Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a 2002/9. számú felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2003/január, 23 - 26. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Az $\left(a_n\right)$ sorozat tagjai azok a pozitív egész számok, amelyek $8$-cal osztva $5$-öt adnak maradékul, a $\left(b_n\right)$ sorozat tagjai azok a pozitív egész számok, amelyek $6$-tal osztva $1$-et adnak maradékul. Jelöljük $S_n$-nel és $T_n$-nel az $\left(a_n\right)$, illetve $\left(b_n\right)$ sorozat első $n$ tagjának összegét. $a)$ Mekkora $n$, ha $\frac{S_n}{T_n}=\frac{25}{16}$? $b)$ Melyik az a legkisebb $n$, amelyre $S_n-T_n>1000$?   Megoldás. A sorozatok $n$-edik tagjai $a_n=5+\left(n-1\right)\cdot 8=8n-3$, illetve $b_n=1+\left(n-1\right)\cdot 6=6n-5$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=\frac{5+\left(8n-3\right)}{2}\cdot n\equiv 4n^2+n\mathrm{,}\text{illetve}{T}_n=\frac{1+\left(6n-5\right)}{2}\cdot n\equiv 3n^2-2n\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ $\frac{n\left(4n+1\right)}{n\left(3n-2\right)}=\frac{25}{16}$, ha $n=6$. $b)$ $S_n-T_n=n^2+3n$, $n^2+3n>1000$, $n>0$ esetén $n>\frac{1}{2}\left(-3+\sqrt[]{4009}\right)$, így a legkisebb $n$ a 31.   2. Az $A$, illetve a $B$ pont helyvektora $\overrightarrow{OA}=\text{a}$ és $\overrightarrow{OB}=\text{b}$. Az $OA$ szakasz $O$-hoz közelebbi harmadoló pontja $D$, az $AB$ szakasz $A$-hoz közelebbi harmadoló pontja $E$, a $BD$ és $OE$ egyenesek metszéspontja $P$. Fejezzük ki $\text{a}$-val és $\text{b}$-vel az $\overrightarrow{OP}$ és a $\overrightarrow{PD}$ vektorokat.   Megoldás. A feltétel szerint $\overrightarrow{OD}=\frac{1}{3}\text{a}$, így $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\text{a}-\text{b}$; $\overrightarrow{OE}=\frac{1}{3}\left(2\text{a}+\text{b}\right)$; $\overrightarrow{OP}=\alpha \cdot \frac{1}{3}\left(2\text{a}+\text{b}\right)$; $\overrightarrow{PD}=\beta \left(\frac{1}{3}\text{a}-\text{b}\right)$; és $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PD}$. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{3}\text{a}=\frac{\alpha }{3}\left(2\text{a}+\text{b}\right)+\beta \left(\frac{1}{3}\text{a}-\text{b}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{a}=2\alpha \cdot \text{a}+\alpha \cdot \text{b}+\beta \cdot \text{a}-3\beta \cdot \text{b}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(1-2\alpha -\beta \right)\cdot \text{a}=\left(\alpha -3\beta \right)\cdot \text{b}\left(\alpha \mathrm{,}\beta \in \text{R}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Mivel $\text{a}$ és $\text{b}$ nem párhuzamos vektorok, azért $\gamma \text{a}=\delta \text{b}$ akkor és csak akkor, ha $\gamma =0$ és $\delta =0$. Ezért $2\alpha +\beta =1$ és $\alpha =3\beta$, tehát $\beta =\frac{1}{7}$, $\alpha =\frac{3}{7}$. Így $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{7}\left(2\text{a}+\text{b}\right)$ és $\overrightarrow{PD}=\frac{1}{21}\text{a}-\frac{1}{7}\text{b}$.   3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a)\sqrt[]{1-4x+4x^2}+2x-1=0;b)x^{\text{log}{}_{3}x}=\sqrt[9]{81};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c)\text{sin}2x+7\text{cos}2x=1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   Megoldás. $a)$ $1-4x+4x^2\equiv {\left(1-2x\right)}^2$, $\sqrt[]{{\left(1-2x\right)}^2}=|1-2x|$, $|1-2x|=1-2x$ pontosan akkor, ha $1-2x\ge 0$. Az egyenlet megoldásai az $x\le \frac{1}{2}$ valós számok. $b)$ Vegyük mindkét oldal hármas alapú logaritmusát (ez ekvivalens átalakítás), és vegyük figyelembe, hogy $\sqrt[9]{81}=3^{\frac{4}{9}}$, valamint ${\left(\text{log}{}_{3}x\right)}^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$, azaz $\text{log}{}_{3}x=\frac{2}{3}$, vagy $\text{log}{}_{3}x=-\frac{2}{3}$. Az egyenlet megoldásai: $x_1=3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{9}$ vagy $x_2=3^{-\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$. $c)$ Az alábbi egyenletrendszert kell kielégítenie a $\text{sin}2x$ és a $\text{cos}2x$ ismeretleneknek: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{sin}2x+7\text{cos}2x}& {\displaystyle =1}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{sin}{}^{2}2x+\text{cos}{}^{2}2x}& {\displaystyle =1}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az egyenletrendszer megoldásaként $\text{cos}2x=0$ és $\text{sin}2x=1$, vagy $\text{cos}2x=0\mathrm{,}28$ és $\text{sin}2x=-0\mathrm{,}96$ adódik, amiből $2x=\frac{\pi }{2}+k\cdot 2\pi$, $x_1=\frac{\pi }{4}+k\pi$; vagy $2x=1\mathrm{,}28+k\cdot 2\pi$, $x_2=0\mathrm{,}64+k\pi$.   4. Tekintsük azt a szabályos négyoldalú gúlát, amelynek minden éle egyenlő, és a beírható gömb sugara $\varrho =1$ egység. Számítsuk ki a gúla éleinek a hosszát.   Megoldás. Tekintsük a gúlának azt a síkmetszetét, amely átmegy az alapnégyzet két szemközti élének felezőpontján és a gúla csúcsán. Ez a sík a gúlából egy olyan egyenlő szárú háromszöget metsz ki, amelybe írt kör a gömb egy főköre. Legyen a gúla éle $a$. Ekkor ezen egyenlő szárú háromszög alapja $a$, szára az oldallapot alkotó egyenlő oldalú háromszög magasságával egyenlő, tehát $\frac{a\sqrt[]{3}}{2}$, a beírható kör sugara $\varrho =1$. A háromszög alaphoz tartozó $m$ magasságára: $\begin{array}{c}{\displaystyle m^2={\left(\frac{a\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2\equiv \frac{2}{4}{a}^2\mathrm{,}m=\frac{a\sqrt[]{2}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A háromszög területe $T=\frac{a^2\sqrt[]{2}}{4}$, a háromszög félkerülete $s=\frac{a}{2}+\frac{a\sqrt[]{3}}{2}$, mivel $\varrho =\frac{T}{s}$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=\frac{\frac{a^2\sqrt[]{2}}{4}}{\frac{a}{2}\left(1+\sqrt[]{3}\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $a=\sqrt[]{2}\left(1+\sqrt[]{3}\right)$ egység.   5. Az $ABC$ háromszögben az $A$ csúcsnál levő szög a $B$ csúcsnál levő szög kétszerese, továbbá $6AB=5BC$, és a háromszög területének mérőszáma az $A$ csúcsnál levő szög szinuszának $62\mathrm{,}5$-szerese. Számítsuk ki a háromszög oldalait.   Megoldás. A feltétel szerint $\frac{AB}{BC}=\frac{5}{6}$. Legyen $AB=5x$, ekkor $BC=6x$, és legyen $AC=b$. Hosszabbítsuk meg az $AB$ oldalt az $A$-n túl az $AD=b$ szakasszal. Mivel $CAB\sphericalangle =2ABC\sphericalangle$, azért ha $ABC\sphericalangle =\beta$, akkor $CAB\sphericalangle =2\beta$. A $CAB$ szög a $DAC$ egyenlő szárú háromszög külső szöge, ezért $CDA\sphericalangle =DCA\sphericalangle =\beta$. A $DBC$ és a $DCA$ egyenlő szárú háromszögek 2-2 szöge $\beta$, tehát hasonlók. A megfelelő oldalak aránya megegyezik, tehát $\frac{b+5x}{6x}=\frac{6x}{b}$, ahonnan $b^2+5xb-36x^2=0$, s mivel $b>0$, azért $b=4x$. A területre adott feltétel alkalmazásával $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4x\cdot 5x}{2}\cdot \text{sin}\alpha =62\mathrm{,}5\cdot \text{sin}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $x^2=6\mathrm{,}25$; $x=2\mathrm{,}5$ ($x>0$). A háromszög oldalai tehát: $AB=12\mathrm{,}5$; $AC=10$; $BC=15$ egység.   6. Írjuk fel annak a $P\left(-1;-1\right)$ ponton áthaladó körnek az egyenletét, amely érinti az $x+2y-6=0$ és a $2x-y+3=0$ egyenletű egyeneseket.   Megoldás. A két egyenes merőleges egymásra, metszéspontjuk a $Q\left(0;3\right)$ pont. A $P\left(-1;-1\right)$ pont abban a síknegyedben van, amelynek pontjaira $y\le 3$. Legyen a keresett kör középpontja $K\left(u;v\right)$, sugara $r$. A $K$ pont az adott egyenesektől egyenlő távolságra van, így $\frac{|u+2v-6|}{\sqrt[]{5}}=\frac{|2u-v+3|}{\sqrt[]{5}}$, ahonnan $u-3v=-9$ vagy $3u+v=3$. Most az utóbbira van szükségünk, tehát $v=3-3u$. A keresett kör egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-u\right)}^2+{\left(y-\left(3-3u\right)\right)}^2=r^2\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Az $\left(u;3-3u\right)$ pont a $2x-y+3=0$ egyenletű egyenestől $r$ távolságra van, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{|2u-\left(3-3u\right)+3|}{\sqrt[]{5}}\mathrm{,}{r}^2=5u^2\mathrm{.}}\end{array}$ A $P\left(-1;-1\right)$ pont koordinátái kielégítik az (1) egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(-1-u\right)}^2+{\left(-1-\left(3-3u\right)\right)}^2=5u^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $5u^2-22u+17=0$, $u=1$ vagy $u=\frac{17}{5}$. A feltételeknek két kör felel meg, ezek egyenlete: ${\left(x-1\right)}^2+y^2=5$, illetve ${\left(x-\frac{17}{5}\right)}^2+{\left(y+\frac{36}{5}\right)}^2=\frac{289}{5}$.   7. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán, ahol $a$ valós paraméter: $\begin{array}{c}{\displaystyle a)\left(a+2\right)\cdot y+\frac{a}{y-2}=4a+6;b)\left(a+2\right)\cdot 3^x+\frac{a}{3^x-2}=4a+6.}\end{array}$   Megoldás. $a)$ $y=2$ az egyenletnek nem lehet megoldása. Átalakításokkal $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a+2\right)y^2-\left(6a+10\right)y+9a+12=0.}\end{array}$ Ha $a=-2$, akkor az egyenlet megoldása $y_0=3$. Ha $a\ne -2$, akkor $y_1=3$, $y_2=\frac{3a+4}{a+2}$, így $y_1$ megoldás; míg $y_2\ne 2$, tehát $a\ne 0$ esetén $y_2$ is megoldás és $a=0$ esetén egyetlen megoldás az $y_1$. $b)$ Ha $a=-2$, akkor $3^x=3$, $x_0=1$ a megoldás. Ha $a\ne -2$, akkor $3^x=3$, $x_1=1$ mindig megoldás; míg $3^x=\frac{3a+4}{a+2}$ akkor ad megoldást, ha $\frac{3a+4}{a+2}>0$ és $\frac{3a+4}{a+2}\ne 2$, azaz $x_2=\text{log}{}_3\frac{3a+4}{a+2}$ akkor megoldás, ha $a<-2$ vagy $-\frac{4}{3}<a<0$ vagy $a>0$.   8. Melyek azok a valós számokból álló számpárok, amelyek kielégítik az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{\sqrt[]{\text{log}{}_{x}y}}=y^{\sqrt[]{\text{log}{}_{y}x}}}\end{array}$ kétismeretlenes egyenletet?   Megoldás. A logaritmus értelmezése szerint $x>0$, $x\ne 1$ és $y>0$, $y\ne 1$ kell, hogy teljesüljön. Mindkét oldalon álló kifejezés akkor értelmezett, ha $x>1$ és $y>1$, vagy $0<x<1$ és $0<y<1$, hiszen $\text{log}{}_{x}y\ge 0$ és $\text{log}{}_{y}x\ge 0$ kell, hogy teljesüljön. Valóban, ha $x>1$, akkor $y\ge 1$ és $y\ne 1$, tehát $y>1$, és ha $0<x<1$, akkor $0<y\le 1$ és $y\ne 1$, tehát $0<y<1$. Az egyenlettel ekvivalens egyenletet kapunk, ha mindkét oldalon álló kifejezésnek vesszük az $x$ alapú logaritmusát. $\text{log}{}_x{x}^{\sqrt[]{\text{log}{}_{x}y}}\equiv \sqrt[]{\text{log}{}_{x}y}$ és $\text{log}{}_x{y}^{\sqrt[]{\text{log}{}_{y}x}}\equiv \sqrt[]{\text{log}{}_{y}x}\cdot \text{log}{}_{x}y\equiv \sqrt[]{\left(\text{log}{}_{y}x\cdot \text{log}{}_{x}y\right)\cdot \text{log}{}_{x}y}=\sqrt[]{\text{log}{}_{x}y}$. (Felhasználtuk, hogy $\text{log}{}_{x}y>0$ és $\text{log}{}_{y}x\cdot \text{log}{}_{x}y=1$.) Az egyenlet megoldásai pontosan azok az $\left(x\mathrm{,}y\right)$ számpárok, amelyekre $x>1$ és $y>1$, vagy $0<x<1$ és $0<y<1$. Az egyenlet ezen számpárok halmazán azonosság.