Cím: Beszámoló a 13. Gillis-Turán matematikaversenyről
Szerző(k):  Pataki János 
Füzet: 2002/május, 260 - 262. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ez év március 19. és március 23. között zajlott le a magyar és izraeli diákok közti hagyományos matematikaverseny. A lényegében háborús izraeli helyzet miatt a versenyre a tavalyi év után ismét Budapesten került sor. Akárcsak tavaly, a vendéglátó a budapesti Lauder Javne gimnázium volt.
A két országot hattagú csapatok képviselték. A magyar csapat tagjai a következők voltak:
Csikvári Péter12. évf.(Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);Gerencsér Balázs12. évf.(Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);Hablicsek Márton10. évf.(Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);Harangi Viktor12. évf.(Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);Jankó András11. évf.(Szeged, Ságvári Endre Gyakorló Gimnázium);Rácz Béla András10. évf.(Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium)  

A versenyen örvendetes módon a két csapaton kívül ,,nem hivatalosan'' részt vett a vendéglátó iskola két diákja, Biró Julia és Szántó András és az iskola vendégeként Szilvási Sándor, a veszprémi Lovassy László Gimnázium tanulója.
Az első két napon került sor a Nemzetközi Matematikai Diákolimpia lebonyolításához hasonló egyéni versenyre. Mindkét napon 3-3 feladatot kellett megoldani, ehhez 4,5 óra állt a diákok rendelkezésére. Az egyes feladatok hibátlan megoldásával 7 pontot lehetett szerezni. Idén a feladatsor kissé könnyebbnek bizonyult a szokásosnál.
Két izraeli diák, az immár negyedszer résztvevő Ran Tessler és a vendégcsapat egyetlen újonca, Yedidya Yoni érte el a maximális, 42 pontot. A magyar diákok közül Csikvári Péter és Rácz Béla András szerepeltek a legjobban: egyformán 34 pontot szereztek. Bár a verseny egyéni volt, minden évben kiszámoljuk a két csapat pontszámát: az izraeli diákok összesen 157, a magyarok pedig 149 pontot szereztek.
A harmadik napon került sor a csapatversenyre, ahol a polinomok témaköréből tűztünk ki egymásra épülő feladatokat. A 3 fős csapatoknak 3,5 órájuk volt arra, hogy a problémákat megoldják. Itt is a kitűnően felkészült vendégek szerepeltek jobban, egyik csapatuk lényegében valamennyi feladatot megoldotta.
A versenynapok délutánján angol nyelvű előadásokra került sor: az első versenynapon Pelikán József (ELTE TTK) tartott algebrai tárgyú előadást, a másodikon Moussong Gábor (ELTE TTK) Turning Numbers címmel látványos számítógépes szimulációval kísért geometriai tárgyú előadása aratott méltán nagy sikert, a zárónapon pedig Gyárfás András (MTA SZTAKI) beszélt gráfok és hipergráfok kromatikus számával kapcsolatos problémákról.
Az alábbiakban ismertetjük a verseny feladatait.

 

1. Keressük meg azt a legnagyobb pozitív egész k számot, amelyre 2001k osztója a
200020012002+200220012000
számnak.
 
2. Az egyenlő oldalú ABC háromszög belsejében lévő A1, B1, C1 pontokra teljesül, hogy
B1AB=A1BA=15,C1BC=B1CB=20,A1CA=C1AC=25.
Mekkorák az A1B1C1 háromszög szögei?
 
3. Legyen p5 prímszám. Bizonyítsuk be, hogy van olyan pozitív egész a, amelyik kisebb, mint p-1 és sem ap-1-1, sem pedig (a+1)p-1-1 nem osztható p2-tel.
 
4. A nemnegatív x, y számokra
x3+y4x2+y3.
Bizonyítsuk be, hogy x3+y32.
 
5. Az ABC háromszög belső M pontjából bocsássunk merőlegeseket a háromszög oldalegyeneseire. Jelölje rendre A', B', C' a megfelelő talppontokat a BC, CA, AB oldalakon és legyen
p(M)=MA'MB'MC'MAMBMC.

Az M pont milyen helyzetében maximális a p(M) mennyiség?
 
6. A legalább másodfokú racionális együtthatós p(x) polinomra és a racionális számokból álló rn sorozatra teljesül, hogy rn=p(rn+1) minden pozitív egész n esetén. Igazoljuk, hogy az rn sorozat periodikus, azaz alkalmas k pozitív egésszel rn=rn+k minden n1 esetén.
 
A csapatverseny feladatai
 

Legyen a p(x) és a q(x) két nem konstans valós együtthatós polinom. Azt mondjuk, hogy a p(x) és a q(x) fölcserélhetők, ha p(q(x))=q(p(x)).
 
1. Legyen f(x)=2x2. Keressük meg azokat a g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.
 
2. Legyen a0 adott valós szám és f(x)=ax+1. Keressük meg azokat a g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.
 
3. Legyen a adott valós szám és f(x)=x2-a. Keressük meg azokat a legfeljebb harmadfokú g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.
 
4. Adott másodfokú f(x) polinomhoz keressük meg azokat a negyedfokú g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.
 
5. Legyen az f(x) tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a p(x) és a q(x) polinomok mindketten fölcserélhetők az f(x) polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők.
 
6. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan végtelen p1(x),p2(x),...,pk(x),... polinomsorozat, amelynek bármely két tagja fölcserélhető, a pk(x) k-adfokú, és
p2(x)=x2-2.

 
7. Keressük meg mindazokat a
p1(x),p2(x),...,pk(x),...
polinomsorozatokat, amelyeknek bármely két tagja fölcserélhető és a pk(x) k-adfokú polinom.