A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Rábai Imre 1. Az sorozatban minden pozitív egész számra Határozzuk meg a sorozat első tagjának az összegét.
Megoldás. Minden pozitív egész esetén , tehát a sorozat számtani sorozat. Így , az első 7 tag összege pedig
2. A egység sugarú és körök a pontban érintik egymást. A körök közös átmérőegyenese a kört a és az pontban metszi. A pontra illeszkedő, -vel -os szöget bezáró egyik szelő a kört a , a kört a pontban metszi , . Határozzuk meg az háromszög területét.
Megoldás. A Thalész-tétel szerint az . Az derékszögű háromszögben az átfogó egység, , tehát , egység. Az háromszög derékszögű, és mivel egység, azért egység, az háromszög területe | |
3. Oldjuk meg az | | egyenletrendszert, amelyben és valós számokat jelölnek.
Megoldás. Legyen , ahol és és , ahol és . Ekkor és , ahonnan és , és . Az egyenletrendszer egyetlen megoldása az , számpár.
4. Az háromszögben . Az csúcsponton átmenő szögfelező egyenes a oldalt olyan pontban metszi, amelyre . Számítsuk ki a háromszög másik két szögét.
Megoldás. A szögfelező osztásarány tétele szerint . Legyen , ekkor , így a szinusztétel alkalmazásával | |
5. Azon kerületű húrtrapézok közül, amelyeknek két szöge -os, melyiknek maximális a területe? Mekkora ez a terület?
Megoldás. Legyen a trapéz magassága cm, a rövidebb párhuzamos oldal cm. Ekkor a hosszabb párhuzamos oldal , a szárak hossza cm. A trapéz területe | | A feltétel szerint , ahonnan , tehát | | tehát . Teljes négyzetté kiegészítéssel Mivel , azért akkor maximális, ha cm. A maximális terület . Ez annak a húrtrapéznak a területe, amelynek párhuzamos oldalainak hossza (50-252) cm, illetve (50+252) cm, a szárak hossza 50 cm.
6. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket: | log|x-1|(x+6)+log1|x-1|x<0; | a) | | log|x-1|(x+6)+log1|x-1|x≥0. | b) |
Megoldás. Az egyenlőtlenségek akkor értelmezhetők, ha azaz ha 0<x<1 vagy 1<x<2 vagy x>2. Vegyük figyelembe, hogy ahol a>0, a≠1 és b>0. Ennek alkalmazásával: | log|x-1|(x+6)<log|x-1|x; | a) | | log|x-1|(x+6)≥log|x-1|x. | b) |
a) Ha 0<|x-1|<1, azaz most 0<x<1 vagy 1<x<2, akkor a logaritmusfüggvény szigorúan monoton csökkenő, tehát x+6>x, ami minden ilyen x-re teljesül. Ha |x-1|>1, azaz most x>2, akkor a logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekvő, tehát x+6<x, ami egyetlen x-re sem teljesül. Az egyenlőtlenség megoldásai a 0<x<1 vagy az 1<x<2 valós számok. b) Hasonló módon kapható, hogy az x>2 valós számok a megoldások.
7. Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle a, oldaléle b egység hosszú, ahol a és b pozitív egész számok. A hasáb felületét befestjük, majd a hasábot egységnyi élhosszúságú kockákra vágjuk. Az így kapott kockák között 112db olyan van, amelyeknek pontosan egy oldallapja festett. Határozzuk meg az eredeti hasáb felszínét és térfogatát!
Megoldás. Ha a≤2 vagy b=1, akkor nincs olyan kis kocka, amelynek csak egy lapja festett, így a>2 és b≥2. A hasáb élei mentén elhelyezkedő kis kockáknak legalább két lapja festett, így az egy oldalon festett kockák száma Átalakításokkal és a-2<a-2+2(b-2)=a+2b-6 és vegyük észre, hogy a két tényező azonos paritású. 56-nak két ilyen felbontása van: 56=2⋅28, illetve 56=4⋅14. Ha a-2=2, a=4, akkor b=15; ha a-2=4, a=6, akkor b=7, és mindkét megoldás megfelel a feltételeknek. Ha a=4 és b=15 egység, akkor a hasáb felszíne A=2a2+4ab=272 területegység, a térfogata V=a2b=240 térfogategység, ha a=6 és b=7, akkor a hasáb felszíne A=240 területegység, a hasáb térfogata V=252 térfogategység.
8. A k valós paraméter mely értékei esetén lesz az egyenlet négy különböző valós gyöke egy számtani sorozat négy egymást követő tagja?
Megoldás. Az adott egyenlet x2-re másodfokú, ahonnan x2=3 vagy x2=k. Az eredeti egyenletnek akkor van négy különböző valós gyöke, ha k>0 és a négy gyök: 3, -3, k, -k. A négy gyököt egy növekvő számtani sorozat négy egymás utáni tagjaként kétféleképpen írhatjuk fel attól függően, hogy k>3 vagy 0<k<3. Az első esetben -k, -3, 3, k, és így a második esetben -3, -k, k, 3, és így Csökkenő sorrendben való felírás nem ad újabb megoldást, ezért k=27 vagy k=13 esetén lesz a megadott negyedfokú egyenlet négy különböző gyöke egy számtani sorozat négy egymást követő tagja. |
|