Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a felvételi előkészítő feladatokhoz
Szerző(k):	Scharnitzky Viktor
Füzet:	2003/szeptemberi melléklet, 38 - 47. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Jelölje $C_{n}$ és $E_{n}$ az $| x | + | y | \leq n$ egyenlőtlenség, illetve az $| x | + | y | = n$ egyenlet egész megoldásainak a számát. Ekkor nyilván $C_{0} = E_{0} = 1$ és $C_{i} = E_{i} + C_{i - 1}$ . Adjuk össze ezeket az egyenlőségeket az $i = 1,2, ..., n$ értékekre:

\begin{matrix} C_{1} + C_{2} + ... + C_{n} = E_{1} + E_{2} + ... + E_{n} + C_{0} + C_{1} + C_{2} + ... + C_{n - 1}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} C_{n} = E_{1} + E_{2} + ... + E_{n} + C_{0} . \end{matrix}

E_{i}

halmaz elemei az

| x | + | y | = i

egyenlet egész megoldásai (ábra). Az

x \geq 0

y \geq 0

síknegyedben

i + 1

megoldást kapunk, ezek:

(i; 0), (i - 1; 1), ..., (0; i)

. A további három síknegyeddel együtt ez összesen

4 (i + 1)

megoldás, így azonban a tengelyeken lévő összesen 4 megoldás mindegyikét kétszer számoltuk. Eszerint

E_{i} = 4 i

, ha

i > 0

Így

C_{n} = 4 (1 + 2 + ... + n) + 1 = 2 n^{2} + 2 n + 1

. Behelyettesítve

C_{1000} = 2 002 001

2. Legyen

\sqrt[3]{7 + 5 \sqrt[]{2}} = u

és

u

konjugáltját,

\sqrt[3]{7 - 5 \sqrt[]{2}}

-t jelöljük

v

-vel. Ekkor

\begin{matrix} u v = \sqrt[3]{(7 + 5 \sqrt[]{2}) (7 - 5 \sqrt[]{2})} = - 1. \end{matrix}

Próbáljuk kiszámolni

u + v

értékét. Az

{(u + v)}^{3} = u^{3} + v^{3} + 3 u v (u + v)

azonosság felhasználásával

{(u + v)}^{3} = 7 + 5 \sqrt[]{2} + 7 - 5 \sqrt[]{2} - 3 (u + v)

, tehát

t = u + v

gyöke a

t^{3} = 14 - 3 t

egyenletnek. Némi próbálkozás után kapjuk, hogy az egyenletnek megoldása a 2, ennek megfelelően

t^{3} + 3 t - 14 = (t - 2) (t^{2} + 2 t + 7)

. A másodfokú tényezőnek nincsen valós gyöke, így ha

t

olyan valós szám, amelyre

t^{3} + 3 t - 14 = 0

, akkor

t = 2

u

-ra és

v

-re az

u v = - 1

u + v = 2

egyenleteket kaptuk, a gyökök és együtthatók közti összefüggések szerint tehát

u

(és persze

v

) gyökei az

\begin{matrix} x^{2} - 2 x - 1 = 0 \end{matrix}

egyenletnek.

Megjegyzések. 1. Némi próbálkozás után felismerhető, hogy a köbgyök alatt

7 + 5 \sqrt[]{2} = {(1 + \sqrt[]{2})}^{3}

áll. Így

u = 1 + \sqrt[]{2}

, ahonnan ugyancsak felírható a keresett egyenlet:

\begin{matrix} x = 1 + \sqrt[]{2} \Rightarrow x - 1 = \sqrt[]{2} \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = 2 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} - 2 = x^{2} - 2 x - 1 = 0. \end{matrix}

2. Ha közvetlenül az

x = \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt[]{2}}

,,egyenletre'' alkalmazzuk az előbbi módszert, akkor köbre emelés után

x^{3} = 7 + 5 \sqrt[]{2}

adódik, amit rendezve és négyzetre emelve

(x^{3} - 7) = 50

, azaz a hatodfokú

x^{6} - 14 x^{3} - 1 = 0

egyenlet adódik. Ennek a polinomnak valóban osztója az

x^{2} - x - 1

polinom.

3. Ha a három szomszédos páros szám közül a középső osztható 4-gyel, akkor a két szélső

4 k - 2

és

4 k + 2

alakú szám a 2-nek pontosan az első hatványával osztható, ebben az esetben a középső szám megfelelő. Ha pedig a középső páros szám nem osztható 4-gyel, akkor mindkét szélső páros szám a 4-nek többszöröse. Közülük pontosan egy 8-cal is osztható és így rendelkezik az előírt tulajdonsággal.

4. Ha a sorozat differenciája nulla, akkor

\sqrt[]{a_{i}} = \sqrt[]{a_{1}}

, a bal oldalon az

n - 1

egyenlő tagból álló összeg értéke

\frac{n - 1}{2 \sqrt[]{a_{1}}}

, ami egyenlő a jobb oldal értékével.
Ha

d \neq 0

, akkor gyöktelenítsük a nevezőket:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{a_{i}} + \sqrt[]{a_{i + 1}}} = \frac{\sqrt[]{a_{i + 1}} - \sqrt[]{a_{i}}}{a_{i + 1} - a_{i}} = \frac{1}{d} (\sqrt[]{a_{i + 1}} - \sqrt[]{a_{i}}) . \end{matrix}

A bal oldal értéke tehát

\begin{matrix} \frac{1}{d} (\sqrt[]{a_{n}} - \sqrt[]{a_{n - 1}} + \sqrt[]{a_{n - 1}} - \sqrt[]{a_{n - 2}} + ... + \sqrt[]{a_{2}} - \sqrt[]{a_{1}}) = \frac{\sqrt[]{a_{n}} - \sqrt[]{a_{1}}}{d} . \end{matrix}

A jobb oldalon a nevezőt gyöktelenítve

\begin{matrix} \frac{(n - 1) (\sqrt[]{a_{n}} - \sqrt[]{a_{1}})}{a_{n} - a_{1}} \end{matrix}

adódik, ami

a_{n} - a_{1} = (n - 1) d

miatt valóban egyenlő a bal oldal értékével.

\bar{a b a b a b} = \bar{a b} \cdot 10101 = \bar{a b} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37

. Ennek a számnak a legnagyobb prímosztója a 37-nél nagyobb

\bar{a b}

prím lehet. A legnagyobb kétjegyű prím a 97, így 979

797 esetén kapjuk a legnagyobb prímosztót, értéke 97.

6. A logaritmus értelmezése szerint

x > 0

x \neq 1

és

y > 0

. A feltétel szerint

x

és

y

egész számok, így

x \geq 2

y \geq 1

. Ekkor a bal oldal is értelmes. A jobb oldal

log_{x} x y

, a logaritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű, tehát

5 \sqrt[]{x y} + 24 = x y

0 \leq \sqrt[]{x y}

-ra nézve másodfokú egyenletet kaptunk, ennek nemnegatív gyöke 8, ahonnan

x y = 64

. Mivel

x \geq 2

egész, a

64 = 2^{6}

-nak 1-nél nagyobb osztói lehetnek

x

értékei és minden ilyen

x

-re

y = \frac{64}{x}

pozitív egész. Lépéseink megfordíthatók, így ezek a számpárok megoldásai az eredeti egyenletnek.
Az egyenlet tehát összesen hat pozitív egész számpárra teljesül.

0 < a_{n} < 2

pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} 3 < log_{2} (n + 4) < 5. \end{matrix}

x \mapsto log_{2} x

függvény szigorúan monoton növő, így a feltétel ekvivalens a

\begin{matrix} 2^{3} < n + 4 < 2^{5} \end{matrix}

egyenlőtlenséggel. A

] 2^{3}; 2^{5} [

intervallumban

2^{5} - 1 - 2^{3} = 23

egész szám van.

n + 4

ezek mindegyikét fölveszi és

log_{2} (n + 4)

ezek mindegyikére értelmes.
A sorozatnak tehát 23 olyan pozitív eleme van, amely kisebb 2-nél.

8. I. megoldás. Jelöljük a bal oldalon álló függvényt

f (x)

-szel és a második tagban alakítsunk teljes négyzetté a négyzetgyök alatt:

\begin{matrix} f (x) = \sqrt[]{x^{2} + 9} + \sqrt[]{{(x - 8)}^{2} + 9} . \end{matrix}

Ekkor

g (x) = f (x + 4) = \sqrt[]{{(x + 4)}^{2} + 9} + \sqrt[]{{(x - 4)}^{2} + 9}

, így elegendő

g (x)

minimális értékét keresni. Mivel

g (x) > 0

, azért

g (x)

akkor minimális, ha

g^{2} (x)

minimális.

\begin{matrix} \begin{matrix} g^{2} (x) & = & 2 (x^{2} + 25) + 2 \sqrt[]{(x^{2} + 25 + 8 x) (x^{2} + 25 - 8 x)} = \\ = & 2 (x^{2} + 25) + 2 \sqrt[]{{(x^{2} + 25)}^{2} - 64 x^{2}} . \end{matrix} \end{matrix}

A második gyökjel alatt két pozitív mennyiség szorzata áll:

\begin{matrix} {(x^{2} + 25)}^{2} - 64 x^{2} = x^{4} - 14 x^{2} + 25^{2} \geq x^{4} - 50 x^{2} + 25^{2} = {(x^{2} - 25)}^{2}, \end{matrix}

és pontosan akkor van egyenlőség, ha

x^{2} = 0

. Így

\begin{matrix} g^{2} (x) \geq 2 (x^{2} + 25) + 2 \sqrt[]{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 2 (x^{2} + 25) + 2 | x^{2} - 25 | = {\begin{matrix} 4 x^{2}, & ha x^{2} \geq 25 \\ 100, & ha x^{2} < 25. \end{matrix} \end{matrix}

x^{2} \geq 25

, akkor

4 x^{2} \geq 100

, így mindenképpen

\begin{matrix} g^{2} (x) \geq 100, azaz g (x) \geq 10, \end{matrix}

egyenlőség pedig pontosan akkor teljesül, ha

x^{2} = 0

, azaz

x = 0

. Így

f (x) = g (x - 4) \geq 10

és pontosan akkor van egyenlőség ‐ azaz

f (x)

pontosan akkor minimális ‐, ha

x = 4

II. megoldás.

f (x)

két tagjának geometriai jelentés tulajdonítható.
Tekintsük a derékszögű koordinátarendszerben az

O (0; 0)

A (8; 0)

és az

y = 3

egyenesen mozgó

P (x; 3)

pontokat (1. ábra).

1. ábra

Ekkor az ismert távolságformula szerint

\begin{matrix} P O = \sqrt[]{x^{2} + 3^{2}} és P A = \sqrt[]{{(x - 8)}^{2} + 3^{2}} . \end{matrix}

A feladat kérdése tehát úgy fogalmazható, hogy az

e

egyenes mely

P

pontjára lesz minimális a

P O + P A

távolságösszeg.
A feladat jól ismert megoldását úgy kapjuk, hogy az egyik rögzített pontot ‐ legyen ez az

O

‐ tükrözzük az

e

egyenesre (2. ábra). Ekkor az

O' A

szakasz

e

-vel való

P

metszéspontjában adódik a minimum.

2. ábra

Valóban, az egyenes tetszőleges,

P

-től különböző

P_{1}

pontjára

O P_{1} = O' P_{1}

a tükrözés miatt, a háromszög-egyenlőtlenség szerint pedig

O' P_{1} + P_{1} A > O' P + P A = O' A

.
Mivel az

e

egyenes most párhuzamos az

O A

szakasszal, az egyenes középvonala az

A O O'

háromszögnek, így

P

első koordinátája a két rögzített pont,

O

és

A

első koordinátájának a számtani közepe,

x_{P} = \frac{x_{O} + x_{A}}{2} = 4

. A

P O + P A

összeg tehát az

e

egyenes

P (4; 3)

pontjára lesz a legkisebb, így a kifejezés értéke akkor minimális, ha

x = 4

9. A. Szorozzuk

sin 15^{\circ} + cos 15^{\circ}

értékét

sin 45^{\circ} = cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

-vel. Az ismert addíciós összefüggés szerint

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{2}}{2} (sin 15^{\circ} + cos 15^{\circ}) = sin 15^{\circ} \cdot cos 45^{\circ} + cos 15^{\circ} \cdot sin 45^{\circ} = sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Így

sin 15^{\circ} + cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}}

, azaz

\begin{matrix} A = {(\frac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}})}^{2002} \cdot \frac{1}{3^{1001}} = \frac{1}{2^{1001}} . \end{matrix}

B. Mivel

97 + 56 \sqrt[]{3} = {(7 + 4 \sqrt[]{3})}^{2}

, azért

\begin{matrix} B = log_{7 + 4 \sqrt[]{3}} \frac{1}{97 + 56 \sqrt[]{3}} = log_{7 + 4 \sqrt[]{3}} {(7 + 4 \sqrt[]{3})}^{- 2} = - 2. \end{matrix}

C. Számoljuk

2 C

értékét úgy, hogy a második alkalommal fordított sorrendben írjuk le az összeg tagjait. (Ahogyan a legenda szerint a kis Gauss összegezte a számtani sorozatot.) Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 C & = & cos (1 \cdot 9^{\circ}) + cos (2 \cdot 9^{\circ}) + ... + cos (19 \cdot 9^{\circ}) + \\ + & cos (19 \cdot 9^{\circ}) + cos (18 \cdot 9^{\circ}) + ... + cos (1 \cdot 9^{\circ}) . \end{matrix} \end{matrix}

Az összesen

2 \cdot 19

tagú összeg egymás alatt álló tagjai

\begin{matrix} cos (i \cdot 9^{\circ}) + cos [(20 - i) \cdot 9^{\circ}] = cos (9 i^{\circ}) + cos (180^{\circ} - 9 i^{\circ}) \end{matrix}

alakúak. Ismeretes, hogy ha

α + β = 180^{\circ}

, akkor

cos α + cos β = 0

, így az egymás alatt álló tagok összege 0, tehát

2 C = 0 = C

.
A megfelelő sorrend tehát

B < C < A

10. Ha eredetileg

b

autóbuszt rendeltek, akkor a feltétel szerint

\begin{matrix} \frac{n}{b - 1} = \frac{n}{b} + 5, azaz n = 5 (b^{2} - b) . \end{matrix}

300 \leq n \leq 400

, akkor

60 \leq b^{2} - b \leq 80

, tehát a

\begin{matrix} b^{2} - b - 80 \leq 0 \leq b^{2} - b - 60 \end{matrix}

egyenlőtlenségrendszert kell megoldanunk, ahol

b

pozitív egész.
Az első feltételből

b \leq 9, 46

, a másodikból pedig

b \geq 8, 26

adódik. Így

b = 9

és

n = 5 \cdot (9^{2} - 9) = 360

11. Ha

a

és

b

a derékszögű háromszög befogói,

c

pedig az átfogó, akkor Pitagorasz tétele szerint

c = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

, a feltétel pedig azt jelenti, hogy

\begin{matrix} \frac{x + y}{2} = a + b és \sqrt[]{x y} = c = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

Innen az

\begin{matrix} \begin{matrix} x + y & = & 2 (a + b) \\ x y & = & a^{2} + b^{2} \end{matrix} \end{matrix}

egyenletrendszert kapjuk.
A gyökök és együtthatók közti összefüggések szerint

x

és

y

gyökei a

\begin{matrix} t^{2} - 2 (a + b) t + a^{2} + b^{2} = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletnek, amit megoldva

t_{1,2} = a + b \pm \sqrt[]{2 a b}

.
Az

x

y

mennyiségek értéke tehát valamilyen sorrendben

a + b - \sqrt[]{2 a b}

és

a + b + \sqrt[]{2 a b}

Megjegyzés. Ha

a

és

b

pozitív számok, akkor

a + b - \sqrt[]{2 a b} > 0

, a feladatnak tehát minden derékszögű háromszögre van megoldása.

12. I. megoldás. Vegyünk föl egy derékszögű koordinátarendszert az 1. ábra szerint. Ekkor

M (6; 2, 5)

és

F (3, 5; - 3, 5)

. Az

M F

szakasz hosszát a távolságformulával számolva

\begin{matrix} M F = \sqrt[]{2, 5^{2} + 6^{2}} = \sqrt[]{42, 25} = 6, 5. \end{matrix}

1. ábra

II. megoldás. Oldjuk meg a feladatot általánosan, legyenek a háromszög befogói

a

és

b

, átfogója

c

. Induljunk ki egy

a + b

oldalú

G S K R

négyzetből (2. ábra). Ha a négyzet minden oldalát az ábra szerint osztjuk fel

a

b

hosszúságú szakaszokra, akkor az osztópontok az

A U T B

négyzet csúcsai.

2. ábra

A két négyzet közös centruma a

G K

átló

F

felezőpontja (az

F

körüli

90^{\circ}

-os forgatás az ábrát önmagába viszi). Az

A F B

tehát egyenlő szárú derékszögű háromszög, a derékszögű csúcsot,

F

-et az

A U T B

négyzet

A B

oldalának

M

felezőpontjával összekötő szakasz hossza tehát a négyzet oldalának,

A B

-nek a felével egyenlő.

Megjegyzés. A feladat háromszögének átfogója

c = \sqrt[]{5^{2} + 12^{2}} = 13

, ennek fele 6,5. A második bizonyításból az is kiderül, hogy

F M

merőleges

A B

-re.

13. A feltételből következik, hogy

m \geq 3

. A szoba összesen

m \cdot n

darab járólappal fedhető le, a fallal nem érintkező ,,belső'' részen pedig

(m - 2) (n - 2)

járólap van.

A feltétel szerint

\begin{matrix} m n = 2 (m - 2) (n - 2) = 2 m n - 4 m - 4 n + 8. \end{matrix}

Rendezés után

m n - 4 m - 4 n + 8 = 0

, azaz

\begin{matrix} (m - 4) (n - 4) = 8 \end{matrix}

adódik. A bal oldalon

m - 4

és

n - 4

egész számok és

3 \leq m \leq n

miatt

- 1 \leq m - 4 \leq n - 4

, ha tehát a szorzatuk 8, akkor mindkettő pozitív. A 8 pozitív egészek szorzataként

1 \cdot 8

vagy pedig

2 \cdot 4

alakban áll elő, ha a tényezők nagyságviszonyára is tekintettel vagyunk. Így két megoldást kapunk:

a)

m - 4 = 1

és

n - 4 = 8

, azaz

m = 5

és

n = 12

;

b)

m - 4 = 2

és

n - 4 = 4

, azaz

m = 6

és

n = 8

.
Mindkét számpár megoldása a feladatnak.

14. Tegyük fel, hogy létezik ilyen mértani sorozat. Ekkor

a_{n} \neq a_{1}

miatt a sorozat hányadosa,

q \neq 1

. A sorozat elemeinek reciprokai is mértani sorozatot alkotnak, ennek hányadosa

\frac{1}{q} \neq 1

. Az ismert összefüggés szerint az elemek reciprokának összege

\begin{matrix} 8 = \frac{1}{a_{1}} + ... + \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{1}} \cdot \frac{{(\frac{1}{q})}^{n} - 1}{\frac{1}{q} - 1} = \frac{1}{a_{1}} \cdot \frac{1 - q^{n}}{q^{n - 1} - q^{n}} . \end{matrix}

Használjuk fel, hogy

q^{n - 1} = \frac{a_{n}}{a_{1}}

. Az elemek reciprokának összege így a következőképpen alakul:

\begin{matrix} 8 = \frac{1 - \frac{a_{n}}{a_{1}} q}{a_{n} - q \cdot a_{n}} . \end{matrix}

Behelyettesítve

\begin{matrix} 8 = \frac{1 - \frac{13}{3} q}{13 (1 - q)}, ahonnan q = \frac{309}{299}, vagyis q^{n - 1} = {(\frac{309}{299})}^{n - 1} = \frac{a_{n}}{a_{1}} = \frac{13}{3} . \end{matrix}

Innen

309^{n - 1} \cdot 3 = 299^{n - 1} \cdot 13

következik. Mivel

n \geq 3

egész, a bal oldal osztható 3-mal, a jobb oldal pedig nem. Ez az egyenlőség tehát egyetlen pozitív egész

n

-re sem állhat fönn, a kérdéses mértani sorozat valóban nem létezik.

15.

a)

p %

jelöli az átlagos évi hozamot, akkor

\begin{matrix} 400 000 {(1 + \frac{p}{100})}^{2} = 521 920, ahonnan 1 + \frac{p}{100} = \sqrt[]{\frac{521 920}{400 000}} \approx 1, 1423, \end{matrix}

az átlagos évi hozam tehát

p \approx 14, 23 %

b)

q %

jelöli a tényleges első évi kamatlábat, akkor a második évi kamatláb

(q + 4, 5) %

, befektetésünk a második év után

(1 + \frac{q}{100}) \cdot (1 + \frac{q + 4, 5}{100})

-szorosára növekszik.
Így

q

-ra a másodfokú

\begin{matrix} (1 + \frac{q}{100}) \cdot (1 + \frac{q + 4, 5}{100}) = \frac{52 192}{40 000} \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Rendezés után kapjuk, hogy

2 q^{2} + 409 q - 5196 = 0

.
Ennek az egyenletnek a pozitív megoldása

q = \frac{- 409 + 457}{4} = 12

.
A tényleges kamatláb tehát az első évben

12 %

, a másodikban pedig

16,5 %

volt.

Megjegyzés. Az átlagos kamatláb nem az éves kamatlábak számtani közepe. Az éves szorzószámokat összehasonlítva

\begin{matrix} {(1 + \frac{p}{100})}^{2} = (1 + \frac{12}{100}) \cdot (1 + \frac{16,5}{100}), \end{matrix}

azaz

(1 + \frac{p}{100})

(1 + \frac{12}{100})

és az

(1 + \frac{16,5}{100})

mértani közepe, valamivel kisebb a számtani közepüknél,

(1 + \frac{12 + 16, 5}{200})

-nál. Ennek megfelelően

p \approx 14, 23

is valamivel kisebb, mint

\frac{12 + 16,5}{2} = 14, 25

16.

a)

V = V_{kúp} + V_{cs.kúp}

α = \frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}

\begin{matrix} \begin{matrix} r = 2 sin 54^{\circ} \approx 1, 62, m = 2 cos 54^{\circ} \approx 1, 18, \\ h = \sqrt[]{4 - {(r - 1)}^{2}} \approx 1, 9, \\ V_{kúp} = \frac{π r^{2} m}{3} = \frac{8 sin^{2} 54^{\circ} cos 54^{\circ}}{3} π \approx 3, 22 cm^{3},V_{csonkakúp}=\frac{π}{3}\cdoth(r^{2}+r+1)\approx10,42 cm^{3},V\approx13,64 cm^{3}. \end{matrix} \end{matrix}

A függőón tömege

M = V \cdot ϱ \approx 106, 9

b)

A minimális forgáshenger sugara

r

, magassága pedig

m + h

. A térfogata így

V_{H} = r^{2} π (m + h) \approx 25, 25 cm^{3}

, így legalább

V_{H} - V \approx 11, 61 cm^{3}

hulladék keletkezik, ami a henger térfogatának közelítőleg

46 %

-a.

17.

\begin{matrix} \begin{matrix} A B^{2} - B C^{2} = (A B^{2} - B P^{2}) - (B C^{2} - B P^{2}) = \\ = A P^{2} - P C^{2} = (A D^{2} - D P^{2}) - (D C^{2} - D P^{2}) = \\ = A D^{2} - D C^{2}, \end{matrix} \end{matrix}

azaz

A B^{2} - B C^{2} = A D^{2} - D C^{2}

, vagy átrendezve

\begin{matrix} A B^{2} + D C^{2} = A D^{2} + B C^{2}; \end{matrix}

ha a négyszög átlói merőlegesek, akkor a szemközti oldalak négyzetösszege egyenlő.

Thalész tétele szerint

A B = 2 P F_{1} = 30

B C = 2 P F_{2} = 26

C D = 2 P F_{3} = 10

. Így

A D^{2} = A B^{2} + D C^{2} - B C^{2} = 30^{2} + 10^{2} - 26^{2} = 324 = 18^{2}

.
Az

A B C D

négyszög kerülete

30 + 26 + 10 + 18 = 84

Megjegyzés. A megoldás során talált állításnak a megfordítása is igaz: ha egy négyszög szemközti oldalainak négyzetösszege egyenlő, akkor a négyszög átlói merőlegesek egymásra.

18. Mindkét négyzetgyök alatt teljes négyzet áll:

\begin{matrix} x - 1 - 2 \sqrt[]{x - 2} = {(\sqrt[]{x - 2} - 1)}^{2} és x + 2 - 4 \sqrt[]{x - 2} = {(\sqrt[]{x - 2} - 2)}^{2}, \end{matrix}

így a

| \sqrt[]{x - 2} - 1 | + | \sqrt[]{x - 2} - 2 | \leq 3

egyenlőtlenséget kell megoldanunk.
Az abszolút értéket felbontva:

\begin{matrix} | \sqrt[]{x - 2} - 1 | + | \sqrt[]{x - 2} - 2 | = {\begin{matrix} 3 - 2 \sqrt[]{x - 2}, & ha \sqrt[]{x - 2} < 1; \\ 1, & ha 1 \leq \sqrt[]{x - 2} < 2; \\ 2 \sqrt[]{x - 2} - 3, & ha 2 \leq \sqrt[]{x - 2} . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

\sqrt[]{x - 2} \geq 0

, azért a vizsgált egyenlőtlenség teljesül, ha

\sqrt[]{x - 2} < 2

, ha pedig

2 \leq \sqrt[]{x - 2}

, akkor

2 \sqrt[]{x - 2} - 3 \leq 3

, azaz

\sqrt[]{x - 2} \leq 3

.
Összefoglalva: a feladat egyenlőtlensége akkor és csak akkor teljesül, ha

\sqrt[]{x - 2} \leq 3

, azaz ‐ figyelembe véve, hogy

\sqrt[]{x - 2}

-nek értelmesnek kell lennie ‐, ha

2 \leq x \leq 11

19. A feltétel szerint az

a_{n + 1} - a_{n}

különbségsorozat elemeire

a_{n + 1} - a_{n} = b_{n} = 2 + a_{n}

, ahonnan

\begin{matrix} a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2. \end{matrix}

(*)

Innen

a_{2} = 2 a_{1} + 2

a_{3} = 2 a_{2} + 2 = 4 a_{1} + 6

a_{4} = 2 a_{3} + 2 = 8 a_{1} + 14

. A feltétel szerint

a_{1} + a_{2} + a_{3} + 7 = a_{4}

, azaz

(7 a_{1} + 8) + 7 = 8 a_{1} + 14

, ahonnan

a_{1} = 1

.
Így

a_{2} = 4

a_{3} = 2 \cdot 4 + 2 = 10

a_{4} = 2 \cdot 10 + 2 = 22

a_{5} = 2 \cdot 22 + 2 = 46

.
Mivel a bizonyításban eddig nem használtuk fel, hogy a

b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

mértani sorozat, meg kell mutatnunk, hogy ez a feltétel is teljesül, egyébként a feladatnak nincsen megoldása.
A

(*)

rekurzió felhasználásával a

b_{n}

különbségsorozatra azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} = (2 a_{n} + 2) - (2 a_{n - 1} + 2) = 2 (a_{n} - a_{n - 1}) = 2 b_{n - 1} . \end{matrix}

b_{n}

sorozat tehát valóban mértani sorozat, a hányadosa 2.
A

b_{n}

sorozat elemei tehát:

b_{1} = a_{2} - a_{1} = 3

és így

b_{2} = 2 \cdot 3 = 6

b_{3} = 12

b_{4} = 24

b_{5} = 48

Megjegyzés. A

b_{n}

sorozatra vonatkozó észrevétel lehetővé teszi, hogy felírjuk a

(*)

rekurzióval értelmezett sorozat

n

-edik elemét:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{n} & = & a_{n} - a_{n - 1} + a_{n - 1} - a_{n - 2} + ... + a_{2} - a_{1} + a_{1} = \\ = & b_{n - 1} + b_{n - 2} + ... + b_{1} + a_{1} = 1 + 3 \cdot (2^{n - 1} - 1) . \end{matrix} \end{matrix}

Hasonlóan kapható meg az

a_{n + 1} = p \cdot a_{n} + q

sorozat

n

-edik eleme is, ha az első elem,

a_{1}

értéke adott.

20. A tükrözés miatt

v' = \vec{P' Q'} + \vec{P'' Q''}

párhuzamos az

e

egyenessel és így az

e

-vel párhuzamos

v

vektorral is (1. ábra).

1. ábra

Az eltolás miatt

\vec{P' Q'} = \vec{P Q}

, így

v' = \vec{P Q} + \vec{P'' Q''} = (- 1; 2) + (2; - 1) = (1; 1)

.
A tükrözés miatt

\vec{P' P''}

merőleges

e

-re és így

v

-re is, az eltolás miatt pedig

\vec{P P'}

párhuzamos

v

-vel (2. ábra).

2. ábra

Ha tehát a

\vec{P P''} = (3; 1)

vektort felbontjuk egy

v

-vel párhuzamos és egy

v

-re merőleges vektor összegére, akkor a vektorfelbontás egyértelműsége miatt a

v

-vel párhuzamos összetevő éppen

\vec{P P'} = v

, a

v

-re merőleges összetevő pedig

\vec{P' P''}

.
Legyen

\vec{P P'} = t \cdot v' = (t; t)

. Ez akkor lesz megfelelő, ha

\vec{P P''} - t \cdot v' = (3 - t; 1 - t)

merőleges

v'

-re, azaz skalárszorzatuk nulla:

\begin{matrix} (\vec{P P''} - t \cdot v') v' = 0. \end{matrix}

(3 - t; 1 - t) (1; 1)

skalárszorzat értéke

4 - 2 t

, ez pontosan akkor 0, ha

t = 2

.
Így

v = t \cdot v' = (2; 2)

, a

P'

pont koordinátái

\vec{P P'} = v

miatt

P' (1 + 2; 2 + 2)

.
Az

e

egyenesnek

v

egy irányvektora, egyenletéhez elég egyetlen pontja. A tükrözés miatt a

P' P''

szakasz felezőpontja

(\frac{3 + 4}{2}; \frac{4 + 3}{2})

rajta van az

e

egyenesen, amelynek egyenlete így

y - x = 0