Cím: B. 3667. ‐ a javító tapasztalatai
Szerző(k):  Tábor Áron 
Füzet: 2004/március, 161 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat két részből állt: meg kellett mondani, hogy milyen (α;β) párok jók (és ezekre konstrukciót adni), továbbá meg kellett mutatni, hogy csak ezek jók (azaz másféle számpárokra nincs megfelelő szétosztás). A feladat 4 pontot ért, 2‐2 pontot lehetett kapni ezen részfeladatokért. Nézzük meg jobban ezt a két részt:
1. Annak igazolása, hogy csak az olyan különböző számokból álló párok jók, ahol a nagyobbik a kisebbik többszöröse: a legkönnyebben azok tudták elintézni a kérdést, akik az első megoldás megoldójához hasonlóan rájöttek, hogy az 1 szám elhelyezését kell vizsgálni. Lényegében ilyesmi történik a II. megoldásban is, csak ott 1 helyett egy másik olyan szám elhelyezését vizsgáljuk, amely az αβ szorzattal relatív prím.
Ez a rész egy komoly hibalehetőséget is rejt: többen azért kaptak 3 pontot, mert csak azt hozták ki, hogy α osztója β-nak vagy megfordítva, arról viszont megfeledkeztek, hogy a két számnak különbözőnek kell lennie. Ha jobban odafigyelnek a második részben, mit is használnak valójában, akkor legkésőbb itt kiderülhetett volna, hogy a két szám nem lehet egyenlő, a hányadosuknak nem csak egésznek, hanem 1-nél nagyobbnak is kell lennie. Érdemes tehát odafigyelni, hogy ha egy megoldásban egy paraméter a főszereplő (mint most az αβ hányados, illetve a reciproka), akkor gondosan meg kell vizsgálni a paraméter értékkészletét, különös tekintettel a speciális értékekre, amikor a paraméter nem úgy működik, mint az általános esetben.
2. Konstrukció. A II. megoldás során olyan konstrukciót adtunk, ahol sorra ,,bepakoltuk'' a számokat az egyik vagy a másik halmazba. Maga a felbontás éppen az lesz, amit az I. megoldás szerzője talált, a két konstrukció lényegében azonos. A konkrét elrendezés megadása persze elegánsabbnak tűnhet, a II. megoldás viszont többet árul el arról, hogyan lehet erre rájönni, illetve arról, hogy lényegében miért csak ez az egy konstrukció lehetséges.
Voltak, akik olyan konstrukcióval próbálkoztak, hogy ‐ az (1;β) esetben ‐ a β-val osztható számokat rakták az A, a többi számot pedig a B halmazba. Ekkor azonban β2-hez nem lenne megfelelő B-beli b elem úgy, hogy β2=βb. Közelebb jutott a valódi konstrukcióhoz az, aki β minden páros kitevőjű hatványát az egyik halmazba tette (ezért 1 pont járt ebből a feladatrészből), ám a páros kitevőjű hatványok β-val nem osztható többszöröseiről elfeledkezett. Az itt elkövetett hibákat még egyszerűbb kiszűrni: ehhez csak lelkiismeretesen kell ellenőrizni, hogy a javasolt konstrukcióra teljesülnek-e a feltételek.