba?   4. Egy háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, $c$; szögei rendre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Tudjuk, hogy $\alpha ={40}^{\circ }$, valamint a háromszög $T$ területére fennáll a következő összefüggés: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot T=a\cdot b\cdot \sqrt[]{\text{sin}{}^2\alpha +\text{sin}{}^2\beta +\text{sin}\alpha \cdot \text{sin}\beta }\mathrm{.}}\end{array}$ Mekkora a háromszög másik két szöge?   5. Bizonyítsa be, hogy minden 1-nél nagyobb, tetszőleges $x$, $y$, $z$ valós számra teljesül, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{xy}\sqrt[]{x\cdot y\cdot z^2}\cdot \text{log}{}_{xz}\sqrt[]{x\cdot y^2\cdot z}\cdot \text{log}{}_{yz}\sqrt[]{x^2\cdot y\cdot z}\ge 1.}\end{array}$ Mikor áll fenn egyenlőség?   Harmadik (döntő) forduló   1. Oldja meg a következő egyenletrendszert, ha $x$, $y$, $z$ valós számok! $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle x+yz=\mathrm{1,}}\hfill \\ {\displaystyle y+zx=\mathrm{1,}}\hfill \\ {\displaystyle z+xy=1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. Bizonyítsa be, hogy ha $x$, $y$, $z$ pozitív hegyesszögek, akkor teljesül a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\left(x-y\right)\cdot \text{cos}\left(y-z\right)\cdot \text{cos}\left(z-x\right)\ge \text{sin}2x\cdot \text{sin}2y\cdot \text{sin}2z}\end{array}$ egyenlőtlenség! Mikor áll fenn egyenlőség?   3. Jelölje az $ABC$ szabályos háromszögbe írt kört $k$, a $k$ kör egy tetszőleges pontját (a kör és az oldalak érintési pontjai kivételével) pedig $M$. Az $M$ ponton át a háromszög oldalaival párhuzamosan húzott egyenesek az $ABC$ háromszöget három háromszögre és három parallelogrammára osztják. Bizonyítsa be, hogy a kapott háromszögek területének összege megegyezik a keletkezett parallelogrammák területének összegével! 1A II. és III. kategóriák feladatait novemberi számunkban közöltük.