Cím:	Kunfalvi Rezső Emlékverseny
Füzet:	2003/szeptember, 376 - 377. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első forduló Budapest, 2003. május 5. Elméleti feladatok   1. feladat. Gázrakéta. Az űrben ‐ minden égitesttől távol ‐ lebeg egy nagyméretű, gömb alakú űrszonda. Fala igen vékony, de erős, és jó hőszigetelő. A szondában normál állapotú levegő van ($p_0\approx {10}^5$ Pa, ${\varrho }_0\approx 1\mathrm{,}3$ kg/m${}^3$). Az űrszonda falának tömege sokkal kisebb, mint a szondában levő összes levegő tömege. A szonda falán egy kicsiny nyílás (fúvóka) található, melyen keresztül a levegő irányítottan, a falra merőlegesen eltávozhat a világűrbe. (A nyílás mérete sokkal nagyobb, mint a gázmolekulák szabad úthossza, emiatt a kiáramló gáz folyadékként viselkedik.) $a)$ Határozzuk meg a kiáramló gáz sebességét (az űrszondához viszonyítva) a gáz sűrűségének és a nyomásának függvényében! (A levegő belső súrlódása elhanyagolható.) (1 pont) $b)$ Adjuk meg a levegő nyomásának változását a levegő sűrűségének függvényében! (2 pont) $c)$ Adjuk meg az űrszondából egységnyi idő alatt távozó gáz tömegét a levegő sűrűségének függvényében! (1 pont) $d)$ Adjuk meg a levegő sűrűségének időegységenkénti változását a levegő pillanatnyi sűrűségének függvényében! (1 pont) $e)$ Írjuk le a szonda mozgását abban az inerciarendszerben, amelyben kezdetben nyugalomban volt! Adjuk meg, hogy mekkora a szonda gyorsulása, ha a levegő pillanatnyi sűrűsége $\varrho$. (2 pont) $f)$ Fejezzük ki a szonda sebességének kicsiny megváltozását a levegő sűrűségének megváltozásával és a pillanatnyi sűrűséggel! (1 pont) $g)$ Adjuk meg numerikusan, hogy mekkora a szonda végsebessége akkor, amikor már az összes levegő eltávozott belőle! (2 pont) Felhasználható matematikai összefüggés: Az $y\left(x\right)=1/x^n$ ($n\ne 1$) függvénynek az $a\le x\le b$ szakaszhoz tartozó görbe alatti területe $T=\frac{1}{n-1}\left(\frac{1}{a^{n-1}}-\frac{1}{b^{n-1}}\right)$.   A harmadik feladat két, egymástól független részből állt, helyhiány miatt csak az egyiket ismertetjük.   3/A. feladat. Ütköző korongok. Egy jégpályán $R$ sugarú félkör mentén egymástól egyenlő távolságban elhelyezünk $N$ darab ($N\gg 1$) egyforma fekete jégkorongot. A korongok össztömege $M$. Egy $m$ tömegű piros korongot balról, érintő irányban nekilövünk az álló korongsornak (lásd az ábrát), és olyan ügyesen tesszük ezt, hogy a fekete korongokkal való rugalmas ütközések után a piros korong pontosan bal felé fog mozogni.       Feltételezhetjük, hogy az ütközések tökéletesen rugalmasak, a korongok súrlódásmentesen csúsznak, és az ütközések során nem kezdenek el forogni. A korongok mérete sokkal kisebb, mint a közöttük levő kezdeti távolság. $a)$ Legalább mekkora kell legyen a $M/m$ tömegarány, hogy az ütközések a leírt módon végbemehessenek? (2 pont) $b)$ Eredeti sebességének hány százalékára csökken a piros korong sebessége, ha a tömegarány éppen az előző alkérdésben szereplő határesetnek megfelelő? (3 pont) Hasznos matematikai összefüggés: $n\gg 1$ esetén ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\approx e\approx 2\mathrm{,}718$.