A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az sorozat tagjai azok a pozitív egész számok, amelyek -cal osztva -öt adnak maradékul, a sorozat tagjai azok a pozitív egész számok, amelyek -tal osztva -et adnak maradékul. Jelöljük -nel és -nel az , illetve sorozat első tagjának összegét. Mekkora , ha ? Melyik az a legkisebb , amelyre ?
Megoldás. A sorozatok -edik tagjai , illetve , ezért | |
, ha . , , esetén , így a legkisebb a 31.
2. Az , illetve a pont helyvektora és . Az szakasz -hoz közelebbi harmadoló pontja , az szakasz -hoz közelebbi harmadoló pontja , a és egyenesek metszéspontja . Fejezzük ki -val és -vel az és a vektorokat.
Megoldás. A feltétel szerint , így ; ; ; ; és . | | Mivel és nem párhuzamos vektorok, azért akkor és csak akkor, ha és . Ezért és , tehát , . Így és .
3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket: | |
Megoldás. , , pontosan akkor, ha . Az egyenlet megoldásai az valós számok. Vegyük mindkét oldal hármas alapú logaritmusát (ez ekvivalens átalakítás), és vegyük figyelembe, hogy , valamint , azaz , vagy . Az egyenlet megoldásai: vagy . Az alábbi egyenletrendszert kell kielégítenie a és a ismeretleneknek: | | Az egyenletrendszer megoldásaként és , vagy és adódik, amiből , ; vagy , .
4. Tekintsük azt a szabályos négyoldalú gúlát, amelynek minden éle egyenlő, és a beírható gömb sugara egység. Számítsuk ki a gúla éleinek a hosszát.
Megoldás. Tekintsük a gúlának azt a síkmetszetét, amely átmegy az alapnégyzet két szemközti élének felezőpontján és a gúla csúcsán. Ez a sík a gúlából egy olyan egyenlő szárú háromszöget metsz ki, amelybe írt kör a gömb egy főköre. Legyen a gúla éle . Ekkor ezen egyenlő szárú háromszög alapja , szára az oldallapot alkotó egyenlő oldalú háromszög magasságával egyenlő, tehát , a beírható kör sugara . A háromszög alaphoz tartozó magasságára: | | A háromszög területe , a háromszög félkerülete , mivel , ezért ahonnan egység.
5. Az háromszögben az csúcsnál levő szög a csúcsnál levő szög kétszerese, továbbá , és a háromszög területének mérőszáma az csúcsnál levő szög szinuszának -szerese. Számítsuk ki a háromszög oldalait.
Megoldás. A feltétel szerint . Legyen , ekkor , és legyen . Hosszabbítsuk meg az oldalt az -n túl az szakasszal. Mivel , azért ha , akkor . A szög a egyenlő szárú háromszög külső szöge, ezért . A és a egyenlő szárú háromszögek 2-2 szöge , tehát hasonlók. A megfelelő oldalak aránya megegyezik, tehát , ahonnan , s mivel , azért . A területre adott feltétel alkalmazásával ahonnan ; (). A háromszög oldalai tehát: ; ; egység.
6. Írjuk fel annak a ponton áthaladó körnek az egyenletét, amely érinti az és a egyenletű egyeneseket.
Megoldás. A két egyenes merőleges egymásra, metszéspontjuk a pont. A pont abban a síknegyedben van, amelynek pontjaira . Legyen a keresett kör középpontja , sugara . A pont az adott egyenesektől egyenlő távolságra van, így , ahonnan vagy . Most az utóbbira van szükségünk, tehát . A keresett kör egyenlete: | | (1) | Az pont a egyenletű egyenestől távolságra van, tehát A pont koordinátái kielégítik az (1) egyenletet: | | ahonnan , vagy . A feltételeknek két kör felel meg, ezek egyenlete: , illetve .
7. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán, ahol valós paraméter: | |
Megoldás. az egyenletnek nem lehet megoldása. Átalakításokkal | | Ha , akkor az egyenlet megoldása . Ha , akkor , , így megoldás; míg , tehát esetén is megoldás és esetén egyetlen megoldás az . Ha , akkor , a megoldás. Ha , akkor , mindig megoldás; míg akkor ad megoldást, ha és , azaz akkor megoldás, ha vagy vagy .
8. Melyek azok a valós számokból álló számpárok, amelyek kielégítik az kétismeretlenes egyenletet?
Megoldás. A logaritmus értelmezése szerint , és , kell, hogy teljesüljön. Mindkét oldalon álló kifejezés akkor értelmezett, ha és , vagy és , hiszen és kell, hogy teljesüljön. Valóban, ha , akkor és , tehát , és ha , akkor és , tehát . Az egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk, ha mindkét oldalon álló kifejezésnek vesszük az alapú logaritmusát. és . (Felhasználtuk, hogy és .) Az egyenlet megoldásai pontosan azok az számpárok, amelyekre és , vagy és . Az egyenlet ezen számpárok halmazán azonosság. |
|