A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Egy húr és érintőtrapéz egyik párhuzamos oldalának hossza egység, a beírható kör sugara egység. Hány százaléka a beírt kör területe a trapéz területének?
Megoldás. Belátható, hogy ha egy húr- és érintőtrapéz párhuzamos oldalainak hossza , illetve , a beírható kör sugara , akkor . (Lássuk be!) Most , , tehát , azaz , egység. A beírható kör területe területegység, a trapéz területe területegység. Mivel ezért a beírható kör területe a trapéz területének a 68%-a.
2. Két város távolsága . Két gépkocsi közül az egyik órával kevesebb idő alatt teszi meg ezt az utat, mint a másik gépkocsi, mert a sebessége -val nagyobb, mint a másiké. Számítsuk ki a gépkocsik sebességét!
Megoldás. Jelölje v a lassabban haladó gépkocsi sebességét, ekkor a gyorsabb gépkocsié v+10. A feltétel szerint 560v-560v+10=1, ahonnan v1=70, v2=-80. A gépkocsik sebessége 80 km/óra, illetve 70 km/óra.
3. Az f:x↦logax, x∈R+ (a>0, a≠1) logaritmusfüggvény grafikonjára illeszkedik a P(b;-2) és a Q(16b;6) pont. Határozzuk meg a és b értékét, majd írjuk fel a PQ egyenes egyenletét!
Megoldás. A logaritmusfüggvény értelmezése miatt b>0. A feltételek szerint -2=logab és 6=loga16b, azaz a-2=b és a6=16b, ahonnan a=2 és b=12, tehát P(12;-2), Q(8;6). A PQ egyenes egyenlete 16x-15y=38.
4. Milyen valós x értékekre van értelmezve a | sin2x+2sinxsin2x-2sinx⋅tg2x2 | kifejezés és mi az értékkészlete?
Megoldás. A kifejezés akkor értelmezhető, ha sin2x-2sinx≠0 és tgx2 értelmezve van, azaz ha x≠kπ, k∈Z, tehát x∈R∖{kπ;k∈Z}. Az első tényező: | sin2x+2sinxsin2x-2sinx≡2(sinx)(cosx+1)2(sinx)(cosx-1)≡cosx+1cosx-1(x≠kπ,k∈Z), | a második tényező: | tg2x2=1-cosx1+cosx(x≠π+2kπ,k∈Z). | Mivel cosx+1cosx-1⋅1-cosx1+cosx≡-1 (x≠kπ), ezért az értékkészlet a {-1} számhalmaz.
5. Írjuk fel annak a P(0;2) ponton átmenő 8 sugarú körnek az egyenletét, amelyet kívülről érint az x2+y2+2x+6y+8=0 egyenletű kör!
Megoldás. Az adott kör egyenlete (x+1)2+(y+3)2=2 alakban írható, tehát középpontja K(-1;-3) és sugara r=2. Legyen a keresett kör középpontja C(u;v), akkor egyenlete (x-u)2+(y-v)2=8. A P(0;2) pont rajta van ezen a körön, tehát A keresett kör középpontja a K ponttól 2+8=32 távolságra van, tehát rajta van az (x+1)2+(y+3)2=18 egyenletű körön, ezért Az (1) és (2) egyenletek alkotta egyenletrendszer megoldásai: | u1=2,v1=0vagyu2=-3413,v2=1213. | A feltételeknek két kör felel meg, ezek egyenlete: | (x-2)2+y2=8,illetve(x+3413)2+(y-1213)2=8. |
6. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:
Megoldás. Az egyenlőtlenségben szereplő kifejezések akkor értelmezhetők, ha x>1. Legyen log3x=z, ekkor z>0. Így logx3=1log3x=1z, tehát 2z+1z≥3. Mindkét oldalt z>0-val szorozva, majd rendezve kapjuk: ami (z>0) akkor teljesül, ha 0<z≤12 vagy z≥1, azaz 0<log3x≤12 vagy log3x≥1, tehát 0<log3x≤14 vagy log3x≥1. Az egyenlőtlenség megoldásai az 1<x<34 vagy x≥3 valós számok.
7. Egy 13 egység sugarú körbe olyan konvex hatszöget írunk, amelynek három oldala 2a, másik három oldala 5a egység hosszú. Számítsuk ki a hatszög területét!
Megoldás. A hatszögnek van olyan csúcsa, ez legyen B, hogy a két szomszédos csúcs távolsága 2a, illetve 5a. Legyen AB=2a és BC=5a, a kör középpontja O. A hosszabb AC ívhez tartozó középponti szög 240∘, így az ehhez tartozó ABC kerületi szög 120∘, így AC=2⋅13sin120∘=39 egység. Az ABC háromszögben a koszinusztétel alkalmazásával 39=4a2+25a2-2⋅2a⋅5a⋅cos120∘, ahonnan 39=39a2, tehát a=1 (a>0). Legyen az AOB háromszög AB oldalához tartozó magasság hossza m1, a BOC háromszög BC oldalához tartozó magasság hossza m2. Ekkor | m12+a2=13,illetvem22+(52a)2=13, | s mivel a=1, ezért m1=23 egység, m2=332 egység. A hatszög területe | T=3(1⋅23+52⋅332)=6934 területegység. |
8. Egy sorozat első tagja a1=1 és n≥1 esetén Írjuk fel (zárt alakban) a sorozat n-edik tagját és első n tagjának szorzatát!
Megoldás. A definíció szerint | a1=1,a2=a1(1-132),...an=an-1(1-1(n+1)2), | Szorozzuk össze ezeket az egyenlőségeket figyelembe véve, hogy ai≠0 (i=1,2,...,n). | (a1a2a3⋯an-1)⋅an=(a1a2⋯an-1)(1-(13)2)(1-(14)2)⋯(1-(1n+1)2). | Osszuk el mindkét oldalt (a1a2⋯an-1)-gyel és alkalmazzuk az a2-b2=(a-b)(a+b) azonosságot. | an=(1-13)(1-14)⋯(1-1n+1)⋅(1+13)(1+14)⋯(1+1n+1),an=23⋅34⋅...⋅nn+1⋅43⋅54⋅...⋅n+2n+1, | Az egyszerűsítések után an=23⋅n+2n+1. A sorozat első n tagjának a szorzata | (23⋅32)(23⋅43)(23⋅54)⋯(23⋅n+2n+1)≡(23)n⋅n+22. | (Az állítások teljes indukcióval is beláthatók.) |