A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kanadai Euréka című matematikai folyóirat egy régi számában találkoztam a következő feladattal, amelyet Harry L. Nelson kaliforniai professzor javasolt:
Bizonyítsuk be, hogy ha egy szabályos háromszöget 5 egyenlő szárú háromszögre osztunk fel, akkor a részek között csak , vagy szabályos háromszög fordulhat elő.
A feladat állítására ‐ meglepő módon ‐ sem a bizonyítás, sem pedig a cáfolat nem ismert. Könnyen látható viszont, hogy ill. szabályos háromszöget tartalmazó felosztás létezik: ezeket a következő ábrákon mutatjuk be.
1. ábra Könnyen meggondolhatjuk azt is, hogy mind az 5 háromszög nem lehet szabályos. Mivel a felbontandó háromszög szabályos, nyilvánvaló, hogy mindegyik csúcsban legfeljebb egy szabályos háromszög helyezkedhet el; ez háromféleképpen valósulhat meg: 1) A szomszédos háromszögeknek van közös csúcsuk (2. ábra). Ekkor a középső szabályos háromszög már biztosan nem osztható tovább két szabályos háromszögre.
2. ábra 2) A háromszögek közül két-két szomszédosnak van közös csúcsa. Ekkor a maradék négyszög ugyancsak nem osztható tovább két szabályos háromszögre (3. ábra).
3. ábra 3) Ha a levágott szabályos háromszögeknek nincs közös csúcsuk, akkor a maradék rész legalább ötszög (vagy hatszög), s ezeket semmilyen két háromszögre sem lehet felosztani (4. ábra).
4. ábra A fenti észrevételek szerzőjének is az a véleménye, hogy a feladat állítása igaz, tehát a felbontásban nem fordulhat elő 3 vagy 4 szabályos háromszög. Ezt azonban mindmáig nem sikerült bizonyítani. Érdekes, hogy sokszor ilyen egyszerű feladat is megoldatlan problémának bizonyul.
(E. F.) |