Cím: A tanárképző főiskolások 2002. évi Péter Rózsa matematikaversenye
Szerző(k):  Fried Katalin 
Füzet: 2002/május, 263 - 264. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az idei matematikaversenyt a szombathelyi Berzsenyi Dániel Tanárképző Főiskola rendezte meg 2002. március 26. és 28. között. Hat város főiskolájának hallgatói mérték össze tudásukat. A verseny egyéni, ezért nem jelentett gondot, hogy a szokásos 5-5 fős csapatok helyett idén két főiskola is csak 4 fős csapatot indított. A dolgozatokat március 27-én délelőtt írták a hallgatók. A feladatokat a főiskolák oktatóinak javaslatai alapján állította össze a verseny elnöke, Urbán János. Minden város javaslataiból választott egyet-egyet, majd ‐ ahogyan korábban is ‐ a saját feladatával megtoldva állt össze az alábbi hét feladat.

 
1. Hány olyan 2002-nél nem nagyobb pozitív egész n szám van, amelyre az
5n+1311n+20
tört egyszerűsíthető?
 
2. Adjuk össze a Pascal-háromszög harmadik sorától kezdve minden sor harmadik elemének reciprokát. Konvergens-e az így kapott végtelen sor, és ha igen, mennyi az összege?
 
3. Adott az egységnyi sugarú kör, valamint a k kör két, egymással párhuzamos érintője, e1 és e2. Szerkesszünk egy olyan s1 kört, amely kívülről érinti e1-et is. Majd szerkesszük meg azt az s2 kört, amely érinti k-t, e2-t és s1-et. Hogyan függ az s2 kör sugara az s1 kör sugarának megválasztásától?
 
4. Határozzuk meg a valós számokon értelmezett valós értékű f függvény periódusát, ha
f(x)=sinax-cosxa,
és a≠0 rögzített valós szám!
 
5. Az ABCD négyzet belsejében P és Q olyan pontok, amelyekre
PAQ∢=PCQ∢=45∘.
Fejezzük ki a PQ szakasz hosszát a BP és DQ szakaszok hosszával!
 
6. Adjuk meg azokat az x racionális számokat, amelyekre teljesül, hogy x2-x+1 is racionális szám!
 
7. Adott 11 pozitív egész szám, amelyek egyikének sincs 30-nál nagyobb prímosztója. Bizonyítsuk be, hogy a számok közül kiválasztható néhány különböző (esetleg csak egy, esetleg az összes) úgy, hogy a kiválasztott számok szorzata négyzetszám!
 
A korábbi években is előfordult, hogy volt olyan feladat, amellyel a hallgatók nem tudtak megbirkózni. A dolgozatírásra kapott 5 óra nem mindig teszi lehetővé, hogy minden feladattal foglalkozzanak. Idén az 5. feladatba tört bele a bicskájuk, bár ez a leginkább csak technikát igénylő feladat koordináta-geometriai módszerekkel megoldható. A versenyen elemi geometriai megoldás született rá. A 3. feladat félreértésre adhat okot; nemcsak egy ilyen s1, s2 körpár szerkeszthető. A teljes diszkusszió túl sok időt vett volna el, a hallgatók erre sem adtak teljes megoldást. A matematika versennyel egyidőben zajlott az informatika verseny. Az együttes eredményhirdetésére és a díjkiosztó ünnepségre másnap, március 28-án került sor. Jövőre Nyíregyházán találkozunk.