A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Tekintsük az egyenletet, ahol valós paraméter. Igazoljuk, hogy az egyenletnek minden valós esetén van valós megoldása. Oldjuk meg az egyenletet, ha a gyökök négyzetének összege a lehető legkevesebb.
Megoldás. Az egyenlet diszkriminánsa minden valós -ra, így valóban mindig van megoldás. Most , , ezért , ami akkor a legkevesebb, ha . Ekkor , .
Megjegyzés: A feladat második része a gyökök és együtthatók közötti összefüggések felhasználásával is megoldható: | |
2. Igazoljuk, hogy egy rombusz oldala pontosan akkor (akkor és csak akkor) mértani közepe a rombusz átlóinak, ha a rombusz hegyesszöge .
Megoldás. Jelölje a rombusz oldalát , a két átlót és . Ha a rombusz hegyesszöge , akkor a rombusz magassága . A rombusz területe egyrészt , másrészt , így , tehát az és mértani közepe (, , ). Ha , akkor és miatt , , mert hegyesszög.
3. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: | |
Megoldás. a) Az egyenlet minden valós számra értelmezett. Emeljük köbre az egyenlet mindkét oldalát (ez ekvivalens átalakítás) és alkalmazzuk az azonosságot: | 15+2x+13-2x+3⋅4⋅(15+2x)(13-2x)3=64,-4x2-4x+1953=273, | ahonnan x1=6, x2=7, és ezek valóban megoldások. b) Az egyenlet akkor értelmezett, ha x>0 és x≠1, x≠3, x≠81. Alkalmazzuk az logab≡1logba (a>0, a≠1, b>0, b≠1) és az logaxy≡logax-logay (x>0, y>0, a>0, a≠1) azonosságokat. Ekkor | 1log3x⋅1log3x-1+1log3x-4=0, | ahonnan log3x=2 vagy log3x=-2. Az egyenlet megoldásai: x1=9, x2=19. c) Alkalmazzuk a cos2α≡12(1+cos2α), valamint a cos(π2-α)≡sinα és cos(-α)≡cosα azonosságokat. | (1+cos2x2)2+(1+cos(2x-π2)2)2=14,1+2cos2x+cos22x+1+2sin2x+sin22x=1,(cos(2x-π2)≡cos(π2-2x)≡sin2x),sin2x+cos2x=-1. | Ez utóbbi egyenlet sokféle módon oldható meg. Az egyenlet azokra az x-ekre igaz, amelyekre sin2x=-1 és cos2x=0 vagy sin2x=0 és cos2x=-1, azaz ha xk=3π4+kπ (k∈Z) vagy xn=π2+nπ (n∈Z). (sin2x+2cos2x=0, 2cosx(sinx+cosx)=0.)
4. Az ABC háromszögben AC=5,8, BC=5 egység, az AB oldalhoz tartozó magasság mc=4 egység. Számítsa ki a háromszög köré írt kör sugarát és a háromszög területét.
Megoldás. A háromszög területe egyrészt T=c⋅mc2, másrészt T=abc4r, ahol r a háromszög köré írt kör sugara. c⋅42=5,8⋅5⋅c4r, ahonnan r=7,25 egység. A feltételeknek két háromszög felel meg. Erre a megállapításra szerkesztés lehetőségének elemzése, előjeles szakasszal való számolás vagy trigonometria alkalmazásával juthatunk. Pl. legyen CBA∢=β. Ekkor sinβ=45, így cosβ=35 vagy cosβ=-35. Koszinusztételekkel 5,82=52+c2-2⋅5⋅c⋅35 vagy 5,82=52+c2+2⋅5⋅c⋅35, ahol c>0, így c=7,2 vagy c=1,2, tehát a háromszög területe T=7,2⋅42=14,4 vagy T=1,2⋅42=2,4 területegység.
5. Igazoljuk, hogy minden n pozitív egész számra a) 36n+10⋅3n osztható 11-gyel; b) 42n-33n-7 osztható 84-gyel!
Megoldás. a) A binomiális tétel alkalmazásával | 36n+10⋅3n≡(33+3)n+10⋅3n=33⋅k+3n+10⋅3n=11⋅(3k+3n). | (A kifejezés osztható 3⋅11=33-mal.) | (36n+10⋅3n=3n(12n+10)=3n((12n-1n)+11)=33k.) |
b) Az eredeti állítás már n=1-re sem igaz.
Helyesbítés: Az eredeti feladat helyesen a következő: b) 42n-32n-7 osztható 84-gyel! Ismeretes, hogy an-bn osztható (a-b)-vel. | 42n-32n-7=16n-9n-7=(16-9)k-7=7m;42n-32n-7=(42n-1)-32n-6=(4-1)k-3l=3m;42n-32n-7=(42n-8)-(32n-1)=8k-8l=8m. | Az adott kifejezés tehát osztható 7-tel, 3-mal és 8-cal, mivel ezek relatív prímszámok, ezért osztható a szorzatukkal 3⋅7⋅8-cal, 168-cal is. (No persze így 84-gyel is.)
6. a) Tekintsük azt az f:R→R, x↦f(x) függvényt, ahol ahol a,b,c,d∈R és ac≠0. Az f függvény melyik x helyen veszi fel a legkisebb értékét, és mennyi ez a legkisebb érték? b) Melyik az a legbővebb halmaz, amelyre a g(x)=11+tgxtg2x értelmezhető? Tekintsük az ezen a halmazon értelmezett x↦g(x) függvényt. Felveszi-e a g függvény a legnagyobb, illetve a legkisebb értéket? Ha felveszi, akkor melyik x helyen veszi fel és mennyi a függvény szélsőértéke?
Megoldás. a) f(x)=(a2+c2)x2+2(ab+cd)x+b2+d2. Azonos átalakításokkal | f(x)=(a2+c2)(x+ab+cda2+c2)2+(ad-bc)2a2+c2. | A függvény az x0=-ab+cda2+c2 helyen veszi fel a legkisebb értékét, a legkisebb érték: (ad-bc)2a2+c2. b) A g(x) kifejezés akkor értelmezhető, ha tgx, tg2x értelmezhető és ha 1+tgxtg2x≠0. Ez utóbbi minden megengedett x-re teljesül, így x≠π2+kπ, k∈Z, 2x≠π2+nπ, x≠π4+n⋅π2, n∈Z. Minden más valós számra értelmezhető a g(x). Azonos átalakításokkal | 11+sinxcosx⋅sin2xcos2x≡cosx⋅cos2xcosxcos2x+sinxsin2x≡cosxcos2xcosx≡cos2x. | A megadott halmazon a függvény legnagyobb értéke 1, amit az xk=kπ, k∈Z helyeken vesz fel. A függvény a legkisebb értékét soha nem veszi fel. (cos2x=-1, ha xn=π2+nπ, n∈Z. xn nem tartozik az értelmezési tartományba.)
7. Igazoljuk, hogy az A(1;-1), B(3;3) és C(4;5) pontok egy egyenesre illeszkednek. Milyen arányban osztja a B pont az AC szakaszt? Mi azon P pontok halmaza és annak egyenlete, amelyekre APPB=ABBC?
Helyesbítés: Az utolsó képlet helyesen: APPC=ABBC.
Megoldás. Mivel AB→=(2;4) és BC→=(1;2), ezért A, B és C egy egyenesre illeszkednek és AB=2BC. Azon P(x,y) pontok halmazát keressük, amelyekre APPC=2, azaz AP=2⋅PC. Mivel AP≥0 és PC≥0, ezért a négyzetemeléssel kapott egyenlet, AP2=4⋅PC2, ekvivalens a feltételi egyenlettel, így | (x-1)2+(y+1)2=4((x-4)2+(y-5)2). | (1) | Innen azonos átalakítással és egyenletrendezéssel a következő, a feltételi egyenlettel ekvivalens egyenlethez jutunk: A keresett ponthalmaz tehát körvonal, amelynek középpontja K(5;7), sugara r=25.
Megjegyzés: az eredeti szövegezéssel is megoldható a feladat, csak a kör egyenlete nem ilyen ,,szép". Így a megfelelő egyenletek: | (x-1)2+(y+1)2=4((x-3)2+(y-3)2). | (1) | Innen azonos átalakítással és egyenletrendezéssel a következő, a feltételi egyenlettel ekvivalens egyenlethez jutunk: | (x-113)2+(y-133)2=809. | (2) |
8. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a | cos2x+(1-2siny)cosx+1-siny=0 | kétismeretlenes egyenletet.
Megoldás. cos2x+1≡2cos2x, így | 2cos2x+(1-2siny)cosx-siny=0, | ahonnan cosx=-12 vagy cosx=siny. Az előbbi megoldásai | x1,k=2π3+2kπ,y1,k∈Rvagyx2,n=4π3+2nπ,y2,n∈R. |
A másik esetben cosx=siny, azaz cosx=cos(π2-y), tehát x=π2-y+2kπ vagy x=y-π2+2nπ. Innen a megoldások: | x1,k=π2-t+2kπ,y1,k=t,k∈Z,t∈R | vagy | x2,n=t-π2+2nπ,y2,n=t,n∈Z,t∈R. |
|
|