A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Egy derékszögű háromszögben a befogók összege egység, a beírható kör sugara egység. Számítsuk ki a derékszögű háromszög körülírt körének sugarát; területét; a hozzáírható körök sugarát.
Megoldás. Legyen a derékszögű háromszög két befogója és , az átfogója , ahol a körülírt kör sugara. Egy külső pontból a körhöz húzható érintőszakaszok hosszának egyenlőségét felhasználva ; egység. A háromszög területe . Mivel , azért ; területegység. A háromszöghöz írható körök sugara rendre , , , ahol a félkerület hossza. Tudjuk, hogy ; , amiből és , vagy fordítva. Mivel , azért egység, ezért , és egység.
2. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: | |
Megoldás. Az egyenlet halmazon értelmezett és minden ilyen szám megoldás, mert azonos átalakításokkal mindkét oldalon álló kifejezés -gyel azonos. Az egyenlet minden , valós számra értelmezett és minden ilyen szám megoldása az egyenletnek, hiszen és . Az egyenlet az halmazon értelmezett és itt azonosság, mert azonos átalakításokkal | |
3. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán, ahol valós paraméter: | |
\vskip6pt\hbox{\bf Megoldás.} A második kifejezés akkor értelmezett, ha | |
Az első egyenletből , a másodikból , , ahonnan | |
Ha , akkor és , tehát és . Ekkor , és ez a számpár valóban megoldás, hiszen ekkor Ha , akkor és , tehát és . Ekkor , és ez a számpár is megoldás, hiszen ekkor \vskip6pt\hbox{\bf 4.} \hbox{\it Az húrtrapéz rövidebb párhuzamos oldalának hossza, egység, magassága, egység ( a pont merőleges vetülete az oldalon), az átló merőleges a oldalra. Számítsuk ki a hosszabb párhuzamos oldal , a szárak és az átlók hosszát.} \vskip6pt\hbox{\bf Megoldás.} A feladat szövegében adott jelölés szerint legyen , ekkor . Az derékszögű háromszögben a magasságtétel alkalmazásával , ahonnan egység, tehát egység. A Pitagorasz-tétel alkalmazásával egység, az átlók hossza egység. \vskip6pt\hbox{\bf 5.} \hbox{\it Az egyenletű parabola melyik pontja van a legközelebb az egyenletű egyeneshez? Mennyi ez a legkisebb távolság?} \vskip6pt\hbox{\bf Megoldás.} A parabolának az a pontja van legközelebb az adott egyeneshez, amelyben az adott egyenessel párhuzamos egyenletű egyenes érinti a parabolát. Az egyenletű egyenes pontosan akkor érinti az egyenletű parabolát, ha az egyenlet diszkriminánsa nulla: , , . Ekkor , , az érintési pont . A legkisebb távolság: egység. \vskip6pt\hbox{\bf 6.} \hbox{\it Az háromszögben , , a csúcsból induló belső szögfelezőszakasz, egység. Számítsuk ki az szöget, a háromszög területét és az oldal hosszát.} \vskip6pt\hbox{\bf Megoldás.} Legyen az . Az ponton át a -gyel párhuzamos egyenes a egyenest a pontban metszi. Mivel | | azért egység és . , tehát | |
A háromszög területe területegység, , egység. \vskip6pt\hbox{\bf 7.} \hbox{\it Tekintsük az , függvényt. Határozzuk meg a függvény értékkészletét. Mely helyen veszi fel a függvény a legkisebb, illetve a legnagyobb értékét?} \vskip6pt\hbox{\bf Megoldás.} A függvény azokat a értékeket veszi fel, amelyekre az egyenletnek van valós megoldása. minden valós számra, hiszen A egyenletnek pontosan akkor van valós megoldása, ha az egyenlet diszkriminánsa Ez pontosan akkor teljesül, ha . A függvény értékkészlete a intervallum. A legkisebb értékét (ez ) az helyen, a legnagyobb értékét (ez ) az helyen veszi fel. \vskip6pt\hbox{\bf 8.} \hbox{\it Legyen az számtani sorozat . tagja , . tagja , az első tag összege , az első tag összege , valamint , , és .} Igazoljuk, hogy akkor és csak akkor teljesül, ha \vskip6pt\hbox{\bf Megoldás.} Azt kell belátni, hogy ha (1) teljesül, akkor (2) is, és fordítva, ha (2) teljesül, akkor (1) is. Ha a sorozatban | | akkor átalakításokkal , s mivel , . Így | | hiszen . Ha pedig , akkor azonos átalakításokkal adódik (), tehát valóban | |
|