Kezdőlap


Cím:	Hajdú-Bihar megyei középiskolák matematika versenye 2002-2003
Szerző(k):	Deli Lajos , Kántor Sándorné , Kovács András
Füzet:	2003/február, 77 - 79. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a tanévben 2002. november 14-én került megrendezésre a Hajdú-Bihar megyei középiskolák Matematikai Tanulmányi Versenye a Debreceni Egyetem Matematikai és Informatikai Intézete és a Bolyai János Matematikai Társulat megyei Tagozata szervezésében. A versenyen a város és a megye középiskolai tanulói indulhattak 3 kategóriában (gimnázium, speciális matematikai tagozat, szakközépiskola). A résztvevők száma meghaladta az ezret.
Az egyes évfolyamok feladatsorait az egyetemi oktatók állították össze, a 9. évfolyamét Kovács András, a 10. évfolyamét Kántor Sándor, a 11. évfolyamét Páles Zsolt, a 12. évfolyamét Kántor Sándorné, felhasználva a Deli Lajos szaktanácsadó által beküldött feladatjavaslatokat.
A verseny koordinátora Lajkó Károly, a versenybizottság vezetője Kántor Sándorné volt.
Az idén a 9. és a 12. évfolyam feladatsora^{$^{*}$} bizonyult nehezebbnek, 100%-os eredmény nem született.
A versenybizottság 37 tanár 65 diákjának teljesítményét részesítette díjban vagy dicséretben.

A verseny eredményei: (A rövidítések jelentései: FMG: Fazekas Mihály Gimnázium, Debrecen; TÁG: Tóth Árpád Gimnázium, Debrecen; Bocskai: Bocskai István Gimnázium, Hajdúböszörmény; Dóczy: Dóczy Gedeon Református Gimnázium, Debrecen; DE Kossuth: Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma; Hőgyes: Hőgyes Endre Gimnázium, Hajdúszoboszló; Mechwart: Mechwart András Szakközépiskola, Debrecen; Gábor D.: Gábor Dénes Szakközépiskola, Debrecen).

9. évfolyam:
Gimnáziumok: I. díj: Boross Péter (TÁG), II. díj: Karancsi János (DE Kossuth), III. díj: Dobos Péter (Hőgyes), Kovács Péter (DE Kossuth).
Speciális matematika tagozat: I. díj: Farkas Csaba, Maleskovits Dávid, Trócsányi Miklós (FMG), II. díj: Kiss Judit (FMG).
Szakközépiskolák: III. díj: Bessenyei Csilla (Mechwart).

10. évfolyam:
Gimnáziumok: I. díj: Szentjóbi Anna (Hőgyes), II. díj: Fábi László (Dóczy), III. díj: Láda Erika (Bocskai), Sóvágó Sándor (Bocskai), Víg Róbert (TÁG).
Speciális matematika tagozat: I. díj: Bardóczi Ádám, Kolbe Balázs (FMG), II. díj: Krusper Márta (FMG), III. díj: Tőkési Gergely (FMG).
Szakközépiskolák: III. díj: Madar Zoltán (Mechwart).

11. évfolyam:
Gimnáziumok: I. díj: Egri Attila (Hőgyes), II. díj: Balogh Tamás (DE Kossuth), Sum Zsuzsa (DE Kossuth), III. díj: Császi Attila (Bocskai), Szilágyi Péter (DE Kossuth).
Speciális matematika tagozat: I. díj: Dányádi Zsolt, Papp Gábor, Tuska Gábor (FMG).
Szakközépiskolák: I. díj: Bényei Antal (Gábor D.), II. díj: Nagy Norbert (Mechwart).

12. évfolyam:
Gimnáziumok: I. díj: Sántha Katalin (Bocskai), III. díj: Nádasi Levente (Dóczy), Sepsi Örs (Dóczy), Zabos Erika (Bocskai).
Speciális matematika tagozat: I. díj: Csóka Endre (FMG), II. díj: Kormos Attila (FMG).

A 9. évfolyam feladatsora

Kovács András

1. Egy sakktáblán 8 sorban és 8 oszlopban helyezhetjük el a bábukat, azaz a táblán 64 négyzet alakú mező van. Valójában hány olyan négyzetet fedezhetünk fel a sakktáblán, amelynek oldalai a tábla széleivel párhuzamosak? (8 pont)

2. Négy szobor egy paralelogramma csúcsaiban helyezkedik el: a szemközti szobrok távolsága

30 m

, illetve

90 m

. Hogyan lehet megtervezni egy

2 m

széles körgyűrű alakú utat, ha azt akarjuk, hogy ez mind a négy szobortól egyenlő távolságra haladjon? (A körgyűrű és a paralelogramma középpontja egybeesik.) Hány köbméter kavicsot kell az út létrehozásához felhasználni, ha a kavicsot

5 cm

vastagon terítjük szét a földön? (10 pont)

3. Tekintsük az

A

halmaz összes részhalmazát. Adjuk össze a bennük lévő számokat külön-külön, majd képezzük ezeknek is az összegét. Milyen értéket kapunk, ha tudjuk, hogy az alábbi két halmaz egyenlő:

A = {x - 237; 7 x + 5 y - 637; 5 x - 7 z + 943}

B = {x + 237; 501 + x; 3 x + 729}

. (

x

y

z

racionális számok.) (12 pont)

4. Egy vonat, amely Debrecenből Budapestre megy, útközben pályafelújítás miatt kénytelen sebességét az

n

-ed részére csökkenteni; ezáltal

a

órát késik. Ha a munkálatok Debrecenhez

b

kilométerrel közelebb kezdődnének, a késés

c

óra lenne. Hány kilométert tett meg eredetileg a vonat óránként? (14 pont)

5. Oldjuk meg a racionális számok halmazán a

\begin{matrix} \sqrt[]{x} + | x | - [x] = 0 \end{matrix}

egyenletet. (

[x]

x

szám egészrészét, azaz azt a legnagyobb egész számot jelöli, amely nem nagyobb az

x

számnál. Például

[1, 2] = 1

.) (16 pont)

A 12. évfolyam feladatsora

Deli Lajos

1. Oldja meg a valós számok halmazán a

\begin{matrix} | cos x | cos x \leq \frac{1}{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget! (8 pont)

2. Határozza meg a

p

valós paraméter értékeit úgy, hogy

a)

x \mapsto p x^{2} - 2 x + p + 1

(x \in R)

polinomfüggvény legnagyobb értéke

1

legyen,

b)

x \mapsto p x^{2} - 2 x + p + 1

(x \in R)

polinomfüggvény legkisebb értéke

- 1

legyen.
Mindkét esetben adja meg a szélsőérték helyét is! (10 pont)

3. Adott az

O_{1}

középpontú

R_{1}

sugarú

k_{1}

kör és az

O_{2}

középpontú

R_{2}

sugarú

k_{2}

kör, amelyek egymást kívülről érintik. Vegye fel az

O_{1} O_{2}

szakasz fölé a

k_{3}

Thalész kört, és azt az

r

sugarú

k

kört, amely a

k_{1}

kört is és a

k_{2}

kört is kívülről, a

k_{3}

kört belülről érinti.

a)

Fejezze ki a

k

és

k_{3}

körök

r

és

R

sugarát az

R_{1}

és

R_{2}

sugarak segítségével.

b)

Bizonyítsa be, hogy

8 r \leq R_{1} + R_{2}

. (13 pont)

4. Bizonyítsa be, hogy akárhány különböző pozitív egész szám négyzete reciprokainak összege kisebb

2

-nél! (14 pont)

5. Az

A B C D M

négyoldalú gúla alaplapja olyan trapéz, amelyben

\frac{1}{2} A D = A B = B C = C D = a

. A gúla magasságának talppontja a trapéz átlóinak

O

metszéspontjában van. A gúla

A M

és

C M

oldalélei merőlegesek egymásra. Mekkora a gúla térfogata és felszíne? (15 pont)

^{$^{*}$}Ezt a két feladatsort közöljük lapunkban.