Cím: A matematika és fizika totó eredménye
Füzet: 2004/február, 102 - 105. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A múlt havi számunkban közreadtuk a 2003. évi Őszi Ankét totó-kérdéseit. A helyes válasz:

X,X,1,  1,X,1,  X,1,2,  1,1,2,  1,X.  
Telitalálatos szelvény nem volt. 12 találatot ért el és könyvjutalmat kapott Jankó Zsuzsanna (Szeged, Radnóti M. Gimn. 10. évf.) és Csóka Endre egyetemi hallgató, továbbá Horváth Márton, Hubai Tamás és Paulin Dániel (mindhárman a Fazekas M. Főv. Gyak. Gimnázium 12. évf. tanulói)1. Az alábbiakban rövid útmutatást adunk a totóban szereplő feladatok megoldásához.
 
1. Melyik számot jelenti a ,,harmadfél''? 1/6 (1); ─ 1,5 (2); ─ 2,5 (X).
 
Megoldás. Harmadfél: a harmadik csak fél, tehát ez csak 2,5. (Ahogyan a másfél értéke 1,5.)
 
2. Egy kocka alakú homogén test sűrűsége 500kg/m3. Ha vízre helyezzük, úgy fog úszni, hogy két lapja vízszintes (1); ─ két éle éppen a vízfelszínre esik, de nincs vízszintes lapja (2); ─ valamilyen más helyzetet foglal el (X).
 
Megoldás. A test stabil úszási helyzetét a rendszer (a test és a víz) helyzeti energiájának minimuma határozza meg. A kocka térfogatának fele merül bele a vízbe, a tömegközéppontja tehát éppen a vízfelszínre esik. Emiatt a test helyzeti energiája ‐ ha a vízfelszín magasságát tekintjük nullszintnek ‐ a kocka térbeli állásától (oldallapjainak a vízhez viszonyított helyzetétől) függetlenül mindig nulla.
A víz helyzeti energiája ‐ ha a kocka vízbe merülő része helyén is víz lenne ‐ ugyancsak független lenne a kocka térbeli helyzetétől, így a teljes rendszer helyzeti energiája éppen a kiszorított víz energiájának (-1)-szeresével egyezik meg, vagyis a kiszorított víz tömegközéppontjának a vízfelszíntől mért d távolságával arányos. A kocka tehát olyan helyzetben úszhat stabilan, amelyben a kiszorított víz tömegközéppontja a lehető legmagasabban helyezkedik el.
Amikor a kocka 2 lapja vízszintes, akkor a kiszorított víz négyzet alapú hasáb, és d=d1=14a=0,25a (ahol a a kocka oldalélének hossza). Ennél kisebb energiájú állapot az, amikor a kockának 4 éle vízszintes, és közülük kettő a vízfelszínre esik. Ekkor a kiszorított víz egyenlő oldalú derékszögű háromszög alapú hasáb, és
d=d2=26a≈0,2357a<d1.
De még ennél is kisebb energiájú az az állapot, amelyben a kocka egyik testátlója függőleges, és a vízfelszín síkjában vett metszete szabályos hatszög. Ilyenkor
d=d3=13396a≈0,2345a<d2.
Belátható, hogy a d1-nek és a d2-nek megfelelő helyzet kis kitérítésekre instabil, míg d=d3-nál a test energiájának lokális minimuma van, ez az úszási helyzet tehát stabil.
 
3. Egy ötjegyű számot nevezzünk felbonthatatlannak, ha a szám nem áll elő két háromjegyű szám szorzataként. Legfeljebb hány egymást követő felbonthatatlan szám van? 99 (1); ─ 100 (2); ─ egyik sem (X).
 
Megoldás. Például 10001,10002,...,10099 felbonthatatlanok, hiszen valamennyien 100⋅100 és 100⋅101 közé esnek. 100 egymást követő ötjegyű szám között viszont mindig van 100-zal osztható, így az nem felbonthatatlan.
 
4. Olajjal töltött kémcsőben légbuborékok szállnak föl. Ha elektromosan feltöltött üvegrudat közelítünk hozzá, az a buborékokat taszítja (1); ─ vonzza (2); ─ nem hat rájuk (X).
 
Megoldás. Az elektromosan töltött üvegrúd polarizálja az olajat (dielektrikumot), és emiatt (a töltésének előjelétől függetlenül) vonzza azt. Kis mértékben a buborékban levő levegő is polarizálódik, emiatt a levegőre is vonzóerőt fejt ki az üvegrúd, ennek nagysága azonban az olajra ható erőhöz képest elhanyagolható. Az üvegrúd felé irányuló vízszintes (pontosabban fogalmazva: vízszintes komponenssel is rendelkező) elektromos erőtér hatása a gravitációhoz hasonló, eredményeképpen a buborékok ,,felszállnak'', vagyis eltávolodnak az üvegrúdtól, mintha az taszítaná őket.
 
5. Tudjuk, hogy (a-b)(b-c)(c-a)(a+b)(b+c)(c+a)=1999. Mennyi aa+b+bb+c+cc+a értéke? 1 (1); ─ 10199 (2); ─ 13999 (X).
 
Megoldás. Legyen x=a+b, y=b+c, z=c+a, ekkor
1999=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b)(b+c)(c+a)=(z-y)(x-z)(y-x)xyz.
Mivel a=12(x-y+z), b=12(y-z+x), c=12(z-x+y), azért
aa+b+bb+c+cc+a=x-y+z2x+y-z+x2y+z-x+y2z==12-y-z2x+12-z-x2y+12-x-y2z==32-12⋅(y-z)yz+(z-x)zx+(x-y)xyxyz==32-12⋅(z-y)(x-z)(y-x)xyz=32-12⋅1999=13999.



 
6. Egy függőlegesen tartott rézcsőben erős rúdmágnes esik úgy, hogy nem érintkezik a cső falával. Ha megmérjük a cső súlyát, az a mágnes nélküli esethez képest nagyobb (1); ─ kisebb (2); ─ ugyanakkora (X) lesz.
 
Megoldás. A mágnes az örvényáramok fékező hatása miatt (az indítást követő nagyon rövid időt leszámítva) egyenletesen mozog, impulzusa tehát nem változik. A rézcsőből és a mágnesből álló rendszer összimpulzusa időben állandó, a rájuk ható külső erők (a két testre ható nehézségi erő és a mérleg által kifejtett erő) eredője nulla kell legyen. A mérleg tehát a cső és a mágnes együttes ,,súlyát'' mutatja, még akkor is, ha a mágnes nem ér hozzá közvetlenül a rézcsőhöz.
Ugyanerre a következtetésre jutunk, ha a mágnesre ható (a súlyával megegyező nagyságú, felfelé irányuló) fékezőerő lefelé mutató ellenerejét hozzáadjuk a (mágnes nélküli) cső súlyához.
 
7. Milyen számjegy áll a tízesek helyiértékén abban a legkisebb természetes számban, amely előáll 9 egymást követő pozitív egész szám összegeként, és előáll 10 egymást követő pozitív egész szám összegeként 0 (1); ─ 2 (2); ─ 3 (X).
 
Megoldás. x+(x+1)+...+(x+8)=y+(y+1)+...+(y+9), 9x+36=10y+45, 0<9(x-1)=10y, ezért x legkisebb értéke 11, a szám 135.
 
8. Ha Földünk izotermikusnak tekinthető légkörében el tudnánk különíteni egy 1m2 alapterületű, a légkör ,,végéig'' érő függőleges oszlopot, vajon mi lenne nagyobb: a gáz belső energiája (1); ─ a gáz gravitációs helyzeti energiája (2); ─ esetleg éppen egyformák lennének (X).
 
Megoldás. Ha a kérdéses oszlop tömegét m-mel, tömegközéppontjának magasságát pedig H-val jelöljük, akkor a gáz gravitációs helyzeti energiája E1=mgH, belső energiája pedig
E2=52mRTM,
ahol M a levegő móltömege, T pedig a hőmérséklete. A kétféle energia akkor egyezne meg, ha H=5RT/(2Mg) teljesülne, pl. T=300 K-en H≈20 km lenne. A légkör sűrűsége a magassággal gyors (exponenciális) ütemben csökken (kb. 5 km-enként feleződne, ha a hőmérséklet állandó lenne). Innen sejthető (és integrálszámítással bizonyítható), hogy a kérdéses légoszlop tömegközéppontja 20 km-nél alacsonyabban van, következésképpen a belső energia nagyobb, mint a (tengerszinthez viszonyított) gravitációs helyzeti energia.
 
9. Egy szabályos tetraéder két kitérő élének távolsága 6 cm. Hány cm3 a tetraéder térfogata? 36 (1); ─ 72 (2); ─ 144 (X).
 
Megoldás. Foglaljuk be a tetraédert egy kockába úgy, hogy a tetraéder mindegyik éle egy-egy lapnak átlója. A kocka éle 6 cm, a tetraéder térfogata pedig 63-nál a négy ,,sarok'' össztérfogatával, azaz 4⋅16⋅63-nal kisebb, tehát 72 cm3.
 
10. Egy hengeres lábosban fele magasságig víz van, a víz tetején a középponttól 1/2 sugárnyi távolságban egy pingponglabda úszik. Megváltozik-e ez a távolság, és ha igen, hogyan, ha a lábost a szimmetriatengelye körül egyenletes forgásba hozzuk? A labda lecsúszik a forgásparaboloid alakú ,,lejtőn'' (1); ─ a centrifugális erő ,,kirepíti'' a labdát (2); ─ nem változik a labda és a tengely távolsága, hiszen a labda melletti víz sem csúszik le, és nem is repül ,,kifelé'' (X).
 
Megoldás. A pingponglabda a forgástengely felé fog közeledni, de ennek oka nem az, hogy a labda ,,lecsúszik'' a ferde vízfelszínen (hiszen a víz legfelső rétegei sem csúsznak le)! A jelenség a forgó koordinátarendszerben észlelhető centrifugális erő inhomogenitásával (helyfüggésével) magyarázható. (Lásd még az 1990. évi Eötvös-verseny 1. feladatának megoldását a KöMaL 1991. évi 2. számában!)
 
11. Legyenek a, b, c, d, e és f különböző egészek. Mekkora
(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-e)2+(e-f)2+(f-a)2
legkisebb értéke? 18 (1); ─ 20 (2); ─ 30 (X).
 
Megoldás. A hat különböző szám közül a legnagyobb és a legkisebb különbsége legalább 5. Ezért az |a-b|,|b-c|,...,|f-a| különbségek közül néhány egymás utáninak az összege legalább 5, és a többi különbség összege is legalább 5: a legkisebb számtól eljutva a legnagyobbig az előjeles különbségek összeadódnak, akárcsak a körbejárás másik ágán. Így, a számtani és a négyzetes közép közti egyenlőtlenség szerint a kérdéses összeg legalább 16,6˙, azaz 17. Azonban az összeg páros, ezért legalább 18. Ez meg is valósul, pl. 0, 1, 3, 5, 4, 2 esetén.
 
12. Bizonyos elképzelések szerint a Planck-állandó nem igazán állandó, hanem az idő múltával nagyon kis mértékben növekszik. Ha ez igaz, és rendkívül pontosan megmérjük (viszonylag lassú) elektronok anyaghullámainak elhajlását egy kristályrácson, majd egy év múlva ‐ minden kísérleti körülményt változatlanul tartva ‐ megismételjük a mérést, mit várhatunk: a nulladrendű és az elsőrendű elhajlási maximum szöge nagyobb lesz (1); ─ kisebb lesz (2); ─ ugyanakkora marad (X), mint amekkora a korábbi mérésben volt.
 
Megoldás. Az elektronhullámok elhajlási szögét (φ) a Planck-állandón (h) kívül a részecskék sebessége (v), az elektronok tömege (m) és a kristály rácsállandója (d) határozza meg: φ≈sinφ=h/(mvd). Látszólag φ h-val arányosan növekszik, a helyzet azonban nem ilyen egyszerű! Az atomok mérete és az atomok közötti távolságok maguk is függnek a Planck-állandótól: d∼h2/(ke2m) (ahol ke2 elemi töltések Coulomb-vonzására jellemző állandó, ,,∼'' pedig az arányosságot jelenti). Ezek szerint φ∼ke2/(hv), ami mutatja, hogy a φ szög h-val fordított arányban csökken, ‐ feltéve, hogy v változatlan. De vajon tényleg az?
A kísérleti körülmények változatlanul tartása annyit jelent, hogy az elektronok sebessége (m/s egységekben kifejezve) változatlan marad. Mivel a méter és a másodperc egységét úgy választották meg, hogy a fénysebesség (c) m/s-ban kifejezett nagysága egy bizonyos (rögzített) számérték legyen, ha az elektronok sebessége m/s-ban kifejezve változatlan, akkor c-hez viszonyított aránya sem változhat meg: v∼c, a sebesség tehát h-tól független állandó.
Mindent összevetve azt állíthatjuk, hogy az elhajlás szöge arányos a ke2/(hc) dimenziótlan mennyiséggel (az ún. finomszerkezeti állandóval), tehát h esetleges növekedtével csökkenne.
 
13. Legyen n pozitív egész. Definiáljuk az n→n' leképezést a következő módon: ha p prím, akkor p'=1, és (ab)'=a'b+b'a, ahol a és b természetes számok. Hány olyan kétjegyű szám van, amelyre n'=n? 1 (1); ─ 2 (2); ─ egyik sem (X).
 
Megoldás. Ha n=p1p2...pr, ahol pi prím, akkor n'=n(1p1+1p2+...+1pr). Így n=n' pontosan akkor teljesül, ha 1p1+1p2+...+1pr=1, aminek az a feltétele, hogy p1=p2=...=pr=p és r=p; azaz n=pp, ahol p prímszám. Az egyetlen ilyen kétjegyű szám a 27.
 
13+1. Egy R sugarú, homogén tömegeloszlású kisbolygó színaranyból van. Felszíne fölött h magasságban g1 a nehézségi gyorsulás, a felszín alatt h mélységben pedig g2. Melyik érték a nagyobb? g1>g2 (1); ─ g1<g2 (2); ─ h/R értékétől függ, és az aranymetszés arányszáma a határeset (X).
 
Megoldás. A kisbolygó felszíne fölött h=xR magasságban a nehézségi gyorsulás 1/(x+1)2 arányban csökken, a felszín alatt xR mélységben pedig a felszíni érték (1-x)-szerese. Amennyiben 1(x+1)2=1-x, azaz x2+x-1=0, a két nehézségi gyorsulás megegyezik. A fenti egyenlet (számunkra érdekes) megoldása: x=5-12≈0,618, és ez éppen az aranymetszés híres arányszáma.
1A 2. és a 12. kérdésnek az Őszi Ankéton ismertetett vázlatos megoldása hibás volt. A résztvevők elnézését kérjük.