Cím: A 35. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti feladatai
Füzet: 2004/október, 428 - 432. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1
1. feladat. ,,Pingpong-ellenállás''

 

Egy síkkondenzátor két kör alakú, párhuzamos lemezből áll, mindkettő sugara R, a közöttük lévő távolság d, ahol d≪R (1.(a). ábra). A felső lemez egy állandó feszültségforráshoz csatlakozik, amelynek potenciálja V, míg az alsó lemez földelt. Az alsó lemez közepére egy vékony, kicsiny, m tömegű korongot helyezünk, melynek sugara r(≪R,d), vastagsága t(≪r), (1.(b). ábra).
 

 
1. ábra. (a): Állandó feszültségforráshoz csatlakozó síkkondenzátor vázlatos rajza. (b) A párhuzamos lemezek oldalnézete a kondenzátorba helyezett kisméretű koronggal
 

Tételezzük fel, hogy a lemezek közötti térrészben vákuum van, amit az ε0 dielektromos állandó jellemez, továbbá a lemezek és a korong tökéletes vezetőanyagból készültek, illetve mindenféle elektrosztatikus él-effektust elhanyagolhatunk. Az egész áramkör induktivitásától és a relativisztikus hatásoktól szintén eltekinthetünk. A tükörtöltés hatásokat is elhanyagolhatjuk.
(a) (1,2 pont) Határozd meg az egymástól d távolságra lévő lemezek között ható Fp elektrosztatikus erőt, mielőtt a korongot a kettő közé helyeztük, amint ezt az 1.(a). ábra mutatja.
(b) (0,8 pont) Az 1.(b). ábrán lévő kicsiny korong q töltése a következő módon adható meg a felső lemez feszültségének függvényében: q=χV. Határozd meg a χ paramétert r, d és ε0 függvényében!
(c) (0,5 pont) A síkkondenzátor lemezei a g homogén gravitációs térre merőlegesen helyezkednek el. A kezdetben nyugalomban lévő korong megemeléséhez egy bizonyos Vk küszöbérték fölé kell növelnünk az alkalmazott feszültséget. Fejezd ki Vk-t m, g, d és χ segítségével!
(d) (2,3 pont) Ha V>Vk, a korong föl-le fog mozogni a lemezek között. (Tételezzük fel, hogy a korong mindenféle billegés nélkül, kizárólag függőlegesen mozog.) A korong és a lemezek közötti ütközések részben rugalmatlanok, amit az η ütközési számmal jellemezhetünk: η≡velőttvután, ahol velőtt és vután rendre a korong sebessége közvetlenül az ütközés előtt és után. A lemezek végig rögzítettek, nem mozdulnak el. Hosszú idő után a korong ,,állandósult'' mozgást fog végezni, a korong viselkedése ismétlődő mozgáshoz tart, melyben a korong vs sebességét közvetlenül az alsó lemezzel történő ütközés után a következő módon fejezhetjük ki a V feszültséggel:
vs=αV2+β.
Fejezd ki az α és β együtthatókat m, g, χ, d és η felhasználásával! Tételezd fel, hogy az ütközésekkor a korong teljes felülete egyenletesen és egyszerre érinti a lemezeket, és a teljes töltéscsere minden ütközéskor pillanatszerűen történik.
(e) (2,2 pont) Az állandósult állapot elérése után a kondenzátor lemezein keresztülfolyó áram I időátlagát így közelíthetjük: I=γV2, ha teljesül a qV≫mgd feltétel. Fejezd ki a γ együtthatót m, χ, d és η segítségével!
(f) (3 pont) Ha az alkalmazott V feszültséget (rendkívül lassan) csökkentjük, akkor elérünk egy olyan Vc kritikus feszültséget, amely alatt az áramkörben hirtelen megszűnik az áram. Határozd meg Vc értékét, és a hozzá tartozó Ic áramot m, g, χ, d és η segítségével! Készíts vázlatos grafikont (melyben összehasonlítod Vc értékét a (c) alkérdésben tárgyalt Vk felemelkedési küszöbértékkel) az áram‐feszültség karakterisztikáról, vagyis az I‐V függvényről, miközben V először nulláról nagyjából 3Vk-ra növekszik, majd újra nullára csökken.
 
2. feladat. Felemelkedő ballon
 

Egy héliummal töltött gumiballon a levegőben magasra emelkedik, olyan régiókba, ahol a nyomás és a hőmérséklet a magasság növekedésével csökken. A következő kérdések tanulmányozásánál tételezzük fel, hogy a ballon a terheléstől függetlenül minden esetben gömbölyű marad, és hanyagoljuk el a terhelés térfogatát. Tegyük fel azt is, hogy a ballonban lévő héliumgáz hőmérséklete mindig azonos a környező levegő hőmérsékletével, és minden gázt kezeljünk ideális gázként. Az univerzális gázállandó R=8,31J/mol⋅K, és a hélium, illetve a levegő moláris tömege rendre MH=4,00⋅10-3 kg/mol, illetve MA=28,9⋅10-3 kg/mol. A nehézségi gyorsulás g=9,8m/s2.
A rész: (a) (1,5 pont) A környező levegő nyomása legyen P, hőmérséklete pedig T. A ballon ,,felületi feszültségének'' következtében a ballon belsejében a nyomás nagyobb a külső nyomásnál. A ballon n mol héliumgázt tartalmaz, és a belsejében a nyomás P+ΔP. Határozd meg a ballonra ható felhajtóerőt P és ΔP függvényében!
(b) (2 pont) Egy szép nyári napon Koreában a levegő T hőmérséklete a tengerszint feletti z magasság függvényében a T(z)=T0(1-z/z0) függvény szerint változott a 0<z<15 km tartományban, ahol z0=49 km és T0=303 K. A tengerszinten a nyomás, illetve a sűrűség értéke P0=1,01⋅105 Pa, illetve ϱ0=1,16kg/m3 volt. Ebben a magasság tartományban a nyomás a
P(z)=P0(1-z/z0)η.(2.1)
formulával adható meg. Fejezd ki az η kitevőt a z0, ϱ0, P0 és g paraméterekkel, és határozd meg numerikus értékét két értékes számjegy pontossággal. A nehézségi gyorsulást tekintsd a magasságtól független konstansnak.
B rész: Ha egy gömb alakú, nyújtatlan állapotban r0 sugarú gumiballont r(>r0) sugarúra fújunk fel, a gumi megnyúlása miatt a ballon felülete extra rugalmas energiára tesz szert. Egy egyszerű elmélet szerint állandó T hőmérsékleten ennek a rugalmas energiának az értéke
U=4πr02κRT(2λ2+1λ4-3),(2.2)
ahol a λ≡r/r0(≥1) számértéket lineáris méretnövekedési aránynak nevezzük, a κ paraméter pedig egy mol/m2 dimenziójú állandó.
(c) (2 pont) Fejezd ki ΔP-t a (2.2) egyenletben szereplő paraméterek függvényében, és ábrázold vázlatosan a ΔP nyomáskülönbséget a λ=r/r0 mennyiség függvényében.
(d) (1,5 pont) A κ konstans meghatározható a ballon felfújásához szükséges gáz mennyiségéből. A feszítetlen falú (λ=1) ballon T0=303 K hőmérsékleten és P0=1,01⋅105 Pa nyomáson n0=12,5 mol héliumot tartalmaz. Ugyanezen a T0 hőmérsékleten és P0 nyomáson a λ=1,5 méretűre felfújt ballon összesen n=3,6⋅n0=45 mol héliumot tartalmaz. Fejezd ki n, n0 és λ segítségével az a=κ/κ0 képlettel definiált úgynevezett ,,ballonparamétert'', ahol κ0≡r0P04RT0, valamint határozd meg a értékét két értékes számjegy pontossággal.
C rész: A ballont tengerszinten a (d) pontban leírt módon készítjük elő (azaz n=3,6⋅n0=45 mol hélium gázzal λ=1,5 méretűre fújjuk fel T0=303 K hőmérsékleten és P0=1atm=1,01⋅105 Pa nyomáson). A szerkezet teljes tömege (figyelembe véve a gumiballont, a bezárt gázt és minden egyéb terhet) MT=1,12 kg. Ekkor a tengerszintről elengedjük a ballont.
(e) (3 pont) Tegyük fel, hogy a ballon zf magasságig emelkedik, és ott megáll. Ezen a szinten a felhajtóerő egyensúlyt tart a nehézségi erővel. Határozd meg zf értékét, valamint ebben a magasságban a λf paramétert (lineáris méretnövekedési arányt). Válaszodat két értékes jegy pontossággal add meg. A ballon nem sodródik oldalirányban, és nem szökik el belőle gáz.
 
3. feladat. Atomi erő mikroszkóp
 

Az atomi erő mikroszkóp (Atomic probe microscope, APM) a nano-tudomány igen hatékony eszköze. Az APM érzékelő karjának elmozdulását egy fotóérzékelő detektálja, az érzékelő karról visszavert lézersugár segítségével, ahogyan a 2. ábrán látható. Az érzékelő kar csak függőleges irányban képes mozogni, és a kar z elmozdulása az idő (t) függvényében a következő differenciálegyenlettel írható le:
md2zdt2+bdzdt+kz=F,(3.1)
ahol m a kar tömege, k=mω02 az érzékelő kart jellemző rugóállandó, b egy kicsiny csillapítási állandó, melyre teljesül, hogy ω0≫(b/m)>0, és végül F a piezoelektromos meghajtó által keltett külső gerjesztő erő.
 

 
2. ábra. Az atomi erő mikroszkóp (APM) vázlatos rajza. Az ábra jobb alsó sarkában látható kinagyított rész a piezoelektromos meghajtó és az érzékelő kar közti csatolás egyszerűsített mechanikai modelljét mutatja
 

A rész
(a) (1,5 pont) Ha a gerjesztő erő F=F0sinωt alakú, akkor a (3.1) egyenlet z(t) megoldása z(t)=Asin(ωt-ϕ) alakban írható, ahol A>0 és 0≤ϕ≤π. Fejezd ki az A amplitúdót valamint a tgϕ mennyiséget az F0, m, ω, ω0 és b paraméter függvényében! Határozd meg az amplitúdót és a ϕ fázist az ω=ω0 rezonanciafrekvencián!
(b) (1 pont) A 2. ábrán szereplő lock-in erősítőben létrejön a bemeneti jelnek és a VR=VR0sinωt úgynevezett lock-in referencia jelnek a szorzata, és az erősítő kimenetén a szorzatnak csak az egyenáramú (DC) komponense jelenik meg. Tegyük föl, hogy a bemeneti jel Vi=Vi0sin(ωit-ϕi) alakú. Az itt szereplő VR0, Vi0, és ϕi mennyiségek mindegyike adott pozitív állandó. Határozd meg, hogy milyen ω(>0) frekvencia mellett kapunk nem zérus kimenő jelet! Add meg a nem zérus, egyenáramú (DC) kimenő jel nagyságát leíró formulát ezen a frekvencián!
(c) (1,5 pont) A ,,fázistoló'' egységen átjutó, eredetileg VR=VR0sinωt alakú lock-in referencia jel alakját a fázistoló egység után a V'R=VR0sin(ωt+π/2) formula írja le. A V'R feszültség hatására a piezoelektromos meghajtó az érzékelő kart F=c1V'R erővel gerjeszti. Ezután a fotoérzékelő az érzékelő kar z elmozdulását Vi=c2z alakú feszültségjellé alakítja. A formulákban szereplő c1 és c2 mennyiségek állandók. Határozd meg a nem zérus, egyenáramú (DC) kimenő jel nagyságát leíró formulát az ω=ω0 frekvencián!
(d) (2 pont) Az érzékelő kar tömegének kicsiny Δm megváltozása Δω0-lal eltolja a rezonanciafrekvenciát. Ennek következtében az eredeti, rezonanciafrekvenciához tartozó ϕ fázis is Δϕ-vel eltolódik. Határozd meg azt a Δm tömeg változást, melynek hatására Δϕ=π/1800 nagyságú fáziseltolódás jön létre! Tipikusan ilyen nagyságú a fázistolás-mérések pontossága. Az érzékelő kart jellemző fizikai paraméterek értéke a következő: m=1,0⋅10-12 kg, k=1,0 N/m és (b/m)=1,0⋅103s-1. Használd az |x|≪1 esetén érvényes (1+x)a≈1+ax és tg(π/2+x)≈-1/x közelítő formulákat!
B rész
Mostantól kezdve azt az esetet vizsgáljuk, amikor az A részben tárgyalt gerjesztő erőn kívül még az 2. ábrán látható minta is hat valamilyen erővel az érzékelő karra.
(e) (1,5 pont) Annak ismeretében, hogy a minta által kifejtett f(h) erő csak a minta felszíne és az érzékelő kar közti h távolságtól függ, meghatározható az érzékelő kar egyensúlyi helyzetének új h0 értéke. A h=h0 érték közelében az erő az f(h)≈f(h0)+c3(h-h0) alakban írható fel, ahol c3 állandó, nem függ h-tól. Fejezd ki az új ω'0 rezonanciafrekvenciát ω0, m és c3 segítségével!
(f) (2,5 pont) A mintát a mikroszkópban vízszintesen mozgatva pásztázzuk a minta felszínét. Az érzékelő kar tűje, melynek töltése Q=6e, egy q=e töltésű, a felszín alatt bizonyos mélységben csapdába került (térben lokalizált) elektron közelébe jut. A csapdázott elektron környékén pásztázva a felszínt, a rezonanciafrekvencia maximálisan észlelhető eltolódása Δω0 (=ω'0-ω0), ami jóval kisebb, mint ω0. Fejezd ki a csapdázott elektron és az érzékelő kar közötti d0 távolságot maximális frekvencia eltolódás esetén az m, q, Q, ω0, Δω0 mennyiségek és a ke Coulomb állandó segítségével! Határozd meg d0 számértékét nm-ben (1nm=1⋅10-9 m) Δω0=20s-1 frekvencia eltolódás mellett!
Az érzékelő kar fizikai paraméterei: m=1,0⋅10-12 kg és k=1,0 N/m. Az érzékelő kar tűjében, valamint a minta felületén tekintsünk el a polarizációs effektusoktól. Fizikai állandók: ke=1/4πε0=9,0⋅109N⋅m2/C2 és e=-1,6⋅10-19 C.
1A részpontszámokat azok kedvéért közöljük, akik ‐ későbbi versenyekre készülve ‐ az olimpiához hasonló feltételek mellett önállóan akarják megoldani a feladatokat. A ,,hivatalos'' megoldást és a mérési feladatot a KöMaL novemberi számában ismertetjük.
A feladatok kidolgozására 5 óra állt rendelkezésre.