Cím:	Miért természetes az e?
Szerző(k):	Kós Géza ,  Kós Rita
Füzet:	2003/május, 258 - 264. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kós Rita ‐ Kós Géza   Amikor az exponenciális függvény és a logaritmus fogalmát tanuljuk, a 2-es és a 10-es alap választása tűnik a legkézenfekvőbbnek. A 2-es alap előnye, hogy a kis pozitív egész számok között sok olyan van, aminek a 2-es alapú logaritmusa egész. A 10-es alap előnye pedig az, hogy sokjegyű számok logaritmusát is nagyon könnyű egyetlen, néhány oldalas logaritmustábla segítségével meghatározni. Amilyen természetesnek tűnik a 2-es és a 10-es alapú logaritmus, olyan megdöbbentő, hogy ``természetesnek'' mégsem ezeket nevezzük, hanem egy teljesen mesterséges számot választunk alapul. Ezt a mesterséges alapot Euler nyomán $e$-vel jelöljük, értéke közelítőleg $e\approx 2\mathrm{,}71828182845904523536$. Az $e$ számot a legtöbb tankönyv az ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ sorozat határértékeként, tehát egy $1^{\infty }$ alakú határértékként definiálja. Mások (Eulerhez hasonlóan) így definiálják: $e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \mathrm{.}$ Egyik definíció sem alkalmas arra, hogy az $e$-vel közvetlenül aritmetikai műveleteket végezzünk. Sőt, Euler, Liouville és Hermite eredményeiből azt is tudjuk, hogy az $e$ szám semmilyen egész együtthatós polinomnak sem gyöke; más szóval, a $\pi$-hez hasonlóan, transzcendens [3]. Az $e$ számmal nem könnyű számolni. Különösen a komplex függvénytan mutatott rá, hogy az $e^x$ függvény nagyon szoros kapcsolatban áll a trigonometrikus függvényekkel, és ezáltal az $e$ közeli rokona a $\pi$-nek. Nagyon sok olyan eset van, amikor ez a két szám együtt fordul elő egy matematikai eredményben, például a Stirling-formula szerint $n!\sim \sqrt[]{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$. Az $e$ szám tehát nem azért természetes, mert könnyű vele számolni, hanem mert olyan speciális tulajdonságai vannak, amelyek matematikai vizsgálatokban sokkal fontosabbak, mint az aritmetikai kezelhetőség. Ebben a cikkben az egyik ‐ a legfontosabb ‐ tulajdonságát fogjuk vizsgálni, amely ott áll az összes többi hátterében.   Egy kis matematikatörténet   A XV‐XVI. század Európájában egyre fontosabbá vált az ipar, a hajózás, a csillagászat, a kereskedelem, mely területek nemcsak műszaki, hanem matematikai vívmányoknak is köszönhették azt, hogy egyre professzionálisabbá váltak. A pénzemberek számára oly fontos kamatos kamat számításához táblázatokat készítettek (pl. Simon Stevin). Az ezekkel való számolást szerette volna Joost Bürgi (1552‐1632) felgyorsítani az általa készített táblázat segítségével. A svájci műszerkészítő mester adott $p$ kamatláb mellett az ${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$, ($n=\mathrm{0,1,2,}\text{...}$) mértani sorozathoz elemenként a $\mathrm{0,10,20,}\text{...}\mathrm{,10}n$ számtani sorozat elemeit rendelte. Így az első sorozat bármely két elemének szorzatához éppen az a szám tartozik, amely a megfelelő számtani sorozatból való elemek összege. A két sorozatot egymástól színezéssel különböztette meg (piros‐fekete). A ma már természetes jelöléssel tehát $\text{log}{}_a{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n=10n$. A táblázat ugyan már 1611-ben elkészült, ám csak kilenc évvel később jelent meg. Ennek köszönhette John Napier skót matematikus, hogy először az övé vált ismertté (1614). Napier munkája annak a mozgásnak a közelítő leírásából származik, amikor valaki egy $d$ hosszúságú úton halad úgy, hogy sebességének mérőszáma minden pillanatban megegyezik a hátralevő út hosszával. Az időt rövid, $\lambda$ hosszúságú szeletekre vágta, és a sebességet minden szeletben állandónak vette. Az így kapott út‐idő értékekből táblázatot készített. A megfeleltetést a görög logosz, azaz arány és arithmosz, azaz szám összegyúrásából latinosan logaritmusnak nevezte el. A táblázat elkészítésekor Napier a $\lambda$ számot ${10}^{-7}$-nek választotta ($d$-t pedig ${10}^7$-nek), mai szóhasználattal tehát azt is mondhatjuk, hogy Napier-féle táblázatban a logaritmus alapja ${\left(1-\frac{1}{{10}^7}\right)}^{{10}^7}$. Napier munkáját az Oxfordi Egyetem geometria professzora, Henry Briggs fejlesztette tovább. Elsőként azt szerette volna, hogy $\text{log}1=0$, azaz az alapszakasz hossza ${10}^7$ helyett egységnyi legyen. Másodsorban kívánatosnak tartotta, hogy a $10$ logaritmusa tíznek egy hatványaként álljon elő. Számos lehetőség megvitatása után a $\text{log}10=1$ mellett döntöttek, ami nemcsak a tízes alapú logaritmus megszületését jelentette, hanem magának a logaritmus alapjának megfogalmazását is. (Tehát ha egy szám $a$-nak az $L$-edik hatványa, akkor a szám $a$ alapú logaritmusa $L$.) A $2\mathrm{,}718\text{...}$ szám első ismert előfordulását Napier Descriptio című műve angol fordításának függelékében találhatjuk. (A függeléket feltehetőleg William Oughtred írta.) Itt szerepel a következő megállapítás: $\text{log}{}_{a}10=2\mathrm{,}302585$, ahol $a\approx 2\mathrm{,}71828$. Egy másik érdekes korai eredmény Gregory of Saint-Vincent nevéhez fűződik, aki 1647-ben a derékszögű hiperbola alatti területet számította ki. Szerinte az $xy=1$ egyenletű hiperbola és az $x$-tengely egységnyi területet fog közre az $x=1$-től kezdve $x=e$-ig. Euler az $e$ számot az 1727‐28-ból származó Elmélkedés az ágyúzás legújabb tapasztalatairól (Meditatio en experimenta explosione tormentorum nuper instituta) című kéziratában használta először. Később egy ‐ Goldbachnak írt ‐ levelében találkozhatunk az $e$-vel (1731), nyomtatásban legelőször 1736-ban jelent meg a Mechanica című tanulmányban. A szimbólum megválasztásának miértjéről csak találgatni lehet. Vannak, akik szerint az $e$ az exponenciális szó kezdőbetűje, mások az $a$, $b$, $c$, $d$ ‐ az akkori matematikát művelők között bevetten használt ‐ betűk sorában következőt látják benne. A rosszmájúak és irigyek véleménye természetesen az, hogy Euler a számot önmagáról nevezte el. Euler megmutatta, hogy az $e$ szám irracionális. 1844-ben Liouville bebizonyította, hogy egyetlen egész együtthatós másodfokú polinomnak sem gyöke, sőt, Hermite 1873-ban azt is bebizonyította, hogy transzcendens. A komputertechnika fejlődésével egyre több jegyét számolják ki $e$-nek, a minél pontosabb meghatározásért folyó verseny napjainkban is tart. (1999-ig ${10}^9$ nagyságrendű tizedes jegyet állapítottak meg.)   Az exponenciális függvény meredeksége   Az $e$ szám legérdekesebb és egyben legfontosabb tulajdonsága az exponenciális és logaritmusfüggvények meredekségével kapcsolatos. A különféle alapú exponenciális függvények grafikonjait a középiskolából viszonylag jól ismerjük. Az $x\mapsto a^x$ függvény szigorúan monoton nő, ha $a>1$, szigorúan monoton fogy, ha $0<a<1$ és azonosan $1$, ha $a=1$. Minden esetben igaz az, hogy a grafikon egy folytonos görbe, amely átmegy a $\left(0;1\right)$ ponton. Tetszőleges alap esetén igaz, hogy az $a^x$ függvény konvex. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a grafikon bármelyik két pontját egy egyenes szakasszal összekötve, a szakasz a grafikon fölött helyezkedik el (1. ábra).     1. ábra   A konvexitást formálisan is leírjuk. Legyen $A=\left(x;a^x\right)$ és $B=\left(y;a^y\right)$ a két végpont. Az $AB$ szakasz egy belső $C$ pontját úgy határozzuk meg, hogy a szakaszt valamilyen arányban felosztjuk. Ha az arány $q:p$, ahol $p$, $q$ pozitív számok és $p+q=1$, akkor az osztópont koordinátái $C=\left(px+qy;p{a}^x+q{a}^y\right)$, a grafikon $C$ ,,alatti'' pontja pedig $D=\left(px+qy;a^{px+qy}\right)$. Az tehát, hogy az exponenciális függvény konvex, azt jelenti, hogy $a^{px+qy}\le p{a}^x+q{a}^y$ teljesül bármelyik lehetséges $x$, $y$, $p$, $q$ számnégyes esetén. Azt, hogy az exponenciális függvény konvex, a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség segítségével bizonyíthatjuk be. Az $a^{px+qy}$ és $p{a}^x+q{a}^y$ kifejezések nem mások, mint az $a^x$ és $a^y$ számok súlyozott mértani, illetve számtani közepe a $p$ és $q$ súlyokkal. Az exponenciális függvény grafikonjához bármelyik pontjában, így a $\left(0;1\right)$ pontban is érintőt húzhatunk. (Ennek bizonyításától most eltekintünk.) Az érintő meredeksége természetesen attól függ, hogy mi az alap. A továbbiakban arra vagyunk kiváncsiak, hogy milyen alap esetén lesz a $\left(0;1\right)$-ben húzott érintő meredeksége $1$, azaz mikor érinti az exponenciális függvény az $y=x+1$ egyenest. A keresett alapot jelöljük ‐ egyelőre ‐ $a$-val. Az $a$ számra jó becsléseket az érintő $\left(0;1\right)$-hez közeli pontjai segítségével kaphatunk. Először vegyünk egy nagy pozitív valós számot ($x$) és tekintsük az $\left(\frac{1}{x};1+\frac{1}{x}\right)$ pontot. A konvexitás miatt a teljes érintő a grafikon alatt van (kivéve az érintési pontot, 2. ábra), tehát $a^{\frac{1}{x}}>1+\frac{1}{x}$; $x$-edik hatványra emelve $a>{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$.     2. ábra   Második becslésünkhöz tekintsük a $\left(-\frac{1}{x+1};1-\frac{1}{x+1}\right)$ pontot. Ez a pont is a grafikon alatt van, tehát $a^{-\frac{1}{x+1}}>1-\frac{1}{x+1}$. Ezúttal $-\left(x+1\right)$-edik hatványra emelve (mivel a kitevő negatív, az egyenlőtlenség iránya megfordul!), $\begin{array}{c}{\displaystyle a<{\left(1-\frac{1}{x+1}\right)}^{-\left(x+1\right)}={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x+1}\mathrm{.}}\end{array}$ Összefoglalva, a keresett alapra teljesülnie kell, hogy tetszőleges $x>0$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x<a<{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x+1}\mathrm{.}}\end{array}$ Itt azonnal meg lehet kérdezni, hogy az $x$ helyére nagyobb számot írva erősebb becslést kapunk-e. Megmutatjuk, hogy így van, az $x\mapsto {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ függvény monoton nő, az $x\mapsto {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x+1}$ függvény pedig monoton fogy. Legyen $0<u<v$ két tetszőleges pozitív valós szám. Először azt fogjuk megmutatni, hogy ${\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u<{\left(1+\frac{1}{v}\right)}^v$. Legyen $b={\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u$; az $x\mapsto b^x$ függvény grafikonja átmegy az $U=\left(\frac{1}{u};1+\frac{1}{u}\right)$ ponton (3. ábra). A konvexitás miatt a $V=\left(\frac{1}{v};1+\frac{1}{v}\right)$ pont a $b^x$ függvény grafikonja fölött van, tehát $1+\frac{1}{v}>b^{\frac{1}{v}}$. A $v$-edik hatványokat véve $\begin{array}{c}{\displaystyle b={\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u<{\left(1+\frac{1}{v}\right)}^v\mathrm{.}}\end{array}$     3. ábra   Legyen most $c={\left(1+\frac{1}{u}\right)}^{u+1}$. Az $x\mapsto c^x$ függvény grafikonja átmegy a $P=\left(-\frac{1}{u+1};1-\frac{1}{u+1}\right)$ ponton. A $Q=\left(-\frac{1}{v+1};1-\frac{1}{v+1}\right)$ pont a grafikon fölött van, tehát $c^{-\frac{1}{v+1}}<1-\frac{1}{v+1}$. Ezt $-\left(v+1\right)$-edik hatványra emelve az egyenlőtlenség iránya ismét megfordul, $c={\left(1+\frac{1}{u}\right)}^{u+1}>{\left(1+\frac{1}{v}\right)}^{v+1}$ (4. ábra).     4. ábra   Természetesen mindkét függvény monotonitását közvetlenül is igazolhatjuk a súlyozott közepek közötti egyenlőtlenségekkel. Írjuk fel az $1+\frac{1}{u}$ és $1$ számokra a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az $u$, illetve $v-u$ súlyokkal: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle {\left({\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u\cdot 1^{v-u}\right)}^{\frac{1}{v}}}& \hfill {\displaystyle <}\hfill & {\displaystyle \frac{u\cdot \left(1+\frac{1}{u}\right)+\left(v-u\right)\cdot 1}{v}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(1+\frac{1}{u}\right)}^u}& \hfill {\displaystyle <}\hfill & {\displaystyle {\left(1+\frac{1}{v}\right)}^v\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Hasonlóan írjuk fel a súlyozott harmonikus és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget is az $u+1$ és $v-u$ súlyokkal: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \frac{v+1}{\frac{u+1}{1+\frac{1}{u}}+\frac{v-u}{1}}}& \hfill {\displaystyle \le }\hfill & {\displaystyle {\left({\left(1+\frac{1}{u}\right)}^{u+1}\cdot 1^{v-u}\right)}^{\frac{1}{v+1}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(1+\frac{1}{v}\right)}^{v+1}}& \hfill {\displaystyle <}\hfill & {\displaystyle {\left(1+\frac{1}{u}\right)}^{u+1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A monoton növekvő alsó becslés és a monoton fogyó felső becslés hányadosa $1$-hez tart. Ebből következik, hogy a két függvénynek közös határértéke van a végtelenben (5. ábra). Ha a közös határértéket (amit most már nyugodtan nevezhetünk $e$-nek) választjuk az exponenciális függvény alapjának, a $\left(0;1\right)$ pontbeli érintő iránya éppen ${45}^{\circ }$-os lesz. Az $e$ számnak ez az a tulajdonsága, ami miatt a matematika legkülönfélébb területein felbukkan.     5. ábra   Az $e^x$ függvénynek nem csak a $\left(0;1\right)$-beli meredeksége érdekes. A grafikon tetszőleges $\left(x;e^x\right)$ pontjában az érintő meredeksége éppen $e^x$, vagy más szóval, $\left(e^x\right)\text{'}=e^x$. Ez a tulajdonság is az előbb látottak egyszerű következménye. A célunk az volt, hogy rámutassunk az okra, ami miatt az ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ sorozat határértéke különleges, hogy miért éppen ezt a számot érdemes az exponenciális és a logaritmusfüggvény alapjának választani. Egy tankönyvben, ahol a gondos, precíz felépítés nagyon fontos, a sorrend többnyire teljesen más. Az $e$ számot jóval azelőtt szokás definiálni, mint hogy érintőkről és azok meredekségéről, azaz differenciálásról szó esne. Előbb ‐ a sorozatok határértékéről szóló fejezetekben ‐ bebizonyítjuk, hogy az ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ sorozat konvergens, és a határértékét elnevezzük $e$-nek. Csak később, a függvények határértéke és a folytonosság fogalmának bevezetése után, a differenciálásról szóló fejezetben találkozunk azzal, hogy az $e^x$ függvény milyen érdekes a deriválás szempontjából.   Feladatok     1. Legyen $n$ tetszőleges pozitív egész. Adjunk közvetlen bizonyítást arra, hogy ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<3$.   2. Bizonyítsuk be, hogy $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\text{...}=e$.   3. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $a$ valós szám esetén az ${\left(1+\frac{a}{x}\right)}^x$ függvénynek van határértéke a $\infty$-ben.   4. Definiáljuk az $\text{exp}$ függvényt a következőképpen: $\text{exp}\left(a\right)=\underset{x\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}{\left(1+\frac{a}{x}\right)}^x$. Mutassuk meg, hogy $\text{exp}\left(a+b\right)=\text{exp}\left(a\right)\cdot \text{exp}\left(b\right)$, és valójában $\text{exp}\left(a\right)=e^a$.   5. Bizonyítsuk be, hogy $e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\text{...}\mathrm{.}$   Hátha valaki nem ismeri   A differenciáloperátor összetalálkozik egy függvénnyel. Azt mondja neki az operátor: ‐ Add nekem az értékkészletedet, különben megderivállak! ‐ Hahaha! Én vagyok az $e^x$.   Az $e$ tizedes jegyeinek megjegyzésére több vicces mondatot, verset gondoltak ki, amelyekben minden számjegynek egy-egy szó betűinek száma felel meg, például ``By omnibus I traveled to Brooklyn.'' ``We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: `!' when first it was found, yes, loudly `!'. My students perhaps will compute $e$, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!'' (Barel, 1995)   Irodalom   [1]  Eli Maor: $e$ ‐ The history of a number, Princeton University Press (Princeton, New Jersey, 1994). [2]  Sain Márton: Nincs királyi út, Gondolat (Budapest, 1986). [3]  Freud Róbert ‐ Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó (Budapest, 2000), 369‐401. oldal. [4]  http://mathworld.wolfram.com/e.html [5]  http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/$\sim$history/HistTopics/e.html