A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kúpszeletek érintőinek érdekes tulajdonságáról szól a következő tétel.
11. tétel. Ha egy külső pontból érintőket húzunk a kúpszelethez, akkor a -t az érintési pontokkal összekötő szakaszok a kúpszelet fókuszából vagy egyenlő, vagy pedig egymást -ra kiegészítő szögekben látszanak. Az utóbbi eset csak akkor fordul elő, ha a kúpszelet hiperbola és a két érintő annak két különböző ágához tartozik.
Bizonyítás. Használjuk a 10. tételben szereplő jelöléseket. A -n átmenő érintők szerkesztéséből következik, hogy az és pontok, illetve az és egyenesek egymásnak a -ből -re állított merőleges egyenesre vonatkozó tükörképei, és pedig egymásnak az egyenesre vonatkozó tükörképei . Ezért a négyszögek deltoidok, tehát . Így állításunk bizonyításához elég megmutatnunk, hogy vagy , vagy pedig teljesül. Parabola esetén a pontok -nek ugyanazon az oldalán helyezkednek el. Ezért , mert egymásnak -re vonatkozó tükörképei (13.. ábra).
13. ábra A többi kúpszelet esetén a pont rajta van az egyenesen. Ezért , ha nincs rajta az szakaszon, és , ha rajta van az szakaszon. Mivel és egymásnak -re vonatkozó tükörképei, azért a tétel bizonyításához már csak azt kell észrevennünk, hogy az pontok az szakaszokhoz képest csak akkor helyezkednek el különbözőképpen, ha hiperbola, és pedig annak két különböző ágához tartozó érintő. Következő állításunk hiperbolára csak némi megszorítással igaz, ezért a rövidség kedvéért a hiperbola esetét feladatnak hagyjuk.
12. következmény. Legyen egy hiperbolától különböző kúpszelet, és pedig két rögzített érintője. Ekkor tetszőleges érintőjének és közé eső szakasza fókuszából állandó szög alatt látszik.
Bizonyítás. Ismét használjuk a 10. tétel jelöléseit, legyen továbbá a tetszőleges érintő , a rajta lévő érintési pont , az pontot pedig jelölje . A 11. tétel szerint és . Vagyis | | ami viszont állandó, mert és rögzített pontok. Ha a kúpszelet vezéralakzatát a fókuszból felére kicsinyítjük, akkor a kúpszelet főalakzatát kapjuk. Ez parabola esetén egyenes, a többi esetben kör. Ellipszis és hiperbola esetén a két lehetséges vezérkörből ugyanazt a főkört kapjuk, mert akár -t kicsinyítjük felére -ből, akár -et -ből, az eredmény mindkétszer az felezőpontja köré írt sugarú kör. Ha a fókusznak valamely egyenesre való tükörképét a fókuszból felére kicsinyítjük, akkor az -ből -re állított merőleges talppontját kapjuk. Ezért a 9. következményből azonnal adódik az alábbi tétel.
13. tétel. A kúpszelet fókuszából a kúpszelet tetszőleges érintőjére bocsájtott merőleges talppontja rajta van a főalakzaton. Ellipszis esetén a főkör egyik átmérője az ellipszis nagytengelye, s a főkörből merőleges tengelyes affinitással is származtatható az ellipszis (lásd pl. [1] 43. fejezet) (14. ábra).
14. ábra Parabola esetén a főegyenes a parabola tengelyén lévő parabolapontban érinti a görbét. Ezt a pontot a parabola csúcspontjának, az itteni érintőt pedig a parabola csúcsérintőjének nevezik. Hiperbola esetén a főkör az aszimptoták szerkesztéséhez nyújt segítséget. A fókuszokból a főkörhöz húzott érintők érintési pontjai az aszimptotákon vannak.
Egyenes és kúpszelet metszéspontja Az ellipszis, parabola és hiperbola euklidészi értelemben nem szerkeszthetők meg. Azonban tetszőleges egyenessel vett metszéspontjukat meg tudjuk szerkeszteni. Ebben a fejezetben két módszert ismertetünk az fókuszú, vezéralakzatú kúpszelet és az egyenes közös pontjainak a szerkesztésére. A 6. tétel szerint feladatunk azon körök középpontjainak megszerkesztése, amelyek átmennek -en, érintik -t és merőlegesek -re. Első módszerünkben az inverziót fogjuk alkalmazni, a másodikban pedig a pont körre vonatkozó hatványának tulajdonságait használjuk fel. Az első módszer alapján a szerkesztés leírása rövid, viszont feltételezzük, hogy az olvasó ismeri az inverzió legfontosabb tulajdonságait. Ezek megtalálhatók pl. [1] 39. fejezetében. A második módszerhez csak középiskolában tanult ismeretek szükségesek, cserében viszont ennek leírása hosszadalmasabb.
A feladat megoldása inverzióval. Alkalmazzunk egy olyan inverziót, melynek pólusa . Ekkor a szerkesztendő kör inverz képe valamely egyenes lesz, mert átmegy az inverzió pólusán. Mivel érinti -t, azért érinti képét, ami a kör (hiszen póluson át nem menő kör vagy egyenes inverz képe kör). Továbbá azt is tudjuk -ről, hogy merőleges inverzére, ami az kör vagy egyenes (mert póluson átmenő egyenes inverze egyenes, póluson át nem menő egyenes inverze pedig kör) (15. ábra).
15. ábra Ezeket felhasználva -t egyszerűen megszerkeszthetjük: a kör -re merőleges érintői lesznek a lehetséges egyenesek. Vagyis adott körhöz kell vagy adott ponton ( középpontján, ha kör) átmenő, vagy adott egyenesre (-re, ha egyenes) merőleges érintőket szerkesztenünk. Az így kapott köröket visszainvertálva kapjuk a köröket, amelyek középpontjai a keresett metszéspontok. A megoldások száma 2, 1 vagy 0. Ha egyenes, akkor átmegy -en. Fókuszon átmenő egyenes két pontban metszi a kúpszeletet, kivéve a parabola tengelyével párhuzamos egyenest, amely csak egyben. Ha kör, akkor a megoldások száma attól függően 2, 0 vagy 1, hogy középpontja a körnek külső- vagy belső pontja, illetve azon rajta lévő pont.
A feladat megoldása inverzió nélkül. Mivel az ponton átmenő kör középpontja -n van, azért átmegy -nek -re vonatkozó tükörképén is. (Ha illeszkedik -re, azaz , akkor az egyenes helyett az -re -ben állított merőlegest kell tekintenünk.) Feladatunkat ezért átfogalmazhatjuk: olyan kört kell szerkesztenünk, amely átmegy két adott ponton (-en és -n) és érint egy adott kört vagy egyenest (-t). A szerkesztések leírása megtalálható Horvay Katalin és Reiman István: Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetében ([2], 1332. és 1333. feladatok), a teljesség kedvéért azonban itt is közöljük azokat. Tekintsük a feladatot megoldottnak. A -n lévő érintési pontot jelöljük -vel. Elegendő -t megszerkesztenünk, mert és ismeretében a három ponton átmenő kör szerkeszthető, annak középpontja pedig a keresett pontot adja. Felhasználunk két lemmát, amelyek szintén megtalálhatók [2]-ben (1324. és 1351. feladatok).
14. lemma. Ha a pontból egy körhöz húzott érintőszakasz , a -n átmenő tetszőleges szelő pedig -ban és -ben metszi a kört, akkor . Bizonyítás. Feltehető, hogy a szakasz belső pontja. , mert az ívhez tartozó kerületi szögek (16. ábra). A és a háromszögek tehát hasonlóak, mert ezen kívül közös a -nél lévő szögük is. Így a két háromszögben a megfelelő oldalak aránya megegyezik, , amiből adódik a bizonyítandó egyenlőség.
16. ábra A következő lemma egyúttal eljárást is ad arra, hogy és ismeretében hogyan szerkesszük meg a hosszúságú szakaszt.
15. lemma. Ha a ponton átmenő tetszőleges egyenesre -től egyik irányba a , másik irányba pedig a szakaszokat felmérjük, akkor az egyenesre -ben állított merőleges és Thalész-körének metszéspontjára . Bizonyítás. A és a háromszögek hasonlóak, mert -nél lévő szögük derékszög, továbbá , mert merőleges szárú hegyesszögek (17. ábra). Így a két háromszögben a megfelelő oldalak aránya megegyezik, , amiből keresztbe szorzással adódik a bizonyítandó egyenlőség.
17. ábra Térjünk vissza a szerkesztéshez. Ha egyenes, akkor további két alesetet különböztetünk meg. Ha párhuzamos -vel, akkor megegyezik szakaszfelező merőlegesének és -nek a metszéspontjával (18. ábra).
18. ábra Ha nem párhuzamos -vel, akkor metszéspontjukat jelöljük -val. Ekkor a 14. lemma szerint , s így a 15. lemma alapján és szakaszok ismeretében hossza megszerkeszthető. Ezután a középpontú, sugarú kör és metszéspontjai adják a lehetséges pontokat (19. ábra).
19. ábra Ha kör, akkor -nek és -nak -ben közös az érintője. Legyen ez az egyenes. Vegyünk fel -n egy tetszőleges pontot és szerkesszük meg azt az segédkört, amelyik átmegy -en, -n és -n. Ha ez érinti -t, akkor megkaptuk a keresett pontot. Ha nem érinti, akkor legyen a -vel alkotott másik metszéspontja . Ezután ismét két alesetet különböztetünk meg. Ha párhuzamos -vel, akkor megegyezik szakaszfelező merőlegesének és -nek a metszéspontjával, mert ekkor és szakaszfelező merőlegesei egybeesnek és ez az egyenes tartalmazza -nek is és -nek is a középpontját (20. ábra).
20. ábra Ha nem párhuzamos -vel, akkor metszéspontjukat jelöljük -val. Ekkor , s így a és szakaszok ismeretében hossza megszerkeszthető. Ezután a középpontú, sugarú kör és metszéspontjai adják a lehetséges pontokat (21. ábra). (A pont nem függ választásától, mindig ugyanott metszi -t. Ezt itt nem bizonyítjuk, mert a szerkesztéshez nem szükséges. Az érdeklődő olvasó megtalálhatja a bizonyítást [2] 1331. feladatában.)
21. ábra A megoldások számára ebből a szerkesztésből is 2, 1 vagy 0 adódik, hiszen a középpontú sugarú körnek és -nek 2, 1 vagy 0 közös pontja van.
Irodalom
[1] | Hajós György: Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Tankönyvkiadó (Budapest, 1979). |
[2] | Horvay Katalin és Reiman István: Geometriai feladatok gyűjteménye, I. kötet, 4. kiadás, Tankönyvkiadó (Budapest, 1976). |
A cikk első része lapunk novemberi számában jelent meg (450. oldal).A T043556 és T043758 számú OTKA pályázatok támogatásával. |