Kezdőlap


Cím:	A tanárképző főiskolák 2003. évi Péter Rózsa Matematikaversenye
Szerző(k):	Fried Katalin
Füzet:	2003/október, 401 - 402. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Idén Nyíregyháza adott otthont a tanárképző főiskolások Péter Rózsáról elnevezett matematikaversenyének 2003. április 23. és 25. között. Budapest, Eger, Nyíregyháza, Pécs, Szeged és Szombathely diákjai indultak. A szokásos 5‐5 fő helyett Budapest idén csak 4 versenyzőt küldött. A dolgozatokat április 24-én délelőtt írták. A feladatokat a főiskolák oktatóinak javaslatai alapján a verseny elnöke, Urbán János állította össze. Minden főiskola javaslataiból választott egyet-egyet, és a saját feladatával megtoldva állt össze az alábbi hét feladat.

1. Hányféleképpen lehet az ötös lottón a 90 szám közül 5-öt megjelölni úgy, hogy ne legyenek köztük szomszédosak?

2. Az

a

valós paraméter mely értékeire van egyetlen olyan

(x, y)

valós számpár, amely kielégíti az

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 \leq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenséget és az

\begin{matrix} x - y + a = 0 \end{matrix}

egyenletet is?

3. Nevezzük szabályos tér

n

-szögnek a térbeli

n

-szöget, ha minden oldala egyenlő hosszúságú és a szomszédos oldalak ugyanakkora szöget zárnak be egymással. Milyen határok között változhat egy szabályos tér 4-szög egy szöge?

4. Igazoljuk, hogy ha

a

b

c

pozitív valós számok, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{a^{2} + b^{2} - a b} + \sqrt[]{b^{2} + c^{2} - b c} \geq \sqrt[]{a^{2} + c^{2} + a c} . \end{matrix}

5. Határozza meg az összes olyan

(a, b)

valós számpárt, amelyekre az

\begin{matrix} x^{4} - 12 x^{3} + a x^{2} + b x + 81 = 0 \end{matrix}

egyenletnek négy pozitív valós gyöke van!

6. Legyen

(a_{n})

a következő sorozat:

\begin{matrix} a_{1} = c (c \in R), a_{n} = {\begin{matrix} \frac{1}{1 + a_{n - 1}}, & ha a_{n - 1} \neq - 1, \\ - 1, & ha a_{n - 1} = - 1, \end{matrix} \end{matrix}

n > 1

egész. Milyen

c

esetén konvergens a sorozat, és mennyi a határértéke?

7. Adott a síkon 400 pont, amelyek közül semelyik három sem esik egy egyenesre. Bizonyítsuk be, hogy van olyan 100 darab, páronként diszjunkt négyszög, amelyeknek éppen az adott pontok a csúcsai. (Diszjunktnak nevezünk két négyszöget, ha ‐ mint zárt négyszöglapoknak ‐ nincs közös pontjuk.)

A díjkiosztó ünnepségre másnap, április 25-én került sor. A 29 résztvevő diák között egy első, két második, négy harmadik díjat osztott ki a versenybizottság. Nyolc diák kapott dicséretet. A rendezők vendégszeretetükkel nagyon kellemessé tették az ottlétünket. Jövőre Eger lesz a verseny helyszíne.