Cím:	A 2001-2002. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	2002/november, 472 - 476. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. kategória: Szakközépiskolák   Első (iskolai) forduló     1. Az $a_n$ sorozat elemeire teljesül, hogy ahol $n$ pozitív egész szám. Mivel egyenlő $a_{2001}$?   2. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x\right)}& {\displaystyle =a{x}^2+bx+c\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(y\right)}& {\displaystyle =a{y}^2+by+c\mathrm{,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ ahol $a$, $b$, $c$ valós paraméterek. Az $A$ halmaz elemei legyenek azok az $x$, $y$ valós számpárok, amelyekre $a>0$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)\le f\left(y\right)+\left(4ay+b\right)\left(x-y\right)-a{y}^2;}\end{array}$ a $B$ halmaz elemei pedig legyenek azok az $x$, $y$ valós számpárok, amelyekre $a<0$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)\ge f\left(y\right)+\left(4ay+b\right)\left(x-y\right)-a{y}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Bizonyítsa be, hogy az $A$ halmaz azonos a $B$ halmazzal!   3. Egy tetszőleges $ABC$ háromszög $BC$, $CA$ és $AB$ oldalaira kifelé rajzolt négyzetek középpontjai rendre $O_1$, $O_2$ és $O_3$. Bizonyítsa be, hogy az $O_1{O}_2{O}_3$ háromszög oldalaira rajzolt négyzetek területének összegéből az $ABC$ háromszög oldalaira rajzolt négyzetek területének összegét levonva az $ABC$ háromszög területének hatszorosát kapjuk!   4. Melyek azok az $x$, $y$ valós számok, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(x+1\right)\left(3x+5y\right)=\mathrm{3,}\text{és}{x}^2+4x+5y=4}\end{array}$ egyszerre teljesül?   5. Oldja meg a valós számhármasok halmazán a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\frac{1}{2}+\text{sin}{}^{2}x}+\sqrt[]{\frac{5}{4}-\text{sin}{}^{2}y}+\sqrt[]{1+\text{tg}{}^{2}z}=\frac{\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}y+\text{tg}{}^{2}z}{2}+\frac{19}{8}}\end{array}$ egyenletet!   6. Határozza meg az összes olyan $p$ prímszámot, amelyre a $p^2+143134$ szám számjegyeinek összege teljes négyzet!   Második forduló   1. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{log}{}_{3}x-2^y+y}& {\displaystyle =\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y\cdot 2^y+2^y\cdot \text{log}{}_{3}x}& {\displaystyle =4.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. Határozza meg az összes olyan derékszögű trapézt, amelynek egymást követő oldalai egy mértani sorozat egymást követő tagjai!   3. Bizonyítsa be, hogy ha egy háromszög bármelyik súlyvonalát a vele azonos csúcsból húzott belső szögfelező egyenesre tükrözzük, akkor ez az egyenes a háromszög adott súlyvonalához tartozó oldalt olyan két részre osztja, amelyek aránya a mellettük fekvő oldalak négyzetének arányával egyenlő!   4. Az $ABCD$ négyzet köré írt körvonal tetszőleges pontja legyen $P$. Bizonyítsa be, hogy a $PA$, $PB$, $PC$ és $PD$ szakaszok hossza egyszerre nem lehet racionális szám!   5. Határozza meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-p}+2\sqrt[]{x^2-1}=x}\end{array}$ egyenlet összes valós gyökét, ha a $p$ paraméter egész szám!   Harmadik (döntő) forduló   1. Az $ABCD$ téglalap $A$ csúcsából a $BD$ átlóra bocsájtott merőleges egyenes a $BD$ átlót az $E$, a $BC$ oldalt az $F$ belső pontokban metszi. Adja meg az $ABCD$ téglalap szomszédos oldalainak arányát, ha az $EF$ szakasz a $C$ pontból ${30}^{\circ }$-os szögben látszik!   2. Az $1;2;3;\text{...};2002$ számok mint együtthatók segítségével képezzük az alábbi $2000$ darab egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 1\cdot x^2+2\cdot 2x+3}& {\displaystyle =0}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2\cdot x^2+2\cdot 3x+4}& {\displaystyle =0}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3\cdot x^2+2\cdot 4x+5}& {\displaystyle =0}\hfill \\ \hfill {\displaystyle ⋮}& {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2000\cdot x^2+2\cdot 2001x+2002}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Tekintsük mindegyik egyenlet valós gyökei összegének és valós gyökei reciproka összegének szorzatát, ha az létezik. Mennyi az így kapott legfeljebb $2000$ darab szorzat szorzata?   3. Adott a síkban egy derékszögű koordináta-rendszer. Az $R$ ponthalmazt a koordináta-rendszer rácspontjai alkotják, vagyis azok a pontok, amelyeknek mindkét koordinátája egész szám. Legyen az $S$ halmaz az $R$-nek egy részhalmaza a következő tulajdonsággal: bármely két $S$-beli pontot összekötő szakasz felezőpontja nem eleme $R$-nek, azaz nem rácspont. Hány elemű lehet egy ilyen $S$ halmaz?   II. kategória: Általános matematika tantervű gimnáziumok   Első (iskolai) forduló   1. Bizonyítsuk be, hogy ha $a$, $b$, $c$, $d$ racionális számok és $|a|\ne |c|$, akkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(ax+b\right)}^2={\left(cx+d\right)}^2}\end{array}$ egyenlet gyökei racionális számok.   2. Milyen $p$ és $q$ pozitív prímszámokra igaz, hogy a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(p-3q\right)x^2-px+q=0}\end{array}$ egyenlet egyik gyöke pozitív prímszám?   3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{\frac{1}{10}}+\sqrt[3]{\frac{1}{5}-x}=0.}\end{array}$   4. Az $ABC$ háromszög $A$ és $B$ csúcsán átmenő kör az $AC$ oldalt $P$, a $BC$ oldalt a $Q$ belső pontban metszi. A $Q$-ból az $AC$-vel húzott párhuzamos $AB$-t $X$-ben, a $P$-ből a $BC$-vel húzott párhuzamos $AB$-t $Y$-ban metszi, $X\ne Y$. Bizonyítsuk be, hogy a $P$, $Q$, $X$, $Y$ pontok egy körön vannak.   5. Az $a$, $b$, $c$ pozitív számokra $a^2+b^2+c^2=1$ teljesül. Határozzuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}}\end{array}$ összeg lehető legkisebb értékét.   Második forduló   1. Ugyanabban a koordináta-rendszerben megrajzoltuk az $xy=1$ és az $xy=-1$ egyenletű görbéket (hiperbolákat). Mutassuk meg, hogy ha egy origó középpontú, $R$ sugarú körnek a görbékkel képzett közös pontjai szabályos sokszög csúcsai, akkor a sokszög területe $R^4$-nel egyenlő.   2. Adjuk meg azokat az $x$, $y$, $z$, $t$ valós számokat, amelyek egyidejűleg kielégítik a következő egyenletet és egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{4x-1}+\sqrt[]{4y-1}+\sqrt[]{4z-1}\ge 2+3^{\sqrt[]{t-2}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$   3. Legyen $f\left(x\right)$ a $0$-tól és $1$-től különböző valós számok halmazán értelmezett valós értékű függvény. Állítsuk elő azt az $f\left(x\right)$ függvényt, amely értelmezési tartományának minden $x$ értékére kielégíti az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)+k{x}^{2}f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{x+1}}\end{array}$ egyenletet, ahol $k$ olyan állandó, amelyre $0<k^2\ne 1$ teljesül. Adjuk meg az értelmezési tartománynak azokat az $x$ értékeit, amelyekre $f\left(x\right)=0$.   4. Az $ABC$ háromszög $A$ csúcsából induló belső szögfelezőnek a $k$ beírt körrel való metszéspontjai közül az $A$ csúcshoz közelebbit jelölje $O_A$; hasonlóan kapjuk a $B$, illetve $C$ csúcsból induló szögfelezőkön az $O_B$, illetve $O_C$ pontokat. Az $O_A$ körül szerkesztett, $AB$-t és $CA$-t érintő kör legyen $k_A$, az $O_B$ körül szerkesztett, $BC$-t és $AB$-t érintő kör legyen $k_B$, és az $O_C$ körül szerkesztett, $CA$-t és $BC$-t érintő kör legyen $k_C$. Bizonyítsuk be, hogy a $k_A$, $k_B$, $k_C$ köröknek páronként vett, az oldalegyenesektől különböző közös külső érintői egy ponton mennek át.   Harmadik (döntő) forduló   1. Az $ABC$ háromszög $AB$ oldalát kívülről érintő hozzáírt kör $AB$-t a $P$ pontban, $AC$ meghosszabbítását a $Q$ pontban érinti; a $BC$ oldalt kívülről érintő kör pedig $AC$ meghosszabbítását az $U$ pontban, $AB$ meghosszabbítását az $X$ pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy a $PQ$ és az $UX$ egyenesek metszéspontja egyenlő távol van az $AB$ és a $BC$ egyenesektől.   2. Van-e olyan $n$-oldalú sokszög, amelyben a hegyesszögek száma $n^2-30n+236$?   3. Legyen $n$ rögzített, $1$-nél nagyobb egész szám. Adjunk meg olyan $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ valós számokat, amelyekre teljesülnek az $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1+x_2+\text{...}+x_n=2\left(n-1\right)}\end{array}$ és az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x_1-1\right)}^2+{\left(x_2-1\right)}^2+\text{...}+{\left(x_n-1\right)}^2=n}\end{array}$ egyenlőségek, és $x_n$ értéke a lehető legnagyobb.   III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok   Első (iskolai) forduló   1. Legyen $a=1+\sqrt[]{5}$. Számítsuk ki az alábbi kifejezés pontos értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(4-a\right)\cdot \sqrt[]{2+a}\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[6]{3a+4}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Legyen $E$ és $F$ az $ABCD$ trapéz $AD$, illetve $BC$ szárának egy-egy belső pontja. Mutassuk meg, hogy ha az $AF$ és $EC$ egyenesek párhuzamosak, akkor az $EB$ és $DF$ egyenesek is párhuzamosak.   3. Tegyük fel, hogy egy kettőhatványt egy alkalmas alapú számrendszerben csupa azonos számjeggyel lehet felírni. Mutassuk meg, hogy a kettőhatvány legfeljebb kétjegyű (ebben a számrendszerben).   4. Van-e olyan nem konstans, egész együtthatós polinom, amely minden pozitív egész helyen $k!$ alakú értéket vesz fel ($k=\mathrm{1,2,3,}\text{...}$)?   5. Mennyi a (90-ből 5-ös) lottóhúzás második legnagyobb számának a várható értéke? [Várható érték: az összes lehetséges lottóhúzás mindegyikében kiválasztjuk a második legnagyobb számot, és ezeknek a számtani közepét képezzük (egy adott értéket természetesen ,,annyiszorosan'' kell figyelembe venni, ahány lottóhúzásban ez az érték második legnagyobb számként fellép).]   Második (döntő) forduló   1. Az $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ ($n\ge 1$) valós számok közül bármelyik $x_i$ megegyezik az összes többi $x_j$ négyzetének az összegével. Határozzuk meg az összes ilyen tulajdonságú szám-$n$-est.   2. Vegyünk fel egy-egy belső pontot egy paralelogramma négy oldalszakaszán. Bizonyítsuk be, hogy az általuk kifeszített négyszög kerülete legalább kétszer akkora, mint a paralelogramma rövidebbik átlója.   3. Adjuk meg a pozitív egészeknek egy olyan $H$ részhalmazát, amely rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal: (i) minden elég nagy pozitív egész előáll legfeljebb 100 darab $H$-beli (nem feltétlenül különböző) elem összegeként; (ii) 2002 a legkisebb olyan $k$ érték, amelyre minden elég nagy pozitív egész előáll pontosan $k$ darab $H$-beli (nem feltétlenül különböző) elem összegeként.