A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Egy téglalap oldalai és egység hosszúak. Írjunk a téglalapba olyan téglalapot, amelynek egyik oldala a másik oldal háromszorosa és az adott téglalap minden oldalára pontosan egy csúcsa illeszkedik a beírt téglalapnak. Mekkorák a beírt téglalap oldalai?
Megoldás. Legyen a beírt téglalap rövidebb oldala , ekkor a másik oldal . A beírt téglalap oldalai 2-2 egybevágó háromszöget vágnak le, amelyek átfogói illetve egység. Ezek a háromszögek egymáshoz hasonlók. Így ha a kisebb háromszög befogói és , akkor a nagyobbaké és . Az eredeti téglalap oldalait -szel és -nal kifejezhetjük: és , ahonnan és és , , . A beírt téglalap oldalai 6 és 18 egység hosszúak.
2. Igazoljuk, hogy minden háromszögben , ahol az , a oldallal szemközti szög. Egy háromszögben és . Számítsuk ki a háromszög másik két szögét!
Megoldás. Vegyük figyelembe, hogy | | és alkalmazzuk a szinusztételt: | |
Most , , , így , ahonnan , és így .
3. Az mértani sorozat tagjaira és . Írjuk fel a sorozat első öt tagját!
Megoldás. A feltételek szerint | | Ez utóbbi egyenletből az első egyenlet felhasználásával | | Ha , akkor az első egyenletből , ha , akkor hasonlóan . Az első esetben , , így az első öt tag 16, 24, 36, 54, 81 vagy 16, , 36, , 81, a második esetben , , így az első öt tag 81, 54, 36, 24, 16 vagy 81, , 36, , 16.
4. Egy bankba évre elhelyeztünk forintot kamatos kamatra. Az első évben a bank -os kamatot számolt el, a második évben a kamatlábat -kal növelte, a harmadik évben újabb -kal növelte. Ily módon a harmadik év végén -tal többet fizettek ki, mint amennyit a három éven át a -os kamatláb mellett kellett volna. Számítsuk ki értékét!
Megoldás. A feltételek szerint | | Innen | | Legyen , ekkor . Mivel , ezért , tehát .
5. Az síkbeli négyszög csúcsa az origóban van, csúcsa az tengelyen, csúcsa az első síknegyedben, csúcsa az tengely pozitív felén helyezkedik el. A oldal egyenesének egyenlete: . A oldal merőleges a oldalra. A négyszög területe területegység. Határozzuk meg a , és csúcspontok koordinátáit!
Megoldás. A pont koordinátái . Legyen a pont első koordinátája , azaz . A egyenes egyenlete . A és egyenesek metszéspontja koordinátái -vel kifejezve , . Mivel az első síknegyedben van, . Legyen a egyenes és az tengely metszéspontja, ekkor . A háromszög területe 36 területegység, a háromszög területe -vel kifejezve . Így | | ahonnan vagy . Most csak a lehetséges, hiszen . Ha , akkor és .
6. Egy forgáscsonkakúp alap-, illetve fedőkörének sugara illetve . Egy, az alapokkal párhuzamos sík két olyan részre osztja a csonkakúpot, hogy a nagyobb sugarú résznél keletkező csonkakúp térfogata harmada az eredeti csonkakúp térfogatának. Fejezzük ki -rel és -rel a síkmetszet sugarát!
Megoldás. Legyen a csonkakúp térfogata , a kiegészítő kúp térfogata , a kimetszett kör sugara . A hasonló testek térfogatának aránya egyenlő a megfelelő szakaszok köbének arányával. Ezért | | Az egyenlő együtthatók módszerével kiküszöbölhető: , ahonnan a kimetszett kör sugara
7. Igazoljuk, hogy a egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.
Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát 2-vel osztva Mivel és , ezért az egyenlet: Ez pontosan akkor teljesül, ha és vagy és , tehát | | vagy | | Innen és vagy és , azaz vagy , ahol és egészek. Ezek az egyenletek egyetlen egész számokból álló számpárra sem teljesülnek, hiszen az első esetben a bal oldal osztható 3-mal, a jobb oldal nem, a második esetben a bal oldal páros, a jobb oldal páratlan, tehát az egyenletnek nincs megoldása.
8. Tekintsük a egyenletet, ahol az paraméter egész szám . Milyen esetén van az egyenletnek két különböző megoldása a valós számok halmazán? Milyen esetén van az egyenletnek pontosan egy megoldása? Adjuk meg a lehetséges gyökök értékét is!
Megoldás. A -re másodfokú egyenletnek akkor van két különböző megoldása, ha az egyenlet diszkriminánsa pozitív, és mindkét megoldás pozitív, hiszen . | | Ha , akkor a másodfokú egyenlet két gyöke pontosan akkor pozitív, ha összegük is és szorzatuk is pozitív: és . Ezek együtt akkor teljesülnek, ha , ezért vagy . Ha , akkor , vagy , , . Ha , akkor , vagy , , . Pontosan egy megoldás akkor van, ha és , vagy és egyik értéke pozitív, a másik negatív, a szorzatuk, tehát negatív. Az első eset nem lehetséges, hiszen akkor teljesül, ha , ami nem egész. Ha , azaz és , akkor , azaz , , , vagy . Ha , akkor , ; ha , akkor , ; ha , akkor , ; ha , akkor , végül ha , akkor , . |