A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: | |
Megoldás. Mivel | | és | | azért az egyenlet megoldásai . Az egyenlet akkor értelmezett, ha , értelmezett és , azaz ha . Azonos átalakításokkal . Ez pontosan akkor teljesül, ha és , . Az egyenlet megoldásai: Az egyenletnek minden 1-től különböző pozitív valós szám megoldása, mert egy logaritmusfüggvény alapszáma és | |
2. Egy trapéz átlói merőlegesek egymásra. Párhuzamos oldalainak hossza , illetve egység, egyik szára egység. Mekkora a trapéz másik szára, területe és magassága?
Megoldás. A trapézt az átlói négy derékszögű háromszögre bontják. A párhuzamos oldalakhoz tartozó háromszögek hasonlók, a hasonlósági arány . Legyen az átlók két szelete , , illetve , . Ekkor és , ahonnan , , s mivel és , azért , . A másik szár hossza | | Az átlók hossza , illetve egység, s mivel az átlók merőlegesek egymásra, azért a trapéz területe területegység. A trapéz magasságára , egység.
3. Határozzuk meg az paraméter értékét úgy, hogy az egyenletnek két különböző, -nél kisebb valós gyöke legyen.
Megoldás. Mivel az egyenletnek két különböző gyöke van, azért és az egyenlet diszkriminánsa pozitív, tehát | | Az egyenlet gyökei: és . A követelmények szerint | | így . Az egyenletnek akkor van két különböző, -nél kisebb gyöke, ha vagy .
4. Egy sorozat első tagja , a hatodik tagja , az első három tag összege ; a szomszédos tagok különbségei egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Számítsuk ki a sorozat első három tagját.
Megoldás. Legyen a különbségsorozat első öt tagja: , , , , . A sorozat első hat tagja: 1, , , , , . A feltétel szerint és , ahonnan , . A sorozat első három tagja: 1, 7, 15.
5. Adott egy háromszög két oldala, és , valamint | | ahol az , a , pedig a (harmadik) oldallal szemközti szög. Fejezzük ki -val és -vel a oldal hosszát.
Megoldás. és , tehát | | és | | Ezek alkalmazásával , ahonnan , tehát . Ez pontosan akkor teljesül, ha , és ekkor , vagy , , , és ekkor .
6. Két kör kívülről érinti egymást. Az egyik közös külső érintőjüknek az érintési pontok közé eső szakaszát megforgatjuk a körök középpontjain áthaladó egyenes körül. A keletkezett csonkakúp palástjának területe területegység, az egyik kör sugara egység. Mekkora a másik kör sugara?
Megoldás. Legyen a két kör középpontja , , a körök sugarai , , az érintési pont . Az egyik külső érintőszakasz két végpontja, az érintési pontok , . Messe a két kör -beli közös érintője az szakaszt -ben, . Az , illetve pontok merőleges vetülete az egyenesen legyen , illetve . A forgással keletkező csonka kúp alap-, illetve fedőlapkörének sugara , illetve . A csonka kúp palástjának területe . Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlősége miatt . Az háromszög derékszögű (miért?), alkalmazható a magasságtétel, , azaz , . Az négyszög trapéz, középvonala , tehát . A csonka kúp palástjának felszíne . Most , , tehát , ahonnan egység.
7. A kör érinti az tengelyt és a egyenletű egyenest az abszcisszájú pontjában. Írjuk fel a kör egyenletét.
Megoldás. Az abszcisszájú érintési pont ordinátájára , . A keresett kör érinti az tengelyt, így ha a középpontja , akkor egyenlete . A pont rajta van az pontban az adott egyenesre merőleges egyenesen, amelynek egyenlete: . A feltételek szerint | | ahonnan , vagy , . A keresett körök egyenlete: | |
8. Határozzuk meg a kifejezés értékkészletét, ha .
Megoldás. Azonos átalakításokkal | | A megfelelő folytonos függvények alkalmazásával: | | és végül A kifejezés értékkészlete az adott intervallumon: . (A kifejezéssel adott függvény az adott intervallumban folytonos, ezért minden olyan értéket felvesz, amelyre .)
|