Cím:	A 43. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2002/szeptember, 324. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első nap   1. Legyen $n$ pozitív egész szám. Legyen $T$ a sík azon $\left(x\mathrm{,}y\right)$ pontjainak halmaza, amelyekre $x$ és $y$ nemnegatív egész számok és $x+y<n$. $T$ minden pontját pirosra vagy kékre színezzük. Ha az $\left(x\mathrm{,}y\right)$ pont színe piros, akkor $T$ minden olyan $\left(x\text{'}\mathrm{,}y\text{'}\right)$ pontjának a színe is piros, amire $x\text{'}\le x$ és $y\text{'}\le y$ mindegyike teljesül. Nevezzük $X$-halmaznak az olyan halmazokat, amelyek $n$ olyan kék pontból állnak, amelyek $x$-koordinátái mind különbözőek, és nevezzük $Y$-halmaznak az olyan halmazokat, amelyek $n$ olyan kék pontból állnak, amelyek $y$-koordinátái mind különbözőek. Bizonyítsuk be, hogy az $X$-halmazok száma megegyezik az $Y$-halmazok számával.   2. Legyen $BC$ az $O$ középpontú $\Gamma$ kör egy átmérője. Legyen $A$ a $\Gamma$ kör egy olyan pontja, amire $0^{\circ }<AOB\sphericalangle <{120}^{\circ }$. Legyen $D$ a $C$-t nem tartalmazó $AB$ ív középpontja. Az $O$-n keresztül $DA$-val párhuzamosan húzott egyenes messe az $AC$ egyenest a $J$ pontban. $OA$ felezőmerőlegesének és $\Gamma$-nak metszéspontjai legyenek $E$ és $F$. Bizonyítsuk be, hogy $J$ a $CEF$ háromszög beírt körének a középpontja.   3. Határozzuk meg az összes olyan $\left(m\mathrm{,}n\right)$ párt, ahol $m$, $n$ egész számok, amikre $m\mathrm{,}n\ge 3$, amelyekhez létezik végtelen sok olyan $a$ pozitív egész szám, amire $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1}}\end{array}$ egész szám.   Második nap   4. Legyen $n$ 1-nél nagyobb egész szám. $n$ összes pozitív osztója $d_1\mathrm{,}{d}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{d}_k$, ahol $1=d_1<d_2<\text{...}<d_k=n\mathrm{.}$ Legyen $D=d_1{d}_2+d_2{d}_3+\text{...}+d_{k-1}{d}_k\mathrm{.}$ $\left(a\right)$ Bizonyítsuk be, hogy $D<n^2$. $\left(b\right)$ Határozzuk meg az összes olyan $n$ számot, amire $D$ osztója $n^2$-nek.   5. Határozzuk meg az összes olyan $f$ függvényt, ami a valós számok $\text{R}$ halmazát önmagába képezi és amire $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(f\left(x\right)+f\left(z\right)\right)\left(f\left(y\right)+f\left(t\right)\right)=f\left(xy-zt\right)+f\left(xt+yz\right)}\end{array}$ teljesül minden $x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{,}t\in \text{R}$ esetén.   6. Legyenek ${\Gamma }_1\mathrm{,}{\Gamma }_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\Gamma }_n$ egységsugarú körök a síkban, ahol $n\ge 3$. Jelölje a középpontjaikat rendre $O_1\mathrm{,}{O}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{O}_n$. Tegyük fel, hogy nincs olyan egyenes, aminek kettőnél több körrel van közös pontja. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}^{}\frac{1}{O_i{O}_j}\le \frac{\left(n-1\right)\pi }{4}\mathrm{.}}\end{array}$