Cím:	Szappanhártyák
Szerző(k):	Kádár Csilla
Füzet:	2002/április, 236 - 241. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Recept   Végy egy tálat. Önts bele 1 dl vizet, 1 dl glicerint (gyógyszertárakban kapható) és 1 teáskanál mosogatószert (a legolcsóbb a legjobb, abban nincs kézkímélő, ami gátolná a hártyaképződést). Miután összekeverted ezeket, márts bele egy fém teásdobozt! Figyeld meg, hogyan változnak a létrejövő függőleges hártyán a színek! Ha úgy érzed, most már tudod, hogy ,,mi történik'' egy szappanhártyán, akkor íme egy másik recept: 2 dl víz, 1 teáskanál mosogatószer és 2 teáskanál méz. Ez a ,,mézes hártya'' receptje. Készíthetsz olyan szappanhártyát is, amely annyira gyorsan kavarog, hogy az egyes színek már nem is láthatók. Ekkor 1 dl vízhez csak 2-3 teáskanál glicerint és 1-2 teáskanál mosogatószert kell tenned! Természetesen te is kitalálhatsz recepteket!   A szappanhártya színei   A fény hullámhosszával (400‐800 nm) összemérhető vastagságú szappanhártyára eső fény kis része (4%) visszaverődik, mégpedig egy része a hártya első felületéről, más része a hártya hátsó felületéről. A két közeli felületről visszavert fény találkozásakor (interferenciájakor) egyes hullámok erősödnek, mások gyengülnek. Ennek következtében lesz a visszavert fény színes. Az, hogy mely hullámok erősödnek illetve gyengülnek, függ a hártya vastagságától. Így a visszavert fény színeiből kiszámíthatjuk, hogy körülbelül milyen vastag lehet egy piros színű csík a hártyánkon.     1. ábra   Essen $\lambda$ hullámhosszúságú (monokromatikus) fény a $t$ vastagságú lemezre $\alpha$ szög alatt (1. ábra). Az $A$-ban és $C$-ben megjelenő sugarak interferenciájára vagyunk kíváncsiak: ehhez a találkozó hullámok közötti $\Delta s$ optikai útkülönbséget (a törésmutatóval súlyozott utak különbségét) kell meghatároznunk. Ha a levegő törésmutatóját 1-nek, a hártyáét $n$-nek vesszük, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta s=n\left(AB+BC\right)-AH=\frac{2nt}{\text{cos}\beta }-AC\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $AH\perp CH$. Felhasználva a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =n\text{sin}\beta \text{és}AC=2t\text{tg}\beta }\end{array}$ összefüggéseket az optikai útkülönbségre (pontosabban annak a geometriai távolságoktól függő részére) $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta s=\frac{2nt}{\text{cos}\beta }-\frac{2nt}{\text{cos}\beta }\text{sin}{}^2\beta =2nt\text{cos}\beta }\end{array}$ adódik. Vegyük még azt is figyelembe, hogy optikailag sűrűbb közeg határfelületéről való visszaverődéskor $\pi$ fázisugrás lép fel (a ,,hullámhegy'' ,,hullámvölgyként'' verődik vissza), amely $\frac{\lambda }{2}$ optikai útkülönbségnek felel meg [1], így végül $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta s=2nt\text{cos}\beta -\frac{\lambda }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Merőleges beesés ($\beta =0)$ esetén az útkülönbség a $\Delta s=2nt-\frac{\lambda }{2}$ összefüggéssé egyszerűsödik. Hullámok találkozásakor, ha az optikai útkülönbség $\Delta s=k\lambda$ ($k=\mathrm{0,1,2,}\text{...}$), maximális erősítés, ha pedig $\Delta s=\left(k-\frac{1}{2}\right)\lambda$, akkor maximális gyengítés lép fel. Maximális erősítés esetén tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle 2nt=\left(k+\frac{1}{2}\right)\left(k=\mathrm{0,1,2,}\text{...}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ míg maximális gyengítésnél pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle 2nt=k\lambda \left(k=\mathrm{0,1,2,}\text{...}\right)}\end{array}$ teljesül. A $k$ paramétert az interferencia rendjének nevezzük. A szappanhártya $t$ vastagságát $k$ és $\lambda$ függvényében a fenti összefüggéseknek megfelelően táblázatba rendezhetjük. ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle }& \hfill {\displaystyle }\hfill & \multicolumn{5}{c}{{\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">hártyavastagság <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math></span>}}}\\ \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">szín </span><span style="font-weight: bold;">hullámhossz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>λ</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math></span>}}& \multicolumn{2}{c}{{\displaystyle \text{maximális erősítés}}}& \multicolumn{3}{c}{{\displaystyle \text{maximális gyengítés}}}\\ \hfill {\displaystyle }& \hfill {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn><mspace width="6mm"></mspace></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{piros}}& \hfill {\displaystyle \text{680 nm}}\hfill & {\displaystyle \text{120 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{362 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{241 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{482 nm}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{narancs}}& \hfill {\displaystyle \text{590 nm}}\hfill & {\displaystyle \text{104 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{314 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{209 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{418 nm}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{sárga}}& \hfill {\displaystyle \text{580 nm}}\hfill & {\displaystyle \text{103 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{309 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{206 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{411 nm}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{zöld}}& \hfill {\displaystyle \text{530 nm}}\hfill & {\displaystyle \text{94 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{282 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{188 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{376 nm}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{kék}}& \hfill {\displaystyle \text{470 nm}}\hfill & {\displaystyle \text{83 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{250 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{167 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{333 nm}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{lila}}& \hfill {\displaystyle \text{405 nm}}\hfill & {\displaystyle \text{71 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{215 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{144 nm}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{287 nm}}\hfill \\ \hline\end{array}}$ A táblázatból látszik, hogy $t\ll \lambda$ esetén az interferencia minden hullámhosszra gyengítést ad, ezért a hártyát ekkor feketének látjuk. Ez az úgynevezett Newton-féle fekete hártya. Más hártyavastagságok interferenciaszínét is megbecsülhetjük. Milyen színű lesz a hártya például $t\approx 370$ nm esetén? 362 nm-nél a piros színben maximális erősítés, 376 nm-nél zöld színben maximális gyengítés van ‐ így 370 nm-nél a zöld szín komplementerét (kiegészítő színét), a pirosat fogjuk látni. Mivel piros színben még erősítés is fellép, ezért ilyen vastagság mellett a hártya élénk piros színben fog pompázni. Ez csak becslés, hiszen nem vettük figyelembe a fehér fény többi komponensének hatását. Pontosabb adatokat a szappanhártya felületéről visszavert fény intenzitásának mérésével kaphatunk. Lawrence a következő táblázatba foglalta össze mérési eredményeit [2]:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">szín</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">rend</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">hártya-</span>}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">vastagság</span>}}\hfill \\ {\displaystyle \text{fekete}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6‐12 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ezüstfehér}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{150 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{borostyánsárga}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{?}}\hfill \\ {\displaystyle \text{bíborvörös}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{201 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{lila}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{216 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{kék}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{250 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{zöld}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{290 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{sárga}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{322 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{narancs}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{348 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{karmazsinpiros}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{371 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{bordó}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{396 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{kék}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{410 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{kék}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{428 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{smaragdzöld}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{466 nm}}\hfill \\ {\displaystyle \text{sárgászöld}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{502 nm}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   A hátsó belső borítón egy függőleges helyzetű szappanhártya különböző időpontokban készített fényképfelvételei láthatók. Az oldat az első (méz nélküli) recept szerint készült, és a hártyán (amely akár 5-6 órán át is megmaradhat) látványos színes csíkrendszer alakult ki. A legutolsó (legkésőbb) készült fényképen látható hártya teteje már annyira elvékonyodott, hogy ott hullámhossztól függetlenül csak a nulladrendű kioltás feltétele teljesül (Newton-hártya), emiatt az koromfekete. A hártya vastagsága ‐ amely időben és térben (a magasság szerint) egyaránt változik ‐ a fenti táblázatok alapján megbecsülhető. Vajon megjósolható-e, hogy bizonyos idejű (például 3 óra) várakozás után ‐ feltételezve, hogy ,,él'' még ‐ milyen színű lesz a hártya? A kérdés megválaszolásához vizsgáljuk meg kicsit részletesebben a hártya elvékonyodásának folyamatát! Függőleges helyzetű hártyában a folyadék saját súlyának hatására lefelé áramlik. Ennek eredményeképpen a hártya vastagsága felülről lefelé fokozatosan nő. Hogyan becsülhető meg a változás? Ha figyelmen kívül hagyjuk a párolgás hatását, akkor ‐ a hártya felületét két merev falnak gondolva ‐ lényegében párhuzamos síklemezek közti viszkózus folyást kell vizsgálnunk [3]. A folyadék belsejében súrlódás van, így a gyorsabban mozgó folyadékrétegek a szomszédos, lassabban mozgó rétegeket gyorsítani, az utóbbiak pedig a gyorsabban mozgó rétegeket lassítani igyekeznek. A gyorsító illetve lassító erőket a Newton-féle súrlódási törvény írja le [1].     2. ábra   Jelöljük $x$-szel a szappanhártya közepétől mért távolságot, $v\left(x\right)$-szel az $x$ helyen a folyadék sebességét (2. ábra). Tekintsük a hártya közepétől $x$ távolságra lévő két ‐ szimmetrikusan elhelyezkedő ‐ vékony folyadékréteget. A két folyadékréteg között elhelyezkedő $2x$ széles folyadékoszlopra felírva Newton mozgástörvényét, a következőt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle m\text{g}+2{\text{F}}_s=m\text{a}\mathrm{.}}\end{array}$ A Newton-féle súrlódási törvénynek megfelelően az egyik ($x$ távolságra lévő) folyadékréteg által a folyadékoszlopra ható erő $F_s=\eta A\frac{\Delta v}{\Delta x}$. Egyenletes áramlást feltételezve $\text{a}=0$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle mg+2\eta A\frac{\Delta v}{\Delta x}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $A$ a besatírozott rész területe, $\eta$ a folyadék viszkozitása, $m$ pedig a $\varrho$ sűrűségű folyadékoszlop tömege: $m=V\rho =2xA\rho$. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle \rho 2xAg+2\eta A\frac{\Delta v}{\Delta x}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan $x\Delta x=\Delta \left(\frac{x^2}{2}\right)$ felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle \rho xg\Delta x=-\eta \Delta v}\end{array}$ adódik. A fenti kifejezést összegezve $x\text{'}$ távolságtól a hártya széléig, figyelembe véve, hogy a folyadék sebessége a merev fal mentén nulla, a következőt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sum _{x\text{'}}^{t/2}\rho xg\Delta x}& {\displaystyle =\sum _{v\left(x\text{'}\right)}^0-\eta \Delta v\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{2}\rho g\left(\frac{t^2}{4}-x{\text{'}}^2\right)}& {\displaystyle =v\left(x\text{'}\right)\eta }\hfill \end{array}}}\end{array}$ összefügés adódik, amelyből $v\left(x\text{'}\right)$ sebesség kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(x\text{'}\right)=\frac{\rho g}{8\eta }\left(t^2-4x{\text{'}}^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A sebesség ismeretében már könnyen kiszámítható a hosszegységre eső folyadék-hozam, vagyis a hártya egységnyi széles szakaszán időegység alatt átfolyt folyadék $Q$ térfogata. Vizsgáljuk a hártya középétől $x$ távolságra lévő $\Delta x$ vastag folyadékrétegeket. Legyen a hártya $l$ széles. Ekkor az időegység alatt átfolyt folyadék mennyisége a kérdéses szakaszokon: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta I=2v\left(x\right)l\Delta x\mathrm{,}}\end{array}$ a teljes hozam tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\sum _0^{t/2}2v\left(x\right)l\Delta x=2l\sum _0^{t/2}\frac{\rho g}{8\eta }\left(t^2-4x^2\right)\Delta x=\frac{\rho g}{12\eta }{t}^{3}l\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből a $Q=\frac{I}{l}$ miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle Q=\frac{\rho g}{12\eta }{t}^3\mathrm{.}}\end{array}$ A hozam tehát a hártya vastagságának köbével arányos, de mivel a vastagság helyről helyre és időben is változik, $t=t\left(z\mathrm{,}\tau \right)$, és így a hozam is hely- és időfüggő lesz: $Q=Q\left(z\mathrm{,}\tau \right)$. ($\tau$ a hártya létrehozása óta eltelt időt jelöli.) Ha a $z$ tengelyt lefelé irányítjuk, és képezzük a $Q=Q\left(z+\Delta z\mathrm{,}\tau \right)-Q\left(z\mathrm{,}\tau \right)$ különbséget, az nyilván megadja egy $\Delta z$ vastagságú sávból kifolyó többletfolyadék térfogatát. Ennek folyadékhiánynak együtt kell járnia a hártya elvékonyodásából származó térfogatcsökkenéssel, ami viszont a $t\left(z\mathrm{,}\tau \right)-t\left(z\mathrm{,}\tau +\Delta \tau \right)$ különbséggel arányos. A kétféle módon kiszámított térfogatváltozás egyenlősége meghatározza a falvastagság változási ütemét, és (itt most nem részletezhető számítás után) a következő eredményre vezet: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{\frac{4\eta }{\rho g}\cdot \frac{z}{\tau }}\mathrm{,}\text{azaz}z=\frac{\rho g}{4\eta }{t}^2\tau \mathrm{.}}\end{array}$ Közvetlenül a hártya képződése után ($\tau =0$-kor) a hártya vastagsága formálisan végtelen, ami arra figyelmeztet, hogy ekkor a levezetés során alkalmazott megfontolások valamelyike nem érvényes. Később, amikor a számítás eredményét elfogadhatónak tartjuk, $z\propto t^2$, tehát a szappanhártya keresztmetszete parabola alakot ölt. Elméleti megfontolásainkat ellenőrizhetjük az intenzitásméréssel kapott táblázat segítségével, amelyből a szappanhártya vastagsága megbecsülhető. A mérési adatokból jól látszik, hogy a hártya keresztmetszete az idő múlásával egyre inkább felveszi a parabola alakot, habár az elméleti számítások szerint a hártyának körülbelül kétszer-háromszor olyen vastagnak kellene lennie, mint a ténylegesen megfigyelt. Buborékokkal is végezhető hasonló kísérlet, de ott a színek változását már sokkal nehezebb megfigyelni, mert a buborék egyben tükörként is működik: leképezi a környezetét. A fém teásdobozos kísérletnél a doboz belsejének tükröző hatását elkerülhetjük, ha matt fekete papírral béleljük ki. Jó kísérletezést! Irodalom [1] Budó Á.: Kísérleti fizika I, III, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986. [2] A. S. C. Lawrence: Soap Films, Bell, 1929. [3] K. Mysels, K. Shinoda, S. Frankel: Soap Films. Studies of their thinning, Pergamon Press, London, 1959. [4] Rajkovits Zs. ‐ Főzy I.: Színes szappanhártyák, Természet világa, 1992/május. Zs. Rajkovits: Soap Films and Soap Bubbles in Physics Education, Physics & Technology Quest, 1997 December.