A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Gnädig Péter, Vankó Péter 1. feladat. Inga, melynek felső végét is egy súly húzhatja
Mivel a fonal hossza állandó, a megfelelő változási sebességek közötti kapcsolat: .
A pont sugarú körpályán mozog szögsebességgel, a sebessége -hoz viszonyítva , ami alakba is írható.
A pont -hoz viszonyított sebessége Az első tag az sugarú, szögsebességű körmozgás kerületi sebessége, a második tag pedig a fonálhossz változását veszi figyelembe.
A pont -hoz viszonyított (tehát az inerciarendszerben mérhető) sebessége Ez tisztán érintő irányú, összhangban azzal a ténnyel, hogy az pontbeli fonaldarab pillanatnyi sebessége az inerciarendszerben mérve nulla. (Maga az pont nem egy bizonyos anyagi pontot, hanem a fonal pillanatról pillanatra változó darabkáját jelöli. Ehhez a mozgó ponthoz képest a pont fonál irányú sebességgel is rendelkezik, ez a fiktív mozgás azonban az inerciarendszerből szemlélve már eltűnik.)
A pontban levő részecske gyorsulásának irányú (tehát fonál irányú) komponense a centripetális gyorsulás képletének megfelelően
A pontban levő test gravitációs helyzeti energiája | | (A helyzeti energiát a test indítási magasságában választottuk nullának.)
A pálya legalacsonyabb pontja -nek felel meg (itt válik a sebesség függőleges komponense nullává). Ebben a pontban a test helyzeti energiája minimális: | | Alkalmazva a mechanikai energiamegmaradás tételét: ahonnan
A test mozgási energiája egy tetszőleges szöggel jellemzett helyzetben (az energiamegmaradás tétele szerint) | | ahonnan | | (2) | Jelöljük -val a fonalat feszítő erőt. A fonál irányú mozgásegyenlet (1) felhasználásával ahonnan (2) segítségével kifejezhető a fonálerő: | | A fonal meglazulásának (-nak) megfelelő szögre fennáll amit megadott értékének behelyettesítésével alakban is felírhatunk. Ennek az egyenletnek ránézésre megadható egy gyöke: . Ha valaki nem veszi észre ezt a megoldást, numerikusan (zsebszámológép segítségével) is megkaphatja a (4) trigonometrikus egyenletet gyökét: radián. Ellenőrizhető, hogy a tartományban , tehát a fonal korábban nem lazul meg. A fonal legrövidebb, de még nem laza helyzetében | | a test sebességének nagysága pedig ekkor (4) szerint | |
A mozgás további részében a test kezdősebességű ferde hajítást végez. A pálya legmagasabb pontjában a sebessége | | lesz, és a pontig a vízszintes elmozdulása | |
Meg kell még vizsgálnunk, hogy a pont elérése előtt nem ütközik-e neki a test a rúdnak. A helyzetnek megfelelő pontban a test koordinátái:
Látható, hogy , így a test valóban eléri a pálya legmagasabb pontját.
A fonál súrlódásmentes csúszása során a és a tömegű testből álló rendszer teljes mechanikai energiája állandó marad. Ha a tömegű test a mozgása során -vel mélyebbre kerül, a helyzeti energiája értékkel csökken, ugyanennyivel nő tehát a tömegű test helyzeti és mozgási energiájának összege, és ez az összeg a fonál megtapadása után is változatlan marad. Ha mellett elhanyagolható, akkor a tömegű test mozgását a továbbiakban rögzített pont körüli ingamozgásnak tekinthetjük. A fonál meglazulása szempontjából a legkényesebb helyzet a pálya legmagasabb pontja. Itt a test magasan van a rúd felett, sebességét pedig az egyenlet határozza meg. A fonál akkor nem lazul meg ebben a helyzetben, ha a gravitációs erő kisebb, mint a körmozgáshoz szükséges centripetális erő: ami a munkatételből adódó sebesség kiküszöbölésével alakra hozható. Innen
Megjegyzések. 1. A arány ‐ a feladat egyszerűsítő feltevéseinek teljesülése esetén ‐ egyértelműen meghatározza a hányadost, igaz, ehhez egy bonyolult differenciálegyenletet kellene megoldanunk. A fenti egyenlőtlenség tehát tulajdonképpen csak a tömegek arányára jelent megszorítást. 2. A súrlódásmentes csúszás és nagyon nagy tapadási súrlódás feltételezése nyilván távol áll a realitástól. A leírt jelenséghez hasonló azonban mégis megvalósítható. Ha egy vékony, sima rúddal és jól csúszó, kellően hajlékony fonállal (például horgászdamillal), és megfelelően választott nehezékekkel (pl. acélcsavarokkal) végezzük el a kísérletet, a mozgás első szakasza jó közelítéssel súrlódásmentesnek tekinthető. Igaz ugyan, hogy a fonal a megtapadása után vélhetően újra megcsúszik a hengeren, de a fonál fokozatos feltekeredése miatt (kötélsúrlódás) előbb-utóbb megállítja a csúszást, éppen úgy, mintha a tapadó súrlódás nagyon nagy lenne. Egyszerű eszközökkel kísérletileg is jól vizsgálható, hogy a kérdéses furcsa mozgás valóban létrejöhet, a tömegű test többször is átfordulhat a rúd felett, és a mozgás akár a fonal teljes feltekeredéséig is tarthat.
2. feladat. Piezoelektromos kristályrezonátor elektromos váltófeszültséggel A rúd bal oldali részének deformációja (relatív hosszváltozása) a nyomás tehát a bal oldali felületnél (Kihasználtuk, hogy a lökéshullám terjedési sebessége .)
Ha a rúd (helyről helyre és pillanatról pillanatra változó) elmozdulása akkor a sebesség (deriválással, vagy a forgómozgással való analógia kihasználásával) a deformáció (az előző alkérdés eredményének felhasználásával, vagy közvetlenül az elmozdulásfüggvény szerinti deriválásával) | | a nyomás pedig | |
A hasáb közepe nem tud elmozdulni, így , emiatt . Másrészt maximális értéke 1, ebből következik.
A hasáb két végénél a nyomás (és ezzel együtt a deformáció is) minden pillanatban nulla. Ez akkor teljesül, ha a hasáb szélei (a nyitott végű csövekben kialakuló hanghullámokhoz hasonlóan) az állóhullám duzzadóhelyei. Eszerint a legnagyobb lehetséges hullámhossz a hasáb hosszának kétszerese, a megfelelő frekvencia pedig A második legkisebb frekvencia (ami annak felel meg, hogy a hasáb hossza a félhullámhossz háromszorosa):
A piezoelektromos hatást leíró egyik egyenletből kifejezhetjük a mechanikai feszültséget: majd ezt a másik egyenletbe helyettesítve az elektromos töltéssűrűségre adódik. Az elektromos térerősséget a megadott elektromos feszültségből számíthatjuk: | | (7) | Mivel időfüggése alakú, feltehetjük, hogy a hasáb deformációja is így változik időben, vagyis
Helyettesítsük (7)-et és (9)-et az (5) egyenletbe, és használjuk ki, hogy a hasáb széleinél (pl. -nál) a mechanikai feszültség nulla. Innen a rezgés amplitúdójára adódik, (6)-ból pedig leolvashatjuk, hogy a kérdéses együtthatók: | |
Az előző pontban kiszámított felületi töltéssűrűséget szerint integrálva megkapjuk a hasáb egyik kontaktusán levő teljes töltést: | | ahol a hasáb (mint széles, hosszú és vastagságú síkkondenzátor) alacsony frekvenciákon () érvényes kapacitása, és az ún. elektromechanikus csatolási állandó négyzete.
3.A feladat. Neutrínótömeg és neutronbomlás
Jelöljük az egyes részecskék (relativisztikus) energiáját -vel, impulzusvektorát pedig -val, és mindegyiket lássuk el a részecske típusára utaló (p, n, e, illetve az antineutrínót ) indexszel! Használjunk olyan egységrendszert, amelyben a fénysebesség egységnyi (ebben a tömeget, az energiát és az impulzust egyaránt MeV-ban mérhetjük.) A bomlási folyamat során az energiák összege és az impulzusok összege változatlan marad (ezek megmaradó mennyiségek):
Az egyes részecskék energiája és impulzusa összefügg egymással: | | (3) | amint az a megfelelő sebességgel felírt formulákból könnyen leolvasható. Képzeljük el, hogy a vizsgálandó bomlási folyamat két lépésben megy végbe: a neutron először elbomlik egy elektronra és egy jelű részecskére, majd az részecske elbomlik protonra és antineutrínóra: (A megmaradási törvények szempontjából lényegtelen, hogy a folyamat ténylegesen így zajlik-e le, vagy pedig egyszerre, egyetlen pillanatban történik a neutron bomlása; a feladatban szereplő kérdésre azonban könnyebb választ adni, ha lépcsőzetesnek gondoljuk a bomlást.) Írjuk fel a bomlás első részére a megmaradási törvényeket abban a koordináta-rendszerben, amelyben a neutron áll (azaz ahol és ). Az impulzusmegmaradás törvénye miatt az elektron és az részecske impulzusa ugyanakkora nagyságú (de ellentétes irányú), az energiamegmaradást tehát így fogalmazhatjuk meg: ahol | | (6) | Fejezzük ki (5)-ből -t és helyettesítsük be (6)-ba, majd a kapott összefüggésből határozzuk meg az elektron energiáját. Az eredmény: Látható, hogy a bomlás során keletkező elektronnak annál nagyobb lesz az energiája, minél kisebb a bomlás másik termékének (az részecskének) a tömege. Mekkora lehet legkisebb értéke? Erre a kérdésre legkönnyebben az részecske nyugalmi rendszerében kaphatjuk meg a választ. Mivel egy protonra és egy antineutrínóra bomlik, fennáll, hogy | | (8) | (A vessző arra utal, hogy ezeket a mennyiségeket nem a laboratóriumi koordináta-rendszerben számítottuk ki, hanem az részecske nyugalmi rendszerében. A (8) egyenlőtlenség akkor válik egyenlőséggé, amikor a proton és az antineutrínó egymáshoz képest nem mozog, tehát a laboratóriumi rendszerből nézve a sebességük megegyezik. Ebben a határesetben (7) alapján | | amelynek numerikus értéke . Az antineutrínó (és vele egyezően a proton) sebessége az részecske (labor rendszerbeli) sebességével egyezik meg, ami így adható meg: | | ahol most is . Numerikusan (fénysebességnyi egységekben mérve) .
3.B feladat. Lebegtetés fénnyel
A függőlegesen felfelé haladó fénysugarak (fotonok) ‐ amikor az üvegen áthaladnak ‐ irányt változtatnak, és emiatt a lendületük (impulzusuk) függőleges komponense lecsökken. Az egységnyi idő alatt ,,leadott impulzus'' a félgömbre ható fény-nyomóerővel egyenlő, és ha ez az erő éppen egyenlő az üveg súlyával, akkor a test lebeghet. Kövessük végig mindezt számítással is!
Tekintsük a lézerfény-nyaláb azon részét, amelynek az optikai tengelytől mért távolsága és közé esik (ahol ). Ebbe a tartományba a lézer teljes teljesítményének csak egy kis hányada, a területek arányának megfelelően érkezik, vagyis a kérdéses tartományba egységnyi idő alatt számú (egyenként energiával rendelkező) foton érkezik. (Itt a lézerfény frekvenciája, pedig a Planck-állandó.) A fénysugarak irányváltozása szempontjából célszerű az üveg félgömb középső (az optikai tengelyhez közeli) tartományát gondolatban két részre bontani: egy planparalel lemezre (amely a rá merőlegesen eső fénysugarakat nem töri meg) és egy síkdomború vékony lencsére, amelynek a fókusztávolsága. Ez utóbbi szöggel téríti el a fotonokat, azok kezdeti impulzusa tehát | | értékkel lecsökken ( a fénysebesség vákuumban). A teljes impulzusváltozás az egyes fotonok impulzusváltozásának összege: | | A legutolsó kifejezésben szereplő összeg a felosztás finomításával ( egyre kisebbé tételével) egy integrálba megy át: így az egyensúly feltétele ahonnan a kérdéses lézerteljesítmény: A feladatok szövegét a KöMaL októberi számában közöltük. A kísérleti fordulóról ‐ helyhiány miatt ‐ csak a következő számunkban tudunk beszámolni. |