Cím:	A 44. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2003/szeptember, 323 - 324. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első nap   1. Legyen $A$ az $S=\left\{\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,1}000000\right\}$ halmaz egy $101$ elemű részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy találhatók olyan $t_1\mathrm{,}{t}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{t}_{100}$ számok az $S$ halmazban, amelyekre az $\begin{array}{c}{\displaystyle A_j=\left\{x+t_j\mid x\in A\right\}\left(j=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,100}\right)}\end{array}$ halmazok páronként diszjunktak.   2. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló $\left(a\mathrm{,}b\right)$ párt, amire $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^2}{2a{b}^2-b^3+1}}\end{array}$ pozitív egész.   3. Adott egy konvex hatszög, amelyben bármely két szemközti oldalra teljesül a következő tulajdonság: az oldalak középpontjai közötti távolság $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$-szerese a hosszuk összegének. Bizonyítsuk be, hogy a hatszög valamennyi szöge egyenlő. (Az $ABCDEF$ konvex hatszögben három szemközti oldalpár van: $AB$ és $DE$, $BC$ és $EF$, $CD$ és $FA$.)   Második nap   4. Legyen $ABCD$ egy húrnégyszög. A $D$ pontból a $BC$, $CA$ és $AB$ egyenesekre bocsátott merőlegesek talppontjai legyenek rendre $P$, $Q$ és $R$. Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül $PQ=QR$, ha az $ABC\sphericalangle$ és $ADC\sphericalangle$ szögek szögfelezőinek metszéspontja az $AC$ egyenesen van.   5. Legyen $n$ pozitív egész és legyenek $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ olyan valós számok, amelyekre $x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$ teljesül. $\left(a\right)$ Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|x_i-x_j|\right)}^2\le \frac{2\left(n^2-1\right)}{3}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\left(x_i-x_j\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ $\left(b\right)$ Mutassuk meg, hogy egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ számtani sorozatot alkotnak.   6. Legyen $p$ prímszám. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $q$ prímszám, amivel minden $n$ egész számra igaz az, hogy $n^p-p$ nem osztható $q$-val.