A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: | |
Megoldás. Dolgozzunk a egyenlettel. Az egyenlet sokféle módon oldható meg. Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát (ekkor következmény egyenletre jutunk), majd rendezzük az egyenletet. Ekkor Legyen , így és az egyenlethez jutunk. Ha , akkor , , , így , és ezek valóban megoldások. Ha , akkor , , így , és ez valóban megoldás. Nincs megoldása az egyenletnek. A megoldás .
2. A konvex négyszög átlói merőlegesek egymásra, a átló felezi az átlót. Az , , . Számítsuk ki a négyszög területét, oldalait és szögeit.
Megoldás. A négyszög területe . Jelölje az átlók metszéspontját. Ekkor az derékszögű háromszög csúcsnál lévő szöge , s mivel , így , , . Mivel , azért az derékszögű háromszögben , . Így , tehát az egyenlő oldalú háromszög. A négyszög szögei: , , , .
3. Igazoljuk, hogy ha vagy , akkor .
Megoldás. Elegendő igazolni, hogy | | Azonos átalakításokkal | | , hiszen és . Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha , azaz ha vagy .
4. Az és az egyenletű körök középpontját összekötő szakasz mely pontjából húzható közös érintő a két körhöz? Írjuk fel az érintőegyenesek egyenletét.
Megoldás. Készítsünk ábrát. Erről leolvasható, hogy az egyenletű egyenes közös érintő. Ez a középpontokat összekötő egyenletű egyenest a pontban metszi. (A pont a és pontokat összekötő szakasznak az a pontja, amelyre , azaz .) A másik közös érintő egyenletét a szerkesztés módszerével, vagy paraméteresen, vagy trigonometria alkalmazásával is megkaphatjuk. A másik érintőnek van meredeksége, egyenletét alakban keressük. A közös érintő a körök középpontjától sugárnyi távolságban halad, tehát az origó és az egyenes távolsága 3, azaz | | A másik érintő egyenlete: .
5. Határozzuk meg értékét, ha | |
Megoldás. Azonos átalakításokkal , ahonnan vagy , tehát , vagy , . pontosan akkor igaz, ha , vagy , , azaz , , ami sohasem teljesül, hiszen nem egész szám vagy , .
6. Határozzuk meg azoknak a rendezett számpároknak a halmazát, amelyek kielégítik a következő egyenletrendszert: | |
Megoldás. A azonosság alkalmazásával Az első egyenletből vonjuk ki a másodikat. Ekkor , , tehát csak olyan számpár lehet megoldás, amelyre . Mivel , azért ha , akkor és , ha , akkor és . Legyen , így . Az egyenletrendszert az , , és az , , számpárok elégítik ki. (A megoldáshalmazhoz tartozó pontok az egyenletű grafikonnak azon pontjai, amelyekre .)
7. Egy szabályos háromszög csúcspontjain át egymással párhuzamos egyeneseket húzunk, közülük a középsőnek a két szélsőtől való távolsága , illetve . Számítsuk ki a szabályos háromszög oldalait.
Megoldás. Legyen a középső egyenes , a tőle 1, illetve 4 távolságra haladó párhuzamos , illetve . A szabályos háromszög csúcsa essen az , csúcsa a , csúcsa a egyenesre. Természetesen végtelen sok ilyen háromszög létezik, s ezek egybevágók. Helyezzük el az pontot az egyenesen, a -t a egyenesen úgy, hogy az háromszög körüljárási iránya pozitív legyen. Legyen az pont vetülete a egyenesen , a egyenesen , a pont vetülete a egyenesen . Ekkor . Ha a háromszög oldala , akkor , , , így Négyzetre emeléssel, majd rendezéssel: | | ahonnan , . A szabályos háromszög oldalának hossza .
8. Igazoljuk az egyenlőtlenséget, ahol . Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett | | hozzárendelési szabállyal megadott függvénynek , és bármely valós értéke esetén van zérushelye. Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett hozzárendelési szabállyal megadott függvénynek nincs zérushelye, ha , és egy háromszög három oldala.
Megoldás. Világos, hogy minden számra. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha . Így , és , tehát így valóban ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha . Azonos átalakításokkal . Az függvénynek pontosan akkor van , és bármely valós értéke esetén zérushelye, ha az másodfokú egyenlet diszkriminánsa nemnegatív. A diszkrimináns: | | így valóban . A egyenlet diszkriminánsa: | | A háromszög-egyenlőtlenség szerint az első három tényező pozitív, a negyedik negatív, így , a függvénynek valóban nincs zérushelye. (A koszinusztétel alkalmazásával is dolgozhatunk.) |