Cím: Szabályos háromszög felosztása: egy megoldatlan probléma
Füzet: 1988/december, 439 - 440. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kanadai Euréka című matematikai folyóirat egy régi számában találkoztam a következő feladattal, amelyet Harry L. Nelson kaliforniai professzor javasolt:

 
Bizonyítsuk be, hogy ha egy szabályos háromszöget 5 egyenlő szárú háromszögre osztunk fel, akkor a részek között csak 0, 1 vagy 2 szabályos háromszög fordulhat elő.
 
A feladat állítására ‐ meglepő módon ‐ sem a bizonyítás, sem pedig a cáfolat nem ismert. Könnyen látható viszont, hogy 0,1, ill. 2 szabályos háromszöget tartalmazó felosztás létezik: ezeket a következő ábrákon mutatjuk be.
 
 
1. ábra
 

Könnyen meggondolhatjuk azt is, hogy mind az 5 háromszög nem lehet szabályos. Mivel a felbontandó háromszög szabályos, nyilvánvaló, hogy mindegyik csúcsban legfeljebb egy szabályos háromszög helyezkedhet el; ez háromféleképpen valósulhat meg:
1) A szomszédos háromszögeknek van közös csúcsuk (2. ábra). Ekkor a középső szabályos háromszög már biztosan nem osztható tovább két szabályos háromszögre.
 
 
2. ábra
 

2) A háromszögek közül két-két szomszédosnak van közös csúcsa. Ekkor a maradék négyszög ugyancsak nem osztható tovább két szabályos háromszögre (3. ábra).
 
 
3. ábra
 

3) Ha a levágott szabályos háromszögeknek nincs közös csúcsuk, akkor a maradék rész legalább ötszög (vagy hatszög), s ezeket semmilyen két háromszögre sem lehet felosztani (4. ábra).
 
 
4. ábra
 
A fenti észrevételek szerzőjének is az a véleménye, hogy a feladat állítása igaz, tehát a felbontásban nem fordulhat elő 3 vagy 4 szabályos háromszög. Ezt azonban mindmáig nem sikerült bizonyítani.
Érdekes, hogy sokszor ilyen egyszerű feladat is megoldatlan problémának bizonyul.
 

 (E. F.)