Cím: Felvételi előkészítő feladatok
Szerző(k):  Scharnitzky Viktor 
Füzet: 2003/szeptemberi melléklet, 36 - 37. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Hány (x;y) számpár (x és y egész számok) elégíti ki az |x|+|y|≤n (n természetes szám) egyenlőtlenséget? Hány számpár ez n=1000 esetén?

 
2. Írjuk fel azt a másodfokú egész együtthatójú egyenletet, amelynek egyik gyöke 7+523.
 
3. Mutassuk meg, hogy három egymás után következő páros szám között mindig van olyan, amelyik 2 magasabb hatványával osztható, mint a másik kettő.
 
4. Mutassuk meg, hogy ha az a1,a2,...,an számtani sorozat minden eleme pozitív, akkor
1a1+a2+1a2+a3+...+1an-1+an=n-1a1+an.

 
5. Milyen nagy lehet a 10-es számrendszerben megadott ababab¯ pozitív egész szám legnagyobb prímosztója?
 
6. Hány olyan egész számokból álló (x;y) számpár van, amelyre igaz, hogy logx(5xy+24)=1+logxy?
 
7. Hány 2-nél kisebb pozitív eleme van az an=-3+log2(n+4) sorozatnak?
 
8. Mely x esetén lesz minimális a x2+9+x2-16x+73 kifejezés értéke?
 
9. Határozzuk meg az A, B, C értékeket, majd rakjuk nagyság szerint növekvő sorrendbe.
A=(sin15∘+cos15∘)200231001,B=log7+43197+563,C=cos(1⋅9∘)+cos(2⋅9∘)+cos(3⋅9∘)+...+cos(19⋅9∘).

 
10. Egy iskolából összesen n tanuló és tanár indult egy autóbuszos kirándulásra. Az eredetileg megrendelt autóbuszok helyett eggyel kevesebb jött, ezért mindegyik autóbuszra 5-tel többen szálltak fel. Hány autóbuszt rendeltek és hányan indultak el kirándulni, ha 300≤n≤400?
 
11. Az x és y pozitív számok számtani közepe egy derékszögű háromszög befogóinak összege, mértani közepük az átfogó. Fejezzük ki x-et és y-t a befogók segítségével.
 
12. Az AB átfogójú derékszögű háromszög befogói 5 és 12 egység hosszúak. Rajzoljunk a befogóira kifelé négyzeteket, az ACEG és CBKH négyzeteket (G az A, K a B csúccsal szomszédos). Jelölje F a GK szakasz, M pedig az AB átfogó felezőpontját. Határozzuk meg az MF szakasz hosszát.
 
13. Egy téglalap alakú szoba padlóját négyzet alakú járólapok fedik. A szoba szélessége m, hossza n darab járólappal fedhető le (m≤n). A járólapok fele a szoba fala mentén van. Hány különböző méretű szoba elégíti ki ezeket a feltételeket?
 
14. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan mértani sorozat, amelynek első eleme 3, az n-edik eleme 13, az első n elem reciprokainak összege 8.
 
15. Két évre befektettünk 400 ezer forintot. A második év végén 521920 forintot vehettünk fel.
a) Hány százalék volt az átlagos évi hozam?
b) A második évi hozam 4,5 százalékponttal magasabb volt, mint az első évi. Hány százalék volt a ténylegesen elért hozam az egyes években?
 
16. Függőón nehezékeként olyan tömör, acélból készített testet használunk, amelyik egy 2cm oldalú szabályos ötszög egyik szimmetriatengelye körüli forgatásával származtatható.
a) Mekkora a nehezék tömege? (Az acél sűrűsége 7840kg/m3.)
b) Ha a nehezék forgáshengerből forgácsolással (esztergálással) készül, legalább hány százalék hulladék keletkezik? (A henger és a belőle készült test forgástengelye azonos.)
 
17. Az ABCD konvex négyszög átlói merőlegesek. Az AB, BC, CD oldalak felezőpontjai rendre F1, F2, F3. Az átlók P metszéspontjának és az oldalfelező pontok távolsága PF1=15, PF2=13, PF3=5 egység. Határozzuk meg az ABCD négyszög kerületét.
 
18. Oldjuk meg a x-1-2x-2+x+2-4x-2≤3 egyenlőtlenséget.
 
19. Egy {an} sorozat egymást követő elemeinek különbségei egy {bn} mértani sorozat egymást követő elemei. A mértani sorozat n-edik eleme 2-vel nagyobb, mint an minden n-re. Az {an} sorozat első három elemének összege 7-tel kisebb, mint a4. Adjuk meg mind az {an}, mind a {bn} sorozat első 5 elemét.
 
20. Adott a koordinátasíkon ez e egyenes és a vele párhuzamos v vektor. A P és Q pontot eltoltuk a v vektorral, majd a kapott P' és Q' pontokat tükröztük az e egyenesre, így kaptuk a P'' és Q'' pontokat. Határozzuk meg az e egyenes egyenletét és a v vektor koordinátáit, ha tudjuk, hogy P(1;2), P''(4;3) és Q(0;4), Q''(6;2).