Cím:	A 2003-2004. évi Országos Középiskolai Matematika Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	2004/november, 459 - 461. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   II. kategória: Általános matematika tantervű gimnáziumok   Első (iskolai) forduló   1. A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?   2. Határozzuk meg azokat a valós számokat, amelyek kielégítik a következő egyenletrendszert: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{lg}\left(x-y\right)+\text{lg}2=\frac{1}{2}\left(\text{lg}x-\text{lg}y\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{lg}\left(x+y\right)-\text{lg}3=\frac{1}{2}\left(\text{lg}y-\text{lg}x\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   3. Az $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_{80}$ nyolcvantagú sorozatban a tagok pozitívak, az első és utolsó tagon kívül minden tag egyenlő két szomszédjának a szorzatával. Az első 40 tag szorzata 8, ugyanennyi mind a 80 tag szorzata is. Írjuk fel a sorozat első 8 tagját.   4. Kivágtuk papírból a $72\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ területű $ABCD$ téglalapot, majd összehajtottuk úgy, hogy a $C$ csúcs éppen az $A$ csúcsot fedje. Az összehajtott papírlap pontosan egy olyan ötszög alakját veszi fel, amelynek a területe a téglalap területének a 68,75%-a. Mekkorák az $ABCD$ téglalap oldalai?   5. Az $ABCD$ paralelogramma $AB$ oldalán úgy jelöljük ki az $X$ és a $BC$ oldalán az $Y$ pontot, hogy $AX=CY$ teljesüljön; az $AY$ és $CX$ egyenesek metszéspontját jelölje $P$. Bizonyítsuk be, hogy a $DP$ egyenes felezi a paralelogramma $D$-nél levő szögét.   Második forduló   1. Jelentsen $n$ 1-nél nagyobb egész számot. Képezzük a következő két kifejezést: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A}& {\displaystyle =\frac{\sqrt[]{n+1}}{n}+\frac{\sqrt[]{n+4}}{n+3}+\frac{\sqrt[]{n+7}}{n+6}+\frac{\sqrt[]{n+10}}{n+9}+\frac{\sqrt[]{n+13}}{n+12}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle B}& {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt[]{n-1}}+\frac{1}{\sqrt[]{n+2}}+\frac{1}{\sqrt[]{n+5}}+\frac{1}{\sqrt[]{n+8}}+\frac{1}{\sqrt[]{n+11}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Döntsük el, hogy $n$ értékétől függően az $A<B$, $A=B$, $A>B$ kapcsolatok közül melyik állhat fenn.   2. Az $ABC$ háromszögben $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$; a beírt kör sugara $r$, a köré írt köré $R$. Az $A$ csúcsnál levő szög: $\alpha \ge {90}^{\circ }$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{r}{R}\le \frac{a\text{sin}\alpha }{a+b+c}\mathrm{.}}\end{array}$   3. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan $p$ valós paraméter, amelyre az $x^3+2p{x}^2+2p^{2}x+p=0$ egyenletnek három különböző valós gyöke van.   4. Az $ABCD$ húrnégyszögben $AB=2AD$ és $BC=2CD$; ismert továbbá az $A$-nál levő $\alpha$ szög mértéke és az $AC$ átló $d$ hossza. Fejezzük ki a négyszög területét $\alpha$-val és $d$-vel.   Harmadik (döntő) forduló   1. A $P$ pont a hegyesszögű $ABC$ háromszög $AB$ oldalán mozog. A $P$-n át $AC$-vel húzott párhuzamos a $BC$ oldalt az $X$ pontban, a $P$-n át $BC$-vel húzott párhuzamos pedig $AC$-t az $Y$ pontban metszi. Adjunk eljárást olyan $P$ pont szerkesztésére, amelyhez tartozó $XY$ szakasz a lehető legrövidebb. Bizonyítsuk be, hogy a legrövidebb $XY$ szakasz merőleges a $C$ csúcsból induló súlyvonalra.   2. Egy háromszög oldalhosszai különböző egész számok; a háromszöghöz található olyan egyenes, amely átmegy a legnagyobb oldal valamelyik harmadoló pontján és felezi a háromszög területét és kerületét is. Határozzuk meg az oldalhoszakat úgy, hogy azok szorzata a lehető legkisebb legyen.   3. Legyen $H$ a 2004-nél nem nagyobb pozitív egészek halmaza: $H=\left\{\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,2004}\right\}$. Jelölje $D$ a $H$ halmaz olyan részhalmazainak a számát, amelyekben az elemek összegét 32-vel osztva 7-et kapunk maradékul, és jelölje $S$ a $H$ halmaz olyan részhalmazainak a számát, amelyekben az elemek összegét 16-tal osztva 14-et kapunk maradékul. Igazoljuk, hogy $S=2D$.   III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok   Első (iskolai) forduló   1. Legyen $a$, $b$ pozitív valós, $n$ pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{lg}\left(a^n\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\text{lg}\left(a^{n-1}b\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\text{lg}\left(a^{n-2}{b}^2\right)+\text{...}+\text{lg}\left(b^n\right)=\text{lg}\left({\left(ab\right)}^{n{2}^{n-1}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   2. Álljon a $H$ halmaz véges sok olyan természetes számból, amelyeknek nincs 3-nál nagyobb prímosztója. Mutassuk meg, hogy a $H$-beli számok reciprokainak az összege 3-nál kisebb.   3. Tekintsük egy kör három pontja által meghatározott három diszjunkt körívet. Mindegyik ív felezőpontja körül megrajzoljuk a végpontjain áthaladó kört. Bizonyítsuk be, hogy a kapott három kör egy ponton halad át.   4. Egy földszintes elvarázsolt kastély négyzet alakú, és $2003\times 2003$ egyforma, négyzet alakú szobára oszlik. Oldalszomszédos szobák között ajtók lehetnek. A kapubejárat az északnyugati sarokszobába vezet. A kastélyba belépve bolyongtunk egy darabig, és amikor először visszaértünk az északnyugati sarokszobába, akkor kimentünk a kastélyból. Kiderült, hogy utunk során a délkeleti (és az északnyugati) sarokszoba kivételével mindegyik szobába pontosan százszor léptünk be. Hányszor léptünk be a délkeleti sarokszobába?   5. Legyenek $a_0\mathrm{,}{a}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n\mathrm{,}{a}_{n+1}$ valós számok úgy, hogy $a_0=a_{n+1}=0$. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $k$ szám, $0\le k\le n$, hogy $\left(i\right)$ minden $i=\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,}n-k+1$-re $a_{k+1}+\text{...}+a_{k+i}\ge 0$, és $\left(ii\right)$ minden $j=\mathrm{0,}\text{...}\mathrm{,}k$-ra $a_j+\text{...}+a_k\le 0$.   Második (döntő) forduló   1. Egy háromszög mindhárom oldala legfeljebb $\sqrt[]{2}$ hosszúságú. Bizonyítsuk be, hogy belefoglalható egy egységnyi élű kockába.   2. Jelölje $p\left(k\right)$ a $k$ természetes szám legnagyobb páratlan osztóját. Bizonyítsuk be, hogy minden $n\ge 1$-re $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{3}n<\sum _{k=1}^n\frac{p\left(k\right)}{k}<\frac{2}{3}\left(n+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$   3. Bizonyítsuk be, hogy a $c$ és $d$ egész számokhoz akkor és csak akkor létezik végtelen sok különböző $x_n$, $y_n$ ($n=\mathrm{1,2,}\text{...}$) egész számpár, amelyre $x_n$ osztója $c{y}_n+d$-nek és $y_n$ osztója $c{x}_n+d$-nek, ha $c$ osztója $d$-nek. ($c$, $d$, $x_n$ és $y_n$ nem feltétlenül pozitív számok.) 1A 2003‐2004. évi Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny feladatait és a versenyek helyezetteinek névsorát következő számunkban ismertetjük