A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ez év március 19. és március 23. között zajlott le a magyar és izraeli diákok közti hagyományos matematikaverseny. A lényegében háborús izraeli helyzet miatt a versenyre a tavalyi év után ismét Budapesten került sor. Akárcsak tavaly, a vendéglátó a budapesti Lauder Javne gimnázium volt. A két országot hattagú csapatok képviselték. A magyar csapat tagjai a következők voltak:
A versenyen örvendetes módon a két csapaton kívül ,,nem hivatalosan'' részt vett a vendéglátó iskola két diákja, Biró Julia és Szántó András és az iskola vendégeként Szilvási Sándor, a veszprémi Lovassy László Gimnázium tanulója. Az első két napon került sor a Nemzetközi Matematikai Diákolimpia lebonyolításához hasonló egyéni versenyre. Mindkét napon 3-3 feladatot kellett megoldani, ehhez 4,5 óra állt a diákok rendelkezésére. Az egyes feladatok hibátlan megoldásával 7 pontot lehetett szerezni. Idén a feladatsor kissé könnyebbnek bizonyult a szokásosnál. Két izraeli diák, az immár negyedszer résztvevő Ran Tessler és a vendégcsapat egyetlen újonca, Yedidya Yoni érte el a maximális, 42 pontot. A magyar diákok közül Csikvári Péter és Rácz Béla András szerepeltek a legjobban: egyformán 34 pontot szereztek. Bár a verseny egyéni volt, minden évben kiszámoljuk a két csapat pontszámát: az izraeli diákok összesen 157, a magyarok pedig 149 pontot szereztek. A harmadik napon került sor a csapatversenyre, ahol a polinomok témaköréből tűztünk ki egymásra épülő feladatokat. A 3 fős csapatoknak 3,5 órájuk volt arra, hogy a problémákat megoldják. Itt is a kitűnően felkészült vendégek szerepeltek jobban, egyik csapatuk lényegében valamennyi feladatot megoldotta. A versenynapok délutánján angol nyelvű előadásokra került sor: az első versenynapon Pelikán József (ELTE TTK) tartott algebrai tárgyú előadást, a másodikon Moussong Gábor (ELTE TTK) Turning Numbers címmel látványos számítógépes szimulációval kísért geometriai tárgyú előadása aratott méltán nagy sikert, a zárónapon pedig Gyárfás András (MTA SZTAKI) beszélt gráfok és hipergráfok kromatikus számával kapcsolatos problémákról. Az alábbiakban ismertetjük a verseny feladatait. 1. Keressük meg azt a legnagyobb pozitív egész számot, amelyre osztója a | | számnak.
2. Az egyenlő oldalú háromszög belsejében lévő , , pontokra teljesül, hogy | | Mekkorák az háromszög szögei?
3. Legyen prímszám. Bizonyítsuk be, hogy van olyan pozitív egész , amelyik kisebb, mint és sem , sem pedig nem osztható -tel.
4. A nemnegatív , számokra Bizonyítsuk be, hogy .
5. Az háromszög belső pontjából bocsássunk merőlegeseket a háromszög oldalegyeneseire. Jelölje rendre , , a megfelelő talppontokat a , , oldalakon és legyen | |
Az pont milyen helyzetében maximális a mennyiség?
6. A legalább másodfokú racionális együtthatós polinomra és a racionális számokból álló sorozatra teljesül, hogy minden pozitív egész esetén. Igazoljuk, hogy az sorozat periodikus, azaz alkalmas pozitív egésszel minden esetén.
A csapatverseny feladatai Legyen a és a két nem konstans valós együtthatós polinom. Azt mondjuk, hogy a és a fölcserélhetők, ha .
1. Legyen . Keressük meg azokat a polinomokat, amelyek fölcserélhetők az polinommal.
2. Legyen adott valós szám és . Keressük meg azokat a polinomokat, amelyek fölcserélhetők az polinommal.
3. Legyen adott valós szám és . Keressük meg azokat a legfeljebb harmadfokú polinomokat, amelyek fölcserélhetők az polinommal.
4. Adott másodfokú polinomhoz keressük meg azokat a negyedfokú polinomokat, amelyek fölcserélhetők az polinommal.
5. Legyen az tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a és a polinomok mindketten fölcserélhetők az polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők.
6. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan végtelen polinomsorozat, amelynek bármely két tagja fölcserélhető, a -adfokú, és
7. Keressük meg mindazokat a | | polinomsorozatokat, amelyeknek bármely két tagja fölcserélhető és a -adfokú polinom. |