A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A tanárképző főiskolák 2001. évi Péter Rózsa matematikaversenyén szerepelt a következő feladat, amelyet 2002. áprilisi számában a KöMaL is kitűzött (a megoldás 2002. decemberi számunkban található): A valós számok halmazán értelmezett függvényre fennáll, hogy ha , akkor Igazoljuk, hogy periodikus függvény. A feladat nem nehéz, megoldását mi is vázoljuk. A megoldás után, mint általában, felmerül a kérdés: lehet-e általánosítani. Ehhez persze fogalmazzuk meg, mit is értünk általánosításon! Legyen valós szám és tekintsük a valós számokon értelmezett függvényt, amelyre minden esetén: Milyen esetén következik ebből, hogy periodikus függvény? Mi a helyzet, ha -ről megkövetelünk bizonyos tulajdonságokat, egyáltalán vannak-e (2)-t kielégítő ,,szép'' függvények? A következőkben ezekre a kérdésekre keressük a választ.
1. Periodicitás Oldjuk meg először a konkrét értékre a feladatot! Mindenekelőtt az (1) egyenletet írjuk inkább a többet sejtető alakba! Itt helyére -et írva és felhasználva az eredeti egyenletet a következőt kapjuk:
Ezek után írjunk (1)-ben helyére -t, és használjuk fel az -re és -re vonatkozó összefüggéseket. Ekkor | | Innen azonnal látszik, hogy , tehát valóban periodikus, egy periódusa a 8. Az előbbi gondolatmenet az általános esetben is célra vezet. Vegyük észre ugyanis, hogy ha rögzítünk egy pontot, akkor a (2) függvényegyenlet ismételt felírásával, és a korábbi eredményeket figyelembe véve kifejezhetjük -et ( egész szám) és segítségével. Az is nyilvánvaló, hogy és csak egész -ekre határozza meg az pontokban vett függvényértékeket, a további helyeken fölvett értékekről a feltétel nem mond semmit, tehát nem egész, akkor tetszőleges értéket felvehet. Mindez azt jelenti, hogy pl. a intervallumon tetszőlegesen megadott függvény egyértelműen meghatároz egy (2)-t teljesítő periodikus függvényt. A fentiek alapján világos, hogy amikor a periodicitást vizsgáljuk, akkor általában csak egész periódusokról mondhatunk valamit, mert a nem egész távolságra levő pontokról semmit sem tudunk. (Az persze nyilván igaz, hogy ha egy függvénynek nincs egész periódusa, akkor racionális sincsen.) Lássunk hozzá a periodicitáshoz kapcsolódó kérdések megválaszolásához! Rögzítsük az valós számot, ekkor a (2) függvényegyenletben helyére -et írva ( természetes szám) | | adódik. A jelöléssel ez a következő alakot ölti: Célunk, hogy meghatározzuk -et , és segítségével. Ha minden , kezdőérték mellett periodikus ugyanazzal a periódussal, akkor világos, hogy minden (2)-t kielégítő függvénynek van egész periódusa, és fordítva. A (3) egyenletet szokás (homogén) másodrendű lineáris rekurziónak nevezni, így feladatunk (mint az már eddig is látszott) nem függvénytani, hanem inkább diszkrét matematikai. A rekurziók elméletének teljes felépítése meghaladja ezen cikk kereteit, ezért most bizonyítás nélkül csak összefoglalunk néhány eredményt ebből a témakörből. Az ( természetes szám) homogén rekurzióhoz hozzárendelhetjük az úgynevezett karakterisztikus egyenletet. Ekkor bizonyítható, hogy ha és a karakterisztikus egyenlet különböző valós gyökei, akkor , ahol az -től független , konstansok értékét és határozza meg. Ha , akkor . Az első esetben leírt formula akkor is működik (a komplex gyökökre), ha a karakterisztikus egyenletnek nincs valós gyöke. Ekkor a komplex számok trigonometrikus alakjának segítségével adódik, ahol és a karakterisztikus egyenlet gyökeiből számolható, a két együttható pedig a kezdőértékektől függ. A rövid elméleti áttekintés után térjünk rá a konkrét esetre, és alkalmazzuk a fentieket a (3) rekurzióra.
1. Állítás. Ha , akkor általános tagja a következő: | | ahol olyan szög, melyre és . A fenti állítást, ha már valaki ,,megsúgta'' nekünk, indukcióval egyszerűen bizonyíthatjuk, ezt most (és a további két állítás esetében is) mellőzzük. Viszont ezen összefüggés alapján a periodicitás kérdését már könnyen megválaszolhatjuk. Ha az szög értéke -nek racionális többszöröse, akkor van olyan egész szám, melyre (), és így minden -re a kezdőértékektől függetlenül. Ebben az esetben tehát biztosan periodikus, és egy periódusa . Az (1) egyenlet esetében miatt nyilván megfelel, ezért . Ezzel visszakaptuk (amit már tudtunk), hogy egy periódusa a 8. Könnyen látható, hogy ha nem teljesíti a kívánt tulajdonságot, akkor pl. a , kezdőértékekkel sosem kapjuk vissza -t. Ekkor tehát megadható olyan , amelynek nincs egész periódusa. Sőt, ennél több is igaz. Megadható olyan is, amely egyáltalán nem periodikus, ráadásul még folytonos is (még akár differenciálható is lehet). Erre vonatkozóan lásd a cikk végén található 1. feladatot. 2. Állítás. Ha , akkor az általános tag: | |
Világos, hogy esetén periodicitásához szükséges és elegendő, ekkor persze konstans sorozat. Ez nyilván azt jelenti, hogy -nek csak úgy lehet egész periódusa, ha bármely két egész távolságra lévő pontban ugyanazt az értéket veszi fel (tehát a -en lévő értékei egyértelműen meghatározzák -et). Az is látszik, hogy a esetben is teljesíti a függvényegyenletet, de egyáltalán nem periodikus. Hasonló a helyzet esetén, csak most a periódus létezésének feltétele. Ekkor minden -re, vagyis egy periódusa a 2. 3. Állítás. A esetben általános tagjára: | | ahol . Két részre bontjuk ezt az esetet, tegyük fel először, hogy . Ekkor nyilván , így . Ez azt jelenti, hogy (5) egyik tagja a 0-hoz tart, a másik pedig általában nem korlátos, így nem lehet periodikus. A korlátossághoz mindenképpen kell. Sőt, (5)-ben az indexelést nem 0-tól, hanem 1-től kezdve szükséges. Az indexek állandó eltolásával adódik, mint szükséges feltétel. De ez is csak akkor lesz korlátos, ha . Azt kaptuk, hogy csak lesz periodikus, így esetén a (2)-t teljesítő függvények közül csak az azonosan 0 függvénynek lesz egész periódusa. Még egy észrevételünk, hogy ha az függvény esetén kielégíti a függvényegyenletet, akkor sem alulról, sem pedig felülről nem korlátos. Valóban, ha legalább egyik kezdőértéke nem nulla, akkor sem alulról, sem felülről nem korlátos (így sem az). A esetet nem részletezzük, teljesen hasonlóan belátható, hogy itt is csak az azonosan 0 függvénynek lesz egész periódusa. Foglaljuk össze végül, mit is tudtunk meg. Tegyük fel, hogy az függvény teljesíti a (2) egyenletet. Ekkor esetén nem feltétlenül periodikus. Viszont esetén ha az a szög, amelyre , és az hányados racionális, akkor biztosan periodikus (mégpedig egész periódussal), egyébként pedig nem feltétlenül. Annyit még érdemes megjegyeznünk, hogy ha a (2) egyenletben és szerepel, akkor nyilván hasonlóan oldható meg a feladat. Ekkor persze a periódus nem egész, hanem a többszöröse.
2. Az elemi függvények esete Most, hogy már elméletben mindent tudunk a (2)-t kielégítő függvényekről, próbáljunk megadni ilyen függvényeket. Mint korábban láttuk, a intervallumon tetszőlegesen megadott függvény egyértelműen kiterjed (2)-t teljesítő függvénnyé. Ráadásul, ha -et a -n folytonosan adjuk meg úgy, hogy -ben (2) teljesül, akkor a kiterjesztett folytonos is lesz (ezt gondoljuk meg). Némi erőfeszítéssel még differenciálhatóvá is tehető (pl. integrálfüggvény). Érdemes tehát valamilyen erős megszorítást tennünk -re. Ehhez szükségünk van egy új fogalomra. 1. Definíció Az , , , függvényekből algebrai műveletekkel, inverzképzéssel, kompozícióval kapott függvényeket elemi függvényeknek nevezzük. Van-e (2)-t kielégítő elemi függvény? Nyilván az azonosan 0 függvény megfelel, ezért azt zárjuk ki. A továbbiakban nevezzük szép függvényeknek a (2)-t teljesítő nemtriviális elemi függvényeket. Keressünk szép függvényeket! A periodicitás miatt a trigonometrikus függvények juthatnak eszünkbe, ezért vizsgáljuk meg pl. a függvényt. Ehhez szükségünk lesz a | | összefüggésre. Ebből rögtön látszik, hogy érdemes -et alakban keresnünk (ahol valós paraméter), ugyanis ekkor az addíciós formula így alakul: | | Nyilvánvaló, hogy esetén létezik olyan valós szám, melyre . Ekkor viszont (6) alapján szép függvény. (Az -t nem véletlenül hagytuk el: triviális függvény.) Ezzel beláttuk, hogy minden -re létezik (meglehetősen egyszerű) szép függvény. Vegyük észre, hogy esetén adódik, ennek a 8 valóban periódusa. Annak belátását az olvasóra bízzuk, hogy a helyett a függvény is megfelel. A fennmaradó -ket két részletben vizsgáljuk. A eset könnyű, a eset kicsit nehezebb. A rekurzió vizsgálatánál láttuk, hogy ezekben az esetekben nem lehet korlátos, ráadásul exponenciálisan nő. Kézenfekvő tehát az exponenciális függvény vizsgálata. Legyen és tekintsük az függvényt. Ekkor Ismert, hogy a pozitív számok halmazán értelmezett mennyiség értékkészlete a intervallum (ráadásul minden értéket kétszer vesz fel, kivéve a 2-t, amelyet csak -ben). Tehát adott -re létezik , melyre , s így (7) alapján erre az -ra az függvény kielégíti a (2) összefüggést. Nyilván a esetén adódó is megfelelő, az éppen a konstans 1 függvény. Hátra van még a eset vizsgálata. Világos, hogy az exponenciális függvény önmagában nem felel meg, mivel negatív alap valós kitevőjű hatványát nem értelmezzük. Másrészt a rekurzióból tudjuk, hogy tetszőlegesen nagy pozitív, és tetszőlegesen kicsi negatív értékeket is felvesz. Mindezek alapján (kis próbálkozás után és intuíció révén) az az ötletünk támadhat, hogy ,,kombináljuk'' az előző két esetben kapott függvényeket. Tekintsük tehát az függvényt, ahol paraméterek értékét később határozzuk meg (persze ). Ekkor | | Legyen , így a zárójelben lévő kifejezés a következőképpen alakul: | | ahol nyilván . Addíciós összefüggéseket alkalmazva ez így fest: | | Innen már látszik, hogy érdemes értékét -nek választani, mert így a második tag eltűnik, az elsőben pedig megjelenik a kívánt szorzó. Írjuk fel tehát a kiindulási egyenletet most már az függvényre: | | Korábban láttuk, hogy tetszőleges esetén van olyan , melyre , ekkor pedig az függvény kielégíti a (2) függvényegyenletet. Ezzel sikerült minden -re megadnunk szép függvényt. Utólag már jól látszik, hogy a három esetben kapott függvények nem is állnak olyan távol egymástól. Mindegyik alakú, csak az egyik esetben , a másikban , a harmadikban pedig . Ezek alapján a feladat megoldását kezdhettük volna azzal, hogy vesszük ezt a függvényt és meghatározzuk a paraméterek megfelelő értékeit. Csak akkor az nem látszott volna, miért éppen ebből a függvényből indultunk ki.
3. Feladatok Most pedig álljon itt néhány, a fentiekhez kapcsolódó feladat.
1. Tekintsük azt a (2)-t -del teljesítő függvényt, melyre a intervallumon és az intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy nem periodikus folytonos függvény.
2. Legyen olyan valós függvény, amely teljesíti (2)-t. A cikkben megfogalmazott állításokat felhasználva adjuk meg -et ( természetes szám) , , és segítségével.
3. Igaz-e, hogy ha egy függvénynek van periódusa, akkor van legkisebb periódusa is?
4. Adjunk meg a valós számokon értelmezett (nem konstans) elemi függvényt, melyre
5. Van-e olyan (nem konstans) elemi függvény, melyre ahol valós paraméter?
6. Igaz-e, hogy minden valós szám esetén létezik olyan (nem konstans) elemi függvény, amely eleget tesz az alábbi függvényegyenletnek: |