A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: | |
Megoldás. Ismeretes, hogy pontosan akkor teljesül, ha vagy , . A és a azonosságok alkalmazásával adódik, hogy az egyenletek ekvivalensek, így | | azaz | |
2. Oldjuk meg a egyenletet a valós számok halmazán, ahol valós paraméter.
Megoldás. Tegyük fel, hogy van megoldás. Ekkor , amiből , azaz, ha van megoldás, akkor a megoldás. Ez akkor megoldás, ha kielégíti az egyenletet, azaz | | Ha , akkor , , tehát nem megoldás; ha , akkor , tehát minden ilyen -ra megoldás; ha , akkor , , tehát nem megoldás. Az egyenletnek esetén van megoldása és a megoldás .
3. Az derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság . Az , illetve háromszögekbe írható kör sugara , illetve . Számítsuk ki az háromszögbe írható kör sugarát.
Megoldás. Az , a és az derékszögű háromszögek hasonlók, így a megfelelő szakaszok aránya egyenlő, így van olyan arányossági tényező, hogy , és , ahol az háromszögbe írható kör sugara. A Pitagorasz-tétel alkalmazásával | | Az háromszög beírható körének sugara 5. (Ilyen háromszög létezik, , , .)
4. Az háromszög , illetve csúcspontján áthaladó súlyvonal egyenlete , illetve . A háromszög egyik csúcspontja . Számítsuk ki a másik két csúcspont koordinátáit.
Megoldás. Mivel a pont nincs rajta a megadott súlyvonalakon (nem elégíti ki az egyenletüket), azért . A két súlyvonal metszéspontja a háromszög súlypontja: . Legyen a oldal felezőpontja . Mivel és , azért | | tehát . A egyenletű súlyvonal egy tetszőleges pontja , , , a egyenletű súlyvonal egy tetszőleges pontja , , . Mivel a oldal felezőpontja, azért és , ahonnan . Így és . (A feladat természetesen más módokon is megoldható.)
5. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: | |
Megoldás. Legyen , . Ekkor , ahonnan vagy , azaz vagy és . Az első egyenletből , és ez valóban megoldás. A második egyenletből , , ahonnan , . Az megoldás, az nem. Legyen , . Azonos átalakításokkal és rendezéssel , vagy . Így vagy , azaz vagy , ; (), . Az egyenlet megoldása és . A triviális azonosságból . Ezt alkalmazva a egyenlethez jutunk. Ha , akkor , így nincs megoldás, csak olyan lehet megoldás, amelyre . Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát -szel. Ekkor a egyenletet kapjuk, ahonnan vagy , azaz vagy vagy vagy . A megoldások: | |
6. Mely egész számokra lesz a | | kifejezés értéke egész szám, ha tetszőleges egész számot jelenthet?
Megoldás. A törtkifejezés számlálóját és nevezőjét alakítsuk szorzattá: | | ahol és nem lehet 3 többszöröse (, , .) A kifejezés értéke akkor egész, ha osztója 6-nak és , . Ha , vagy , akkor , vagy és ezek a megoldások. Ha értéke 1, 3, , 6 vagy , akkor vagy 3-nak többszöröse, így ilyen nem felel meg a feltételeknek. esetén a kifejezés értéke 3, esetén , míg esetén .
7. Az egyenlet valós gyökeinek négyzetösszege a valós paraméter mely értékeinél a legkisebb, illetve a legnagyobb? Mennyi ez a legkisebb, illetve legnagyobb érték?
Megoldás. Az egyenletnek akkor valósak a gyökei, ha diszkriminánsa nem negatív: | | , ha , , . Most | | Az függvény a értékekre értelmezett és . Mivel , , így A függvény legkisebb értéke , amit a helyen vesz fel, a legnagyobb értéke 112,5, amit a helyen vesz fel. (Az függvény az adódó intervallumon szigorúan monoton növekvő.)
8. Az háromszög oldalán levő , a oldalán levő pontokra , illetve . Az és szakaszok metszéspontja . Hányadrésze az háromszög területének az , illetve a háromszög területe? Milyen arányban osztja a pont az , illetve a szakaszt?
Megoldás. Kössük össze a pontot -vel. Jelölje az háromszög, a háromszög, a háromszög, pedig az háromszög területét. A feltételből következik, hogy a háromszög területe , a háromszög területe , valamint | | Így | |
| | a) | a terület az háromszög területének része, a terület az háromszög területének része. Adódik, hogy . | | b) |
|