Kezdőlap


Cím:	Ortogonális kódok alkalmazása a harmadik generációs mobilkommunkiációs rendszerben
Szerző(k):	Hegyi Barnabás
Füzet:	2003/március, 158 - 164. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képzeljük el egy nemzetközi repülőtér érkezési várótermét. Egy angol anyanyelvű érkező utas fülét angol nyelvű beszélgetés hangja üti meg először, ugyanígy egy magyar utas magyar nyelvű beszélgetésre figyel fel a leghamarább. Akkor is képesek figyelemmel kísérni és megérteni a saját anyanyelvükön zajló beszélgetést, ha a beszélgetéssel egyidejűleg több másik idegen nyelvű beszélgetés is hallható akár ugyanakkora hangerővel. Ezenkívül egy dörmögő férfihang és egy vékony női hang egyvelegét hallgatva is képesek a két beszélőt egymástól függetlenül követni, érteni még akkor is, ha azok ugyanazt a nyelvet beszélik. Nyilvánvalóan két felváltva, nem egyszerre beszélő várótermi utas beszéde is könnyen szétválasztható, megérthető, bár egy ilyen helyzet a valóságban ritkán fordulhat elő. Az előbbi példákban közös, hogy a beszélők és a hallgatók ugyanabban a légtérben, hangtérben tartózkodva próbálnak kommunikálni, és, mint láttuk, a hallgatónak a különböző beszélők beszédének szétválasztására számos lehetőség áll rendelkezésére.
Egy híradástechnikai rendszer esetében is gyakran fordul elő, hogy több felhasználó szeretne a rendszer rendelkezésére álló erőforrásokhoz hozzáférni, azokat igénybe venni. Ilyen erőforrás például a rendszer számára kijelölt frekvenciasáv vagy idő. A zavarmentes kommunikáció megvalósításához tehát a felhasználók számára valamelyik erőforrás megosztásával megfelelően elválasztott ,,erőforrás-szeleteket'' kell kijelölni. A kódosztásos többszörös hozzáférésű kommunikációs rendszerekben többek között a címben hivatkozott ortogonális kódokat használják a különböző kommunikációs csatornák elkülönítésére. A következőkben a kódosztásos többszörös hozzáférés (CDMA ‐ Code Division Multiple Access) alapjaival, illetve egy konkrét rendszerrel ismerkedünk meg röviden, majd az ortogonális kódokat vizsgáljuk meg részletesebben.
CDMA alkalmazásakor a különböző felhasználók (pl. mobilkészülékek) ugyanazt a frekvenciasávot ugyanabban az időben használják. A felhasználók jeleinek szétválasztását az azokhoz rendelt egyedi kódokkal oldják meg. Ez a hozzáférési mód leginkább arra a bevezetőbeli példára hasonlít, amelyben a hallgató különböző nyelvű zsivajban próbálja az anyanyelvén hallható beszédet kiszűrni, megérteni. A CDMA-ban adáskor az információs biteket az adott csatornához kijelölt kód segítségével számos ún. chippé sokszorozzák^{$^{*}$}. A chip a kódolt jel alapegysége. Vételkor ugyanazzal a kóddal állítják vissza az eredeti biteket. Egy bithez a kód hosszával megegyező számú chipet rendelnek, ezt a számot kiterjesztési tényezőnek nevezik. Az időegység alatt küldött bitek, illetve chipek számát bit-, illetve chipsebességnek nevezik, hányadosuk nyilvánvalóan megegyezik a kiterjesztési tényezővel.
A harmadik generációs mobilkommunikációs rendszer (3G) hozzáférési technológiájának a szélessávú kódosztásos többszörös hozzáférést (WCDMA ‐ Wideband CDMA) választották. A WCDMA rövidítés egyben a harmadik generációs rendszer szabványát is jelöli. A rendszer sávszélessége 5 MHz, chipsebessége 3,84 Mchip/s. A 3G szabványosításakor követelményként tűzték ki, hogy a felhasználók különböző sebességű vonal-, illetve csomagkapcsolt szolgáltatásokat egyidejűleg érhessenek el. Vonalkapcsolt szolgáltatás például a videokonferencia, hiszen a kapcsolatnak, a vonalnak a beszélgetés teljes ideje alatt fenn kell állnia, a kommunikációban nem engedhető meg késleltetés. Az Interneten való böngészés pedig csomagkapcsolt szolgáltatás, ugyanis nem szükséges hozzá állandó kapcsolat, az információ továbbítása darabokban, ún. csomagokban késleltetéssel történhet. Sebesség szempontjából a videokonferencia a nagysebességű, míg az Interneten történő böngészés az alacsonysebességű szolgáltatások közé tartozik. Mivel a rendszer chipsebessége állandó, a különböző bitsebességű, sávszélességű csatornák kiterjesztése eltérő kiterjesztési tényezőkkel, vagyis különböző hosszúságú kódokkal történik.
A WCDMA-ban az ugyanazon adótól származó csatornák elválasztása céljából csatornánként egyedi csatornakódokat alkalmaznak, mellyel kialakul a csatorna eredeti bitsebességétől független chipsebesség. Aztán az így kapott jeleket a 2. ábrán (lásd később) látható módon egy egyszerű összegzéssel összefogják és ez kerül kisugárzásra^{$^{*}$}.
A csatornakódokat a kommunikáció különböző irányait tekintve tehát a mobilkészülék irányában az ugyanazon bázisállomás által sugárzott, míg az ellenkező irányban az ugyanazon mobilkészüléktől származó csatornák megkülönböztetésére használják. (A mobilkommunikációs rendszerekben az egyes felhasználók nem közvetlenül egymással kommunikálnak, köztük a bázisállomások alkotta átjátszó-rendszer teremti meg a kapcsolatot.) Erre az 1. ábra mutat egy példát. A bázisállomás a $C_{1}$ kóddal kódolt csatornán a bal oldali, míg a $C_{2}$ kóddal kódolt csatornán a jobb oldali mobilkészülék számára sugároz információt. Természetesen a két csatorna egyszerre kerül kisugárzásra, ugyanabból a jelből a bal oldali mobilkészülék a $C_{1}$ , a jobb oldali pedig a $C_{2}$ kód segítségével nyeri ki a számára hasznos, neki szánt információt. A mobilkészülékek adáskor a $C_{3}$ , illetve a $C_{4}$ kódokkal kódolják jeleiket, a bázisállomás az általa vett jelből a $C_{3}$ kóddal a bal oldali, a $C_{4}$ kóddal pedig a jobb oldali mobilkészüléktől érkező információt szűri ki. A valóságban, mint már említettük, a kódolás jóval bonyolultabb módon történik.

1. ábra. Példa a kommunikáció különböző irányaiban használt csatornakódok kijelölésére

A 2. ábra a WCDMA leegyszerűsített működését mutatja be két csatorna esetére. Először vizsgáljuk meg, hogyan áll elő az adó által kisugárzandó jel. Az információs bitek alkotta jelfolyam egy bináris értékű sorozatként fogható fel:

\begin{matrix} x_{n} \in {0,1}, n egész. \end{matrix}

(x_{n})

sorozathoz egy kétértékű függvényt rendelnek:

\begin{matrix} x (t) = {(- 1)}^{x_{n} + 1}, n T_{b} \leq t < (n + 1) T_{b}, aholT_{b}a bitidő. \end{matrix}

2. ábra. Számpélda a WCDMA rendszer leegyszerűsített működésére. A dekódolás után valóban a kódolás előtti biteket nyerjük vissza.

A kód egy rendezett szám

k

-s:

c = (\begin{matrix} c_{1} & c_{2} & ... & c_{k} \end{matrix})

, ahol

c_{i} = \pm 1

a kód komponensei,

i = 0, ..., k - 1

és

k

a kód hossza. A kódhoz is egy kétértékű függvényt rendelnek:

\begin{matrix} c (t) = c_{n mod k}, n T_{c} \leq t < (n + 1) T_{c}, \end{matrix}

ahol

T_{c}

a chipidő és

T_{b} = k T_{c}

.
Az

y (t)

kiterjesztett jelet az

x (t)

információs jel és a

c (t)

kiterjesztő jel összeszorzásával nyerik. A két csatorna kódolt, kiterjesztett jelét egy egyszerű összegzéssel egyetlen

z (t)

jellé fogják össze, ez kerül kisugárzásra:

\begin{matrix} z (t) = y_{1} (t) + y_{2} (t) = c_{1} (t) x_{1} (t) + c_{2} (t) x_{2} (t) . \end{matrix}

Vételkor a

z (t)

vett jelből a

c (t)

kiterjesztő (dekódoló) jellel dekódolják az információs jelet:

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1}' (t) & = c_{1} (t) z (t) = c_{1} (t) c_{1} (t) x_{1} (t) + c_{1} (t) c_{2} (t) x_{2} (t), \\ x_{2}' (t) & = c_{2} (t) z (t) = c_{2} (t) c_{1} (t) x_{1} (t) + c_{2} (t) c_{2} (t) x_{2} (t) . \end{matrix} \end{matrix}

A vett bit értékét az

x' (t)

dekódolt jel alatti előjeles területnek az adott bit tartamára vonatkoztatott értéke határozza meg. Ha a két információs jel azonos bitsebességű, egy bit tartama alatt az

x_{1} (t)

x_{2} (t)

jelek állandók, vagyis az említett előjeles terület a

c_{1} (t) c_{1} (t)

, illetve

c_{2} (t) c_{2} (t)

és a

c_{1} (t) c_{2} (t)

görbék alatti előjeles területtől és az

x_{1} (t)

x_{2} (t)

jelek az adott bit tartama alatti (állandó) értékétől függ. A

k

hosszúságú

c^{m}

c^{n}

kódokhoz rendelt kiterjesztő függvények

c_{m} (t) c_{n} (t)

szorzata alatti előjeles terület egy bit tartamára vonatkoztatott értékét a két kód szorzatának nevezzük. (A

c^{m}

jelölésmódban

m

felső index, mely az egyes kódok megkülönböztetését szolgálja.) A szorzat értéke a

\begin{matrix} c^{m} \cdot c^{n} = \sum_{i = 0}^{k - 1} c_{i}^{m} \cdot c_{i}^{n} \end{matrix}

kifejezés alapján határozható meg. A vett bit értékére vonatkozó döntés alapjául szolgáló előjeles terület értéke az 1-es dekódoló esetében tehát a

\begin{matrix} (c^{1} \cdot c^{1}) x_{1} (t) + (c^{1} \cdot c^{2}) x_{2} (t), \end{matrix}

míg a 2-es dekódoló esetében a

\begin{matrix} (c^{2} \cdot c^{1}) x_{1} (t) + (c^{2} \cdot c^{2}) x_{2} (t) \end{matrix}

kifejezés alapján számítható ki. Vagyis, ha

\begin{matrix} c^{1} \cdot c^{2} = 0, \end{matrix}

akkor az

r

-edik (

r = 1; 2

) dekódolóban előálló előjeles terület csak az

r

-edik csatornán küldött bit értékétől függ, ami éppen az átvitel célja. Ha két kód szorzata zérus, akkor ortogonálisnak nevezzük őket. Egy kód önmagával vett szorzata nyilvánvalóan éppen a kód hossza. Következésképpen, ha a két példabeli csatornához rendelt kód ortogonális, akkor a terület az adott bithez rendelt

\pm 1

érték és a kód hosszának a szorzata. Tehát, ha az előjeles terület értéke a kód hossza, akkor a küldött bit ,,1''-es, ha pedig a kód hosszának ellentettje, akkor a küldött bit ,,0''-s értékű. (Könnyen ellenőrizhető, hogy a számpéldában használt két kód ortogonális.)
Ortogonális kódok pl. a WCDMA rendszerben használt Walsh-kódok, melyek a J. L. Walsh által 1923-ban publikált és róla elnevezett Walsh-függvényekből (is) származtathatók. A Walsh-kódokat egyszerű módon például az úgynevezett kódfa segítségével állíthatjuk elő. A 3. ábrán látható kódfa a következőképpen épül fel: A fa minden ágához egy kódot rendelünk, minden elágazáskor két új ág, vagyis két új kód keletkezik. Az első új ághoz tartozó kódot

(c^{2 k,2 l})

a ,,szülőág'' kódjának

(c^{k, l})

önmaga után fűzésével nyerjük, míg a második ,,utódághoz'' rendelt kódot

(c^{2 k,2 l + 1})

úgy kapjuk meg, hogy a ,,szülőág'' kódja mögé annak ellentettjét ragasztjuk. A kódfa kiinduló ,,őságához'' az (1) kódot rendeljük. A kódok generálása formálisan a következő:

\begin{matrix} \begin{matrix} c^{1,0} = (1), \\ c_{i}^{2 k,2 l} = c_{i}^{2 k,2 l + 1} = c_{i}^{k, l}, & i = 0, ..., k - 1, \\ c_{i}^{2 k,2 l} = - c_{i}^{2 k,2 l + 1} = c_{i - k}^{k, l}, & i = k, ...,2 k - 1, \\ l = 0, ..., k - 1, & k = 2^{p}, \end{matrix} \end{matrix}

ahol

c_{i}^{k, l}

a kódfa

k

indexű szintje

l + 1

-edik kódjának

i + 1

-edik komponense,

i = 0, ..., k - 1

(110,38)(0,0) (0,17.5)

(

1,0)35 (35,27.5)

(

1,0)35 (35,7.5)

(

1,0)35 (70,32.5)

(

1,0)35 (70,22.5)

(

1,0)35 (70,12.5)

(

1,0)35 (70,2.5)

(

1,0)35 (105,35)

(

1,0)5 (105,30)

(

1,0)5 (105,25)

(

1,0)5 (105,20)

(

1,0)5 (105,15)

(

1,0)5 (105,10)

(

1,0)5 (105,5)

(

1,0)5 (105,0)

(

1,0)5 (35,7.5)

(

0,1)20 (70,2.5)

(

0,1)10 (70,22.5)

(

0,1)10 (105,0)

(

0,1)5 (105,10)

(

0,1)5 (105,20)

(

0,1)5 (105,30)

(

0,1)5 (17.5,18)

\begin{matrix} ( \end{matrix}

0,0)[b]

c^{1,0} = (1)

(52.5,27)

\begin{matrix} ( \end{matrix}

0,0)[b]

c^{2,0} = (\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix})

(52.5,7)

\begin{matrix} ( \end{matrix}

0,0)[b]

c^{2,1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 \end{matrix})

(87.5,32)

\begin{matrix} ( \end{matrix}

0,0)[b]

c^{4,0} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix})

(87.5,22)

\begin{matrix} ( \end{matrix}

0,0)[b]

c^{4,1} = (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & - 1 \end{matrix})

(87.5,12)

\begin{matrix} ( \end{matrix}

0,0)[b]

c^{4,2} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{matrix})

(87.5,2)

\begin{matrix} ( \end{matrix}

0,0)[b]

c^{4,3} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix})

3. ábra. A Walsh-kódokat generáló kódfa

A következőkben röviden ellenőrizzük a fa kódjainak ortogonális tulajdonságát.

1A. állítás. Egy elágazáskor keletkező két utódkód

(c^{2 k,2 l}

és

c^{2 k,2 l + 1})

ortogonális egymásra.

Igazolás. A két kódban az összefűzés helyétől balra elhelyezkedő komponensek (

i = 0, ..., k - 1

) értékei egymással megegyeznek, míg az attól jobbra találhatók (

i = k, ...,2 k - 1)

értékei éppen egymás ellentettjei. Továbbá az összeragasztott kódrészletek egyforma (

k

) hosszúságúak és a komponensek mind egységnyi abszolút értékűek. A két kód szorzata

\begin{matrix} \begin{matrix} c^{2 k,2 l} \cdot c^{2 k,2 l + 1} & = \sum_{i = 0}^{2 k - 1} c_{i}^{2 k,2 l} \cdot c_{i}^{2 k,2 l + 1} = \sum_{j = 0}^{k - 1} c_{j}^{k, l} \cdot c_{j}^{k, l} + \sum_{j = 0}^{k - 1} c_{j}^{k, l} \cdot (- c_{j}^{k, l}) = \\ = \sum_{j = 0}^{k - 1} 1 + \sum_{j = 0}^{k - 1} (- 1) = k + (- k) = 0, \end{matrix} \end{matrix}

vagyis a két kód ortogonális.

\begin{matrix}  \end{matrix}

1B. állítás. Ha a fában két, azonos szinten

(k > 1)

lévő szülőkód ortogonális

(c^{k, l}

és

c^{k, m})

, akkor a tőlük közvetlenül származó ,,utódkódok''

(c^{2 k,2 l + a}

és

c^{2 k,2 m + b})

is ortogonálisak egymásra.

Igazolás. A két kód szorzatára:

c^{2 k,2 l + a}

\cdot

c^{2 k,2 m + b}

\sum_{i = 0}^{2 k - 1}

c_{i}^{2 k,2 l + a}

\cdot

c_{i}^{2 k,2 m + b}

= =

\sum_{j = 0}^{k - 1}

c_{j}^{k, l}

\cdot

c_{j}^{k, m}

\sum_{j = 0}^{k - 1}

{(- 1)}^{a}

\cdot

c_{j}^{k, l}

{(- 1)}^{b}

c_{j}^{k, m}

= =

\sum_{j = 0}^{k - 1}

c_{j}^{k, l}

\cdot

c_{j}^{k, m}

{(- 1)}^{a + b}

\sum_{j = 0}^{k - 1}

c_{j}^{k, l}

\cdot

c_{j}^{k, m}

(1+

{(- 1)}^{a + b}

) (

c^{k, l}

\cdot

c^{k, m}

) = 0, a,b = 0,1, l=0,

...

,k-1, m

\neq

\begin{matrix}  \end{matrix}

1. állítás. Ha a fa

k > 1

indexű szintjén a kódok páronként ortogonálisak, akkor az ebből származó

2 k

indexű szinten is páronként ortogonálisak lesznek a kódok.

Igazolás. Az állítás igazsága az 1A. és 1B. állítások igazságából következik.

2. állítás. A

2

indexű kódok ortogonálisak.

Igazolás. Felírva a két kód szorzatát:

\begin{matrix} c^{2,0} \cdot c^{2,1} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0. \end{matrix}

Állítás. A kódfa

k = 2^{p}

(k > 1)

indexű szintjén található kódok páronként ortogonálisak.

Igazolás. Használjuk a teljes indukciót: A 2. állítás igazsága miatt az állítás igaz

k = 2

-re, az 1. állítás igazsága miatt az állítás igazsága öröklődik

k = 2

-ről

k = 4

-re,

k = 4

-ről

k = 8

-ra és stb., az összes

k = 2^{p}

-re.

\begin{matrix} A f a k i n d e x ű s z i n t j é n e l h e l y e z k e d ő k ó d o k a t k - a d r e n d ű W a l s h - k ó d o k n a k n e v e z i k . A k ó d o k s z i m m e t r i a t u l a j d o n s á g a i k k ö v e t k e z t é b e n e l t é r ő b i t s e b e s s é g ű c s a t o r n á k e s e t é n i s b i z t o s í t j á k a z o k e l v á l a s z t á s á t . K é t k ü l ö n b ö z ő s á v s z é l e s s é g ű c s a t o r n a e l v á l a s z t á s a a k k o r j ö n l é t r e, h a a s z e p a r á c i ó r a h a s z n á l t k ó d o k k ö z ü l a r ö v i d e b b i k n e m,, ő s e'' a h o s s z a b b i k n a k . A z á l l í t á s i g a z o l á s a a f e n t i e k h e z h a s o n l ó m ó d s z e r r e l t ö r t é n h e t, a b i z o n y í t á s t a z o l v a s ó r a b í z z u k . \end{matrix}

Irodalom

[1]	Ericsson WCDMA System Overview, EN/LZT 123 6208 R2A.

[2]	J. S. Lee and L. E. Miller: CDMA Systems Engineering Handbook, 1998, Artech House, Boston, London.

^{$^{*}$} Az időben változó jelek a frekvenciatartományban spektrumukkal írhatók le, ebből pl. megállapítható, hogy a jel milyen széles frekvencia-intervallumban, frekvenciasávban helyezkedik el. A CDMA-ban a kódolás során egy, a kódolás előtti jelhez képest gyorsabban változó, vagyis nagyobb sávszélességű jelet kapunk, ezért nevezik a kódosztásos többszörös hozzáférésű rendszereket spektrum-kiterjesztéses vagy szórt spektrumú rendszereknek is.

^{$^{*}$} A valóságban a jel kisugárzása előtt a különböző adók jeleinek megkülönböztetésére adónként egyedi, álvéletlen tulajdonságú, ún. ,,zagyváló'' kódokat is alkalmaznak. Ezt a műveletet az egyszerűség kedvéért a 2. ábra nem tartalmazza. Vételkor a kétféle kód alkalmazása éppen fordítva történik. A továbbiakban mi itt csak a csatornakódokkal foglalkozunk.