A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Idén Nyíregyháza adott otthont a tanárképző főiskolások Péter Rózsáról elnevezett matematikaversenyének 2003. április 23. és 25. között. Budapest, Eger, Nyíregyháza, Pécs, Szeged és Szombathely diákjai indultak. A szokásos 5‐5 fő helyett Budapest idén csak 4 versenyzőt küldött. A dolgozatokat április 24-én délelőtt írták. A feladatokat a főiskolák oktatóinak javaslatai alapján a verseny elnöke, Urbán János állította össze. Minden főiskola javaslataiból választott egyet-egyet, és a saját feladatával megtoldva állt össze az alábbi hét feladat.
1. Hányféleképpen lehet az ötös lottón a 90 szám közül 5-öt megjelölni úgy, hogy ne legyenek köztük szomszédosak?
2. Az valós paraméter mely értékeire van egyetlen olyan valós számpár, amely kielégíti az egyenlőtlenséget és az egyenletet is?
3. Nevezzük szabályos tér -szögnek a térbeli -szöget, ha minden oldala egyenlő hosszúságú és a szomszédos oldalak ugyanakkora szöget zárnak be egymással. Milyen határok között változhat egy szabályos tér 4-szög egy szöge?
4. Igazoljuk, hogy ha , , pozitív valós számok, akkor | |
5. Határozza meg az összes olyan valós számpárt, amelyekre az egyenletnek négy pozitív valós gyöke van!
6. Legyen a következő sorozat: | | ha egész. Milyen esetén konvergens a sorozat, és mennyi a határértéke?
7. Adott a síkon 400 pont, amelyek közül semelyik három sem esik egy egyenesre. Bizonyítsuk be, hogy van olyan 100 darab, páronként diszjunkt négyszög, amelyeknek éppen az adott pontok a csúcsai. (Diszjunktnak nevezünk két négyszöget, ha ‐ mint zárt négyszöglapoknak ‐ nincs közös pontjuk.) A díjkiosztó ünnepségre másnap, április 25-én került sor. A 29 résztvevő diák között egy első, két második, négy harmadik díjat osztott ki a versenybizottság. Nyolc diák kapott dicséretet. A rendezők vendégszeretetükkel nagyon kellemessé tették az ottlétünket. Jövőre Eger lesz a verseny helyszíne.
|